続・電気数学ガール

あ
昨日の日記では具体的には並列共振回路みたいなのを考えていたんです。共振なんてさせませんが。

抵抗(R=∞)とインダクタンス(L=∞)が直列、それらとコンデンサ(C=0)は並列に接続された
分布定数線路みたいなののインピーダンスをイメージしていましてね

ただうっかり、「極限まで孤立した導体」ってところを勘違いしていたんです。
コンデンサによるインピーダンス(というよりはリアクタンス)をゼロっぽくしたいのであれば
コンデンサの容量自体は小さいのではなくかなり大きいはず

大きなキャパシタンスを得るためには、誘電体内の分極が起きる方向の厚さはむしろほぼゼロにするべきだったんですよ

つまり、孤立しているのではなく、逆に密集していて無数に群がる導線を考えるべきだったんです。

Xc=1/(ωC)→0　C→∞　C=εS/d　d→0

そうするといかなる周波数が入ろうが漏電方向のインピーダンスは限りなく小さくでき
もはやこれは絶縁してないですね、電流を流す方向がまったく内積ゼロですね
ってなおかしな状況に陥るわけです。


このおかしな部品では何が起きてるのでしょうか
流したい方向にはまったく電流が流れず
流したくない漏電方向には無負荷で電流流れっぱなし
永久円電流でも流れているのでしょうか

もしこの奇妙な部品に端っこがあるのだとしたら
こいつに電流を「通す」ことはできませんが
漏電方向の抵抗がゼロならば、端から磁場をかけることで
あるいは円電流を維持できるかもしれない


え、この円電流の半径は加速させないと潰れるんじゃないのかってそんなことは知りません＾＾
巨視的にコヒーレントなんすよきっとｗ　SISとISI

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うなりやがれ！モノポールモータァ！！

電気と数学のLとR

電気数学ガール

全然役割が違うのに文字だけ揃ってる。

複素平面上に


電気
・角周波数としてのω
・コンデンサとしてのC
・コイルとしてのL
・抵抗としてのR
（・三相交流三菱モータース）
(無限に長く、極限まで孤立した導体を考える)

3次方程式の解の公式
・1の3乗根としてのω
・右としてのR
・左としてのL
（・センターとしてのC）

まあω、L、R、Cの4つしかなかったら偶然揃うっちゅうのもわかんなくもないわな

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パウリ行列でクォータニオン回転を表現

どんどん悪化しとる･･･
一番マシだったのがクォータニオン以前の、ジンバルロックがある回転行列とはね･･･なんたることか


だめだ所詮エクセル＜野生の3D＞だとこの辺が限界みたいだ
オブジェクティブな見かけにしようと思って、マトリックスアドインに付随してる複素数計算機能を試してみたはいいが

結局、3つの虚数単位が1つに減った代償として点1つを行と列2つの自由度に広がって計算してたら煩雑でたまらんｗｗｗ

もうやめようｗｗｗｗプログラミングしないと積層化はムリっぽいｗｗｗｗ




使った関数は、matrixアドインの
複素行列の積mmltcと、複素行列のスカラー倍mmultsc。これだけっすね


3つの虚数単位の関係性をまずオブジェクトにしといたほうがよほどマシなものが出来そうだ＞＜

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この現象に名前をつけようではないか！

天才てれびくん現象！
かつては先端を突っ走っていたかもしれないが
そのまま保守したことにより
どんどん時代遅れになっていく現象。

天才てれびくん現象！
天才てれびくん現象！

パウリ行列の使い方がわっかんねー＞＜

結局、パウリ行列の本来の使いどころ「スピン」への使い方がいまいちしっくりこない。


とりあえず量子力学のことは忘れてー
回転を表すクォータニオンとの関わりのほうを考えてみた。

クォータニオンによる回転は以前の日記でも考えていたんだけど
エクセルで計算する分にはなんかいまいち綺麗でもないし、計算が簡素化された感じもしなかったんだよなー
ジンバルロックは解消できるんだけどさぁ、これだとまだ回転行列のほうがマシに思えるカンジ。
マクロなしエクセルでオブジェクティブな表現は限界あるしねえ
（マクロありだとどうなのかはしらん）


さっき見たサイトでようやくわかったのは

パウリ行列を使ってクォータニオンっぽくあらわすには

クォータニオン4つの座標セットw,x,y,zを元にした
　w+ix+jy+kz(i、j、kはベクトル基底のようでいて虚数単位)

が、パウリ行列

を用いて

　w・σ0-i(x・σx+y・σy+z・σz)=w・σ0-i∑（xr・σr）　(r：1～3、x=x1、y=x2、z=x3とする)

であらわせること。

ここでもし、単位行列であるσ0を、iσ0で定義しなおすことができたら

クォータニオンの座標は

　-i∑（xr・σr）　（r：0～3）

と、かなりすっきり記述できる。
どうせσ0をパウリ行列に含めるにはちょっと仲間はずれ感＜＼MｯNM～K／＞があるから、σ0にだけiかけたっていいじゃん
そしたら行列の中身がちょうど、純虚数2つずつ、実数2つずつになるしさー。


エクセルの複素数入り行列がアドイン次第で思った以上に使えそうとは思っていたので
もしかしたら、エクセルでも案外見通しのいいクォータニオン系統が造れるかもしれない。
これだと虚数単位が1つで済むから、既存のアドインや関数を使える。

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筆算と多項式同士の積との関係、それと防音マスクで散歩

どうして今まで気づかなかったのでしょうか

１５６円という数字を見てたら
１３０＋２６＝１２０＋３６
なのはわかっていたのです。

それと、１２１＝１１×１１で、これが(x+y)^2という二項定理を表していることもわかっていましたし日記にもしました。


じゃあ１３×１２っつったら
２と３がたすきがけで･･･
（a+3b）（a+2b）＝a^2+5ab+6b^2じゃないですか！(a=b=1)
(a+b)(a+c)=a^2+(b+c)+bcでもいい。(a：1、b：2、c：3)


なんで今までつながらないかな自分。


（a+b+c)^nだって111^nで済むわけだし


これ使えば多項式同士の積を、少なくとも展開する分には156の1(1桁目)と5(2桁目)と6(3桁目)を抜き取るだけの作業で済むじゃないですか！＞＜

解析計算もある程度できるじゃないですかPC！！
(マセマティカ買わずとも個人レベルでもやろうと思えばなんとかできるって意味です)


学生当時の自分ってもしかして文字式展開がものすごくノロかったんじゃ･･･orz



そういえばバーサス記号ていいますか比のこの記号→「：」
分数にはない機能を秘めてますよね
砂糖：塩：水＝１：２：３を分数にしたら1/2と1/3と2/3をどうにかしてイコールで結ばなきゃいけないところですからね



車の中での独り言って大事だなって思いましたよ
僕たちはいわゆるリアルに棲んでいる物体なわけなので
考えるだけだと続かないものでも、口に出すことではっきりすることもﾀﾀ々あるわけですよね

アニソンの歌詞なんかも
睡眠学習でいつの間にか身についているのもあるかもしれませんが
意味はわからないなりに発音を身に染み込ませるには
実際に発音して歌ってみるのははるかに効率がいいですね

歩いている最中にはランナーズハイの徒歩バージョンが起きて気分がいいですが
車の場合は屋内で、しかも運動せずにランナーズハイのような現象が起きる。

俗に言う「車に乗ると人格変わる」ってやつの原因のようなものだと思いますが
もし毎日歩くような仕事や趣味を持っている場合、アニソンを聞きながらも歌えないのはやっぱい損ですよ！

現代人はコミュニケーションを取りにくい人が増えてますし、姿勢も悪くなりがちですし
せめて歩いている最中に無理やりにでも発音する機会を増やしてあげれば、
世の中よくなるんじゃないでしょうか

というわけで防音マスクして歌いながらみんな歩きましょう！＼＾ぉ＾／

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パウリの排他椅子ゲーム！いぇーい

一定の回数座ると勝手に壊れるイス「DRM Chair」 - ねとらぼ


俺座ったつもりーぷるぷる；

ずっけーぞ俺もー


そしてフェルミオンはいなくなった





ところでDRM→MMDとしりとり連想していったらドミノ倒しと波動性の(無)関係について考えていたんですが
仮に液体ヘリウムが容器を這い上がる現象みたいのをドミノでやってみたとして
でもそれは、ドミノの場合は摩擦があることによるもので、方や超流動のほうは摩擦がないことによるものだから
やっぱりあくまで違うもので、巨視的量子現象とは関係ないどころか参考にすらならないのかなぁとか思ったり


ドミノでホイヘンスやって2重スリットもなぁ･･･なんかイマイチしっくりこない
一度倒れたらそのあとどうなるのかとか(倒れてない可能性世界と共存！？)
ドミノがスリットを抜けたらちゃんと拡散してくれるのかとか
いっそのことドミノの小板同士をつなげてしまったらどうなのかとか




ハローワールドを波浪ワールドだと思っていた

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あ、そーだ物理エンジン、物理エンジンでドミノ倒し！

物理エンジンだったら実世界よりもエクセルでのシミュレーションよりも手軽に、ドミノ倒しでホイヘンスの原理(2重スリット実験)とかソンネル障壁越えとか表現できねーかなぁ
トンネル効果

時々CMで見かけるたびに思うんだよな。
前に坂を駆け上るドミノとか、分岐したり合流したりするドミノあったよねー？
って。

前にぐぐったときは、すげーシビれた硬派SFラノベ作家の人が掲示板で「波動とは関係ない」って結論出してたのが引っかかって
結局どういう理由だったのかは理解っちゅうか読めすらしなかったんだけど･･･＞＜

たとえ波動ではなくても、なんか一目瞭然でこうインスパイアーションが沸きそうな動画、
今だったら個人レベルで出来るんじゃないかって思えてきたんだ

ネルソンの確率力学
ネルトンの確率力学が結局スピンでつまずいたけど、理解するにはいい教材なんじゃないかってのと同じように
なんかこう表現してぇーって感じがあるんだよな。


それと、いつかコレがやりたいです。自力で。
だってこういうのって、作ってる過程が一番楽しいじゃないですか。中の人の理解も高まるってもんです

量子力学
料理式学量子きのこでした。

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複素数において砕ける素数かどうかが4で割ったあまりで判別可能なら(ガウス素数とクォータニオン)

クォータニオンにおいて砕ける素数かどうかは2^4=16で割ったあまりで判別可能だろうか？
たとえば16で割って15あまる四元数上の整数は砕けないとかなんとか。

あるいは、積の交換法則の非成立あたりが邪魔をするのだろうか？
気が向いたらやってみよう。

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僕はミルカさんの性格が苦手だ。僕が言うのもなんだけど。
数学ガール


ノルムは4乗じゃねえな･･･2乗だな＞＜

なぜ超伝導永久電流は潰れないのか

　「はぁ？なにそのなぜ芋だけ屋は潰れないのかみたいな議題。芋だけ売ってるという仮定が間違っていたのだ！ドヨーン|||orz」


「うん･･･実際、超伝導電流がなぜ潰れないのかっちゅうやつのオチも、もしかしたらそんなんかもしんない」


　「始まる前から終わっちゃうのかよ！どんな内容だったんだよ！」


「永久機関ってあるじゃんか」


　「ねーよ」


「とりあえずあって！？これから否定するにしても否定するまではせめて幻としては存在して！？」


　「なんなんだよ」


「永久磁石に挑戦する人の磁石の使用率は異常だと思わないか？」


　「永久磁石だけにな」


「まあそういうダジャレ的な要素もあるのかもしれないな。俺も昔は磁石そのものが永久機関なんじゃないかとか考えたもんさ」


　「痛い、痛いねえ～。僕にもそんな時期がありました的な青春だねえ。」


「だってさ、回転運動してんのにそれを維持するっておかしいじゃんか」


　「それ言っちゃすべての原子は即座に潰れちゃうんだろうけどな」


「そこだよ。なんか引っかかるだろ？」


　「何が？」


「超伝導電流を流したら、ミクロ限定だったはずの量子現象が巨視化するんだよ！」


　「ああ。回路は本来閉じていて、どこかで加速度運動があるはずなのに、なぜかエネルギーを失わないってか？」


「なんかおかしいと思わないか？」


　「思うっちゃ思う気もしないでもないが･･･俺ら1人だけでどうしろと･･･永久電流っつってもどうせ有限の時間内に減衰するんじゃねーの？」


「じゃあ理想化しようず」


　「理想化ねえ･･･理想化した超伝導な物性を考えるのか？そもそもどう理想化すればいいんだよ？」


「そうなんだよなぁ･･･超伝導のモデルの1つと言われるクーパー対、電子同士がペアを作ってあたかもフェルミオンではなくボゾンとして振舞うことによって永久電流が流れるっちゅう現象を理想化するにしても、その機構って理想化できるもんなのかどうかすら怪しいんだよなぁ。」


　「それで芋だけ屋の背理法か。仮定が間違っているかもしれないと。」


「物性を考えている時点で何らかの実在の物質を想定している気がして、理想的な状況が考えられてないんじゃないかって思えちゃうんだよ。」







「ところでさ、俺らって保存則の中で何が一番好きだ？」


　「え？さっきの話もう終わり？」


「まあ終わりっちゃ終わりだな」


　「そうだな～なんとなく角運動量」


「だよな～！なんか全部食らった最強的な感じあるよな！俺の考えた最強の保存則！」


　「作用やプランク定数と同じ単位ってだけでなんかステータス感じるって言うかさー」


「でもよー、スピンってそんなかでもラスボスみたいな感じしねえ？」


　「マスコットキャラかと思いきやすべての元凶だった、みたいな！」


「数学界から物理界ににじみ出てきた感じ。だってよ、交換相互作用がなかったらこの宇宙はもっとあっさりしたものだったかもしれないわけじゃん」


　「あー、っちゅうことはお前はスピンに永久機関的なロマンを求めたいわけか」


「ロマンがあればいいのだロマンがってよく聞くけどさ、ロマンで頭いっぱいになっても腹いっぱいにはならないじゃんか、なんかこう、もうロマンしか残ってないんだよ！な、なんだってー！？みたいな敗北感漂ってるよね最近･･･」


　「スピンを学ぶことにより人類の恒久的平和が保たれたらいいのにな」


「うん･･･スピンを学んで恒久的平和を導く土俵に上がるために勉強し続けたのに、いつしか目標は消えて、計算という手段そのものに萌えていたわけだな、わかります。」


　「厨二病、乙だよなー。」


「スピンって結局、仮面ライダーだったんだろうか･･･」


　「回ってるしな･･･」


「諸悪の根源にしてすべての根源、その力の源を利用して根源に抗うダークヒーロー、岡部倫太郎ないし鳳凰院凶真あるいは南原耕太郎みたいな感じが」


　「世の中、すべて悪で出来ているのかもなー」


「とんだショウワル説だよ。具体的な波動関数で書けないことが示されますってお前･･･何年独学でスピン目指してたと思ってんだよって。最終回夢オチじゃねーか！って。」


　「まあ、むしろ夢オチであってくれって話もちらほらあるけどな。」


「どこかで見たような光景ねっつって、それまでの本編をも作中作としてパロったりとかな」


　「すべて主人公の妄想でしたってか。」


「夢だけど夢じゃなかったみたいな」


　「どっちなんだよ」


「もちろん両方」


　「ずいぶん中ニ病的なコンピュータだなおい」

未定係数法を「重力によるバネの自然長の変化」として具体的にイメージする

色々あって延び延びになってしまいましたが、1月2日の続きです。


非同次微分方程式の解き方を、「バネ振り子の重力による自然長の変化」でイメージしてみる続き、始めます。



このようなバネ振り子、横向きなら重力の影響はなく、摩擦や抵抗なども無視しますと


運動方程式は
mx''=-kx　(m：質量、k：バネ定数、x：変位、ちょんちょん1回当たり1階微分)
になりますよね。この式は同次方程式なので、特性方程式を作って素直に解けます。

基本的な微分方程式は、微分したところで形がほとんど変わらないってところから始まるので
解きたい関数を何階やっても変わらない指数関数と置いてみるのが基礎の基礎です。

x=exp(wt)とかって置くわけです。
このxを微分方程式にぶち込むと、expがバッサリ消えてくれるので
mw^2=-kとかいうwについての高次方程式になります。この方程式を特性方程式と呼びます。

ところがこのwを求めようとするとw=±√(-k/m)とかいう純虚数になるので
iw=±i√(k/m)とおきなおして
x=exp(±iwt)という2つの指数関数を重ね合わせるとより一般的な解になるだろ的な意味で
x=Cexp(iwt)+Dexp(-iwt)とかいうのを一般解と呼びます。
ちなみに初期条件や境界条件などを与えてCやDに具体的な値をぶっこんじゃった解を特殊解と呼びます。

ただ、このままだと一般解が複素の領域でさまよいそうなので
量子力学以外での物理で複素はちょっといただけません。
そこでxが常に実数になるように、オイラーの公式を使ってCとDを調整すると
x=Acoswt+Bsinwtが得られます。



しかし、このようにバネを縦にぶら下げますと、下方向に重力があるせいで運動方程式が変わってきます。


運動方程式は
mx''=-kx-mgとなり、これは単純ですがすでに同次方程式の域を超えているのです。
しかも2階の微分方程式なので、変数分離して解くといったチートができません。

そこで
x''+k/m*x=-gの右辺-gが付け加わった非同次方程式の解を同次の一般解に付け足してやるということをします。

これを求める方法の1つが未定係数法なのです。

先の同次方程式で得た解の関数x=Acoswt+Bsinwtを流用します。


上の表によると、
特性方程式の解である±iwが右辺の指数関数の肩(0乗)と一致しないので、
上から1つ目(0次多項式-g×exp(0t))を参照して非同次解x=-gとおきます。Aは未知数です。
この非同次解を再度微分方程式にぶち込んで

(-Ag)''+k/m*(-Ag)=-g
になるので、A=m/k=1/w^2であることがわかりましたねわかります。


そこで、非同次解x=-g/w^2を一般解に付け足して
x=Acoswt+Bsinwt-g/w^2
とすると、ようやく縦に揺らしたおっパネ振り子の運動方程式が解けることになります。

これが何を意味しているのかというと
バネの固有角振動数の2乗に反比例した分だけ自然長が下に伸びていることを意味しています。
おっぱいを見て鼻の下が伸びている状況に相当します。揺れが激しいとあんまり伸びないみたいですね。ちょっと想像と違いますね。しかし僕は鼻の下が伸びている状況をリアルで見たことがありません。伸びるんですかアレ？


もし初期条件を時間t=0で初期位置x=0、初速度x'=v0とすると
x=Acos0+Bsin0-g/w^2=0からA=g/w^2
x'=-wAsin0+wBcos0=v0からB=v0/wが得られるので
x=g/w^2*coswt+v0/w*coswt-g/w^2
=g/w^2*(coswt+wv0/gcoswt-1)という特殊解が得られます。


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過飽和と過冷却をごっちゃにしていた

先日の放送力学のときのことだ。

霧箱の原理を先生が説明していて
あれ？気圧なんて変えたっけ？
って思って霧箱のwikiを見たら

霧箱には2種類あるらしく「膨張型」と「拡散型」があることを知った。

どちらも過飽和を用いることに変わりはないのだけど
高校生のときに素粒子の本を夢中で読んでいたときに知った霧箱(膨張型)がまさか、
ネットで出回っている「簡単な霧箱の作り方」(拡散型)の霧箱と別のメカニズムで出来ているとは思わなかった。
またそれを15年以上、今の今まで知らなかったことにびっくりしてしょんぼりした。



それで過飽和について気になって考えていたんだけど
放送大学で見たときはただ減圧しているだけのように見え
特別冷やしているようには見えなかったので
あれ？これだけの減圧で冷えるっけ？って思ったんだけど

このときはまだ過冷却と過飽和がごっちゃになっていて

過冷却：冷えた水を叩くと一気に氷になる
過飽和：ただ単に（相対）湿度１００％以上の状態

という発想がなかった。


そういえば過冷却と過飽和は過ぎている物理量が温度と混合比というまったく別の量であるにも関わらず
とてもよく似ているように見える。

熱力学と化学の相性がすごくいいのはこの辺なのかもしれない
2人して僕をいじめるんだぁー＞＜



春日ノナーっていいます。未来アルカン9号機です。

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テレビの前のみんな～！

霧箱を渡すからベータ線がきてるかどうか測ってきてくれるかなー？いいですともー！

ブラウン管ははたして有効なβ線源になりうるのかどうか
せっかく霧箱を自作したところで線が来ていなかったら無駄骨だからなぁ
霧箱に下敷きとか磁石とかかまして荷電粒子の飛行機雲を曲げる！
ハァー！憧れるゥ！


シーベルトのデータがあればある程度算出可能なんじゃねえかなぁ？


あ、それと
テレビのどこに何を映すかって信号をはっきりさせといたほうがいいよな
音声信号を映像端子にぶっこんだらオシロ化したから合体技でイケるかな！？
PCで正弦波信号を作っといてなるべく品質を維持しながらテレビに回す･･･



あーやっぱ一家に一台素粒子加速器だよなぁ～

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古代物理なう

2013/10/28追記：Excelファイルupしました！


放送力学の「熱と温度」と「力と運動の物理」をやっとの思いで見終えた

「熱と温度」は熱力学だとてっきり思っていたらいつの間にか化学だった･･･
しかし苦手ということに変わりはない。こちとら熱力学も苦手だし、化学も大の苦手だ！

「力と運動の物理」は、どうせ古代物理だろって思ってたら痛いとこ突かれた。
量子力学でもない、相対性理論でもない
かといってニュートン力学よりは新しく、汎用性のある物理体系というものがあったなんて想像もしてなかったんだ･･･

ラグランジュ方程式とかいう言葉は知っていたけどね。


いやぁこれがまた皮肉なことに
ラグランジュ方程式からハミルトーニャンの正準方程式を経て
ようやく量子力学を理解する糸口になるってのに
先に量子力学を知ったせいか
この途中のラインが全然すんなり頭に入らない屈辱ｗ


ポアソン括弧はなんてことはない、ただの交換関係じゃねーかって話だ。
(それにしたって括弧の使い方が反交換関係じゃねーかってのはおいといて。)


先日、ネットでコピペした付け焼刃の知識で2重振り子のカオスな振る舞いをいちおうシミュレーションはしたけれど
さっぱり理解できてない＞＜

摩擦のない2重振り子にどうやって摩擦を加えればいいのかすらわからないｗｗﾃﾗﾍﾀﾚｽ

それどころかニュートンの運動方程式をさも汎用であるかのように思い込んでいたｱﾎｽ；ω；



話が飲み込めないながらも、とりあえず最後まで目だけは通しておこうと全部見るには見た。
読んでない。見たんだ。
苦行かと思ったよ！


でも目を通してなんとなく思ったことはあって
「熱と温度」と「力と運動の物理」に共通するわけのわからなさ
それは、「時間と空間以外での微分」がたくさん出てくること。

どうも固定観念に縛られてるっぽい
ここ最近は実用的に使ってなくて、趣味で遊んでしかいないから
相当鈍ってきてる。書き慣れた変数じゃないと落ち着かないなんていう初歩的な段階に戻ってる感がある。

ましてや時間と空間以外での微分なんて･･･

そういえばしたことが･･･
あるな。

あるよ。

角速度とか波数とかで微積分するじゃんか！
フーリエで青春しといて時間と空間以外で微積したことないなんてウソだよ！


そうだ！それだ！
量子以前に屈辱したんなら
古典を量子から攻めればいい！
速度とか運動量での微分は波数や周波数での微分に置き換えればイメージできるじゃないか！
（あ、そういえば波数と角周波数はなんか言葉と式の対応が気持ち悪いよね
角周波数＝2π×周波数、波数＝2π／波長）



でもこれだと、熱力学的な量への展望が望めないんだよなー
熱力学四天王いんじゃん
ギプスだかヘルムホルツだかとか、エントロピーとかエンタルピーとか
いや実際四天王が何人居るのかも把握してないんだよ

だってあいつら呼び名が統一的じゃねえから覚えづらくってさ･･･
単位の違う量がエントロピーとエンタルピーで似てたり･･･
記号だってなんかとってつけたような記号使いやがって他の分野とモロカブりするし･･･記号資源の無駄遣いじゃ＞＜



抽象的なアウトプットばっかりしててなんだけど
抽象的なインプットは苦手なんだわorz
そういや抽象的で思い出したけど
微分って割り算と引き算をほぼ同時にやってるよね。

じゃああまり算も足してみてはいかがか。
って、何々を法とする導関数とか全然イメージわかねえｗｗ
そもそも極限取った時点で法もモジュロもくそもないだろうがって気がしてならない
整数論と微積分って相性悪いんだろうか？うーんどうなんだろう？ちょっとぐぐってくるわ

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牧瀬「今だけはアインシュタインに文句を言いたい気分。ねぇ岡部、時間は人の意識よって長くなったり短くなったりする。相対性理論ってとてもロマンチックで、とても切ないものだね」

岡部「いやその理屈はおかしい！お前今全力で釣ってるだろ！！」

牧瀬「お･･･お、岡部のバーカバーカ！もうしらないっ！」

明日の放送力学「量子物理第13回」楽しみだなぁ～

いよいよ水素原子の波動関数～動径方向の微分方程式～まで揃うんですよ！！

このときを待っていた！！！

もう1つの意味では、前回夏の放送のときに14、15回目(ラスト)を録画していたので
次回の録画しちゃえばミッションコンプリートなわけです！｀・ω・´
年末年始挟んじゃったけど、これで一区切りつくわけですよ！
天気予報も良好！雪でBSアンテナが不調という心配はたぶんナシ！
楽しみだなぁ～


はぁ～ゆくゆくはこの波動関数を元に、酔拳しながら散歩しまくる電子のシミュレーションがしたい！

「ネルソンの確率力学」とかいうらしいです。

いまいちわかってないのが、どうしてプランク定数をゼロの極限に持ってくると
ただの惑星の軌道になるのかってことっすよ
感覚的にはもちろんわかるんですが
元々惑星の軌道って平面なのに、水素原子なるとなぜか立体っぽくなる
その辺の理屈をはっきりさせたい！

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備忘録：非同次常微分方程式の解き方～未定係数法～

忘れてしまったのでぐぐってみたんだけど、いまいちピンとこれるとこがなかったので
自分にとってより具体的に理解できるようにブログにログを残してみるウェブ日記。


たとえば速度の1乗に比例した空気抵抗を受ける落下運動の式

mv'=-rv+mg

こいつは1階なので特に意識しなくても
mdv/dt=-rv+mgを適切に移項すれば

(-m/r)dv/dt=v-mg/r
dv/(v-mg/r)=(-r/m)dt
ln(v-mg/r)=-rt/m+C
v-mg/r=Cexp(-rt/m)
v=mg/r+Cexp(-rt/m)

初期条件t=0でv=0
v=0=mg/r+C
C=-mg/r
v=mg/r(1-exp(-rt/m))

が得られるんですよ。


でも、たとえば水か空気の抵抗を受けながら振動するバネとかだったら2階になるので
mx''=-kx-rx'+mg
こいつを解くときはさっきのようにはいかないんすよ。

この式は非同次というもので
mx''+rx'+kx=mg
の右辺がゼロじゃないんす。

まずは右辺をゼロにして、同次の微分方程式
mx''+rx'+kx=0

を解いてから非同次を解くっちゅうことになります。
この例における同次方程式は、重力によるつりあいをあらかじめ自然長に織り込み済みの式っちゅう具体的な状況に相当してます。

オーソドックスな微分方程式の解は、関数の何階微分が自分自身に比例とかそういう構造だけに
何階やっても変えれない指数関数exp(λt)を当てにすることが多いです。
先ほどの空気抵抗を受けた落下の式も、結果的に指数関数になったのはもはや必然っすね。


なので、とりあえずx=exp(λt)を微分方程式にぶち込んでみて
(mλ^2+rλ+k)exp(λt)=0
を満たすλを求めちまえっちゅう、このλのn次式を特性方程式と呼びます。


n階の微分方程式の特性方程式の解λは一般にn個ありますが
時々重解が現れるので注意です。


さて、λが2次方程式の解の公式でλ=(-r±√(r^2-4mk))/(2m)と求まったとしましょう。
λ1=(-r+√(r^2-4mk))/(2m)、λ2=(-r-√(r^2-4mk))/(2m)
とします。

exp(λ1t)もexp(λ2t)も関数xの条件を満たしているので
それぞれに適当な比を持たせても関数xは解だろうっちゅう推測の下、積分定数C1とC2を用いて
x=C1exp(λ1t)+C2exp(λ2t)
これが同次のときの一般解になります。



では非同次、つまり重力による垂れパイをxの自然長としてまだ考慮に入れてない式
mx''+rx'+kx=mg
だったらどうなのか

これを解くには未定係数法と定数変化法の2つがあります。
方法は違いますが同じ結果を導けます。


今回は未定係数法をやりましょう。

ただし、
まずは2階の微分方程式に入る前に、
腕試しのつもりで、空気抵抗を受けた落下の運動(1階の微分方程式)が、
さっきと同じ結果になることを確かめましょう。

mdv/dt=-rv+mgを移項して
mv'+rv=mg
のmgを外して同次にします。
mv'+rv=0

v=exp(λt)とおいて、式にぶち込みます。
(mλ+r)exp(λt)=0
なので、λ=-r/mです。

v=Cexp(-rt/m)　これが同次の一般解になりますが
次はいよいよ非同次の式

mv'+rv=mg
を解きましょう。


未定係数法では、
非同次の一般解yは
同次の解y0と非同次オンリーの解y1の線形結合になるので
適当な係数をかけて
その係数を求めるっちゅうのが未定係数法という方法になります。


非同次の右辺がある特定の形であれば
非同次オンリーの解y1は以下の表のようになることが知られています。

とにかく、右辺の指数の肩にある係数と特性方程式の解が一致したらとりあえず変数t掛け乗せしたれってこってす
重解だったらさらにtかけたれっちゅう。

mv'+rv=mgの右辺は表によるところのn次多項式×exp(αt)の、0次多項式・α=0の場合に相当し、
特性方程式の解λとαが不一致なので
非同次の解v1は適当な係数Aを設定してv1=Aとおいて

v1=Aとv1'=0を微分方程式にぶち込んで
0・m+rA=mg
よって、A=mg/rとなり、
一般解v=v0+v1=Cexp(-rt/m)+mg/rと、初期条件を決める前の式までちゃんと一致したことが確認できたと思います。
初期条件を求めるところからは先ほどと同じです。


次回は2階非同次の微分方程式を実際に未定係数法で解いてみましょう。
水とか空気とか油でダンパされたバネの、減衰する振動っすね。



ミケーネーｺｰﾎｰ　トゥービーコンティニュー

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