トンネル障壁の高さが低いトンネル効果への拡張

まず訂正があります。
Fの分子に2ikk1と書いてありますが、正しくは2kk1でした。


それでですね、入社粒子のエネルギーがポテンシャルの高さよりも高かった場合の解析解なんですけどね
思い出したんですよ。
k1をik1に置き換えて最初の行列方程式から計算することなくて

この結果のk1をik1に置き換えるだけでよかったんです。

昨日はびっくりドンキーで、散々計算してました。
無駄時間を過ごした気分ですが、とても居心地がよかったのでまんざらでもありませんでした。＾＾




正しくはこういうことなんですが、
ここで、k1をik1に置き換えてみますと、以下のようになります。

よく見ると、双曲線関数が全部三角関数に置き換えられていることが分かるかと思います。
こうすることでk1<kの状態にも拡張することができるようになりましたので
ようやくk1→0の極限を計算することができます。

しかし、k1=0にすると、分母がゼロになってしまうため
不要な項を消して整理してから、分母分子をk1で割ってみましょう。
するとこのようになります。

ここで、sink1b/k1のk1をゼロにしてしまうと、一見不定のように見えるのですが
これはsinc関数と言ってsincx=sinx/xのx→0で、sincx=1になることが知られています。

ためしにロピタルの定理を使ってみるとわかるかと思います。



結果、以下のようになります

昨日もびっくりドンキーの中で計算していて、奇妙に思っていたのですが
この式が自由粒子の解になるにはk1=0(k1<<k)の条件だけではなく
2>>kbの条件も必要なようで
そうすると晴れて

反射波0、透過波1の自由粒子の解が得られるようです。