ルジャンドル陪関数の偶奇と量子数の偶奇

ルジャンドル陪関数P(x)、変数のxを水素原子では極座標の緯度方向θに置換して
P(cosθ)とかにしやがるから

xは奇関数だけど、cosθは偶関数なので、一両日くらい混乱してた。

解く際はP(x)とかやって、xとか√(1-x^2)とかが大量に出てきて
xがcosθだと√(1-x^2)はsinθになるんだけど

式の次元だけ見ると
√(1-x^2)は2乗してまたその1/2乗するからこれは奇関数やな
とか思ったら大間違いで、グラフをよく確認するとこれ偶関数なんよね

だから一度勘違いした結果、表を参照して磁気量子数mと方位量子数lを用いて
2m+lの偶奇がルジャンドル関数の偶奇を決めるとか思ってしまったけど


ここでなんか知らんけどwiki見返して
2m+lなんて項目あったっけ？とかわれながらわけわかんない着目をしたおかげで
√(1-x^2)が偶関数であることに気づくことができた。

そうすると、cosθとかで表してたときにはmの偶奇だけにP(cosθ)の偶奇が依存してたのが
P(x)の場合は2m+lなどではなく、l+mの偶奇に関数P(x)の偶奇が依存しているとわかった。


数値計算する際にこの偶奇情報はかなり大事だったりする。



あとは、これをこのP(x)にφの関数をかけてから2乗してさらにsinθをかけてからdθで積分してからさらにdφでも積分して
規格化定数を得るわけだけど
微分方程式を変数xで解いておきながら、数値積分するときはθでやれとかモヤっとするよな



なんかもう問題が次々割り込んできてなかなか到達できる気がしない(笑)



ところで、ルジャンドル陪関数を微分方程式から数値的に導出するのはほぼバグが取れて
オイラー法でも精度上げればなんとかなることがわかったのでよかった。

何が主なバグだったんだったかな、
ただもう1つの要因として、-m^2って項が微分方程式にあって
Excelだとこれが曲者で、変な計算結果を吐き出しかねないので、きちんと(-1)*m^2って記述したのも大きいのかもしれない


あ、思い出した。この-m^2の分母に1-x^2があったから、x=±1で発散するんよね
あろうことかこの発散ポイントから解くことを始めてしまったからそりゃ終始発散もするわ
って納得したんだった