ルジャンドル陪関数の偶奇と量子数の偶奇

ルジャンドル陪関数P(x)、変数のxを水素原子では極座標の緯度方向θに置換して
P(cosθ)とかにしやがるから

xは奇関数だけど、cosθは偶関数なので、一両日くらい混乱してた。

解く際はP(x)とかやって、xとか√(1-x^2)とかが大量に出てきて
xがcosθだと√(1-x^2)はsinθになるんだけど

式の次元だけ見ると
√(1-x^2)は2乗してまたその1/2乗するからこれは奇関数やな
とか思ったら大間違いで、グラフをよく確認するとこれ偶関数なんよね

だから一度勘違いした結果、表を参照して磁気量子数mと方位量子数lを用いて
2m+lの偶奇がルジャンドル関数の偶奇を決めるとか思ってしまったけど


ここでなんか知らんけどwiki見返して
2m+lなんて項目あったっけ？とかわれながらわけわかんない着目をしたおかげで
√(1-x^2)が偶関数であることに気づくことができた。

そうすると、cosθとかで表してたときにはmの偶奇だけにP(cosθ)の偶奇が依存してたのが
P(x)の場合は2m+lなどではなく、l+mの偶奇に関数P(x)の偶奇が依存しているとわかった。


数値計算する際にこの偶奇情報はかなり大事だったりする。



あとは、これをこのP(x)にφの関数をかけてから2乗してさらにsinθをかけてからdθで積分してからさらにdφでも積分して
規格化定数を得るわけだけど
微分方程式を変数xで解いておきながら、数値積分するときはθでやれとかモヤっとするよな



なんかもう問題が次々割り込んできてなかなか到達できる気がしない(笑)



ところで、ルジャンドル陪関数を微分方程式から数値的に導出するのはほぼバグが取れて
オイラー法でも精度上げればなんとかなることがわかったのでよかった。

何が主なバグだったんだったかな、
ただもう1つの要因として、-m^2って項が微分方程式にあって
Excelだとこれが曲者で、変な計算結果を吐き出しかねないので、きちんと(-1)*m^2って記述したのも大きいのかもしれない


あ、思い出した。この-m^2の分母に1-x^2があったから、x=±1で発散するんよね
あろうことかこの発散ポイントから解くことを始めてしまったからそりゃ終始発散もするわ
って納得したんだった

奇関数を偶関数で置換すると

水素原子、進捗はあったんだけど可視化できるまで手間がかかるのがもどかしいな。


今日は計画的だったのかそうでないのかよくわからない。
計算はいつもより多めにできたけど、ブログを書く時間を忘れてた。

久しぶりに差分方程式に手を出した

発散した。
非対称に。
途方に暮れた。




僕としては理屈を理解してるオイラー法でちゃっちゃと確かめたいのに
オイラー法はどちらかというと精度が悪いらしく
久々なのもあってか、何が原因でうまくいかないのかわからず、とりあえず今日一日途方に暮れた。


特に、固有値のある微分方程式なんかは、発散するのがデフォみたいなところがあるし
オイラー法の精度だと、解析計算での固有値と数値計算での固有値が普通にズレるため
試行錯誤が必要だし
球面調和関数(今日はまだルジャンドル多項式)の場合、量子数が2つあるので
どうやって量子数を探るのかがまずわからない


こうなると、もう最初からルンゲクッタ法やっとけよって気もしてくる


そもそも久しぶりなので、ちゃんと式を記述できているかどうかが結構曖昧だったりする。
だからこそ、オイラー法でもできたよ！っていう経験がほしいっていうのもある。


ルジャンドル陪関数は…たしかまだやってない…と思うんだけど
どうだったかな。
ノウハウとか知らんし、やってないはずだ。たぶん


気になる点とりあえず1つ
二階微分の差分表現(y2-2y1+y0)/dt^2

に対して、1階微分の差分表現をどうするか

(y2-y1)/dt
にするか

(y1-y0)/dt
にするか

間を取って
(y2-y0)/dt/2
にするか



そういえば極座標の緯度φじゃなく経度θに関する微分方程式はどう解いたんだったっけ
そもそも数値的に解く必要性を今は感じないんだけど
昔どうやってたか、謎だ。

特に気になるのは境界条件
ぐるっと一回りして元に戻るはずなんだから、数値計算したときに発散するわけないんだよな
別に井戸型ポテンシャルと同じように解いてよかったんだっけか？
発散しなければ固有値がおｋみたいな？
なんだろう？まったく記憶にない



でもブログにはアップされてるんだよなぁ。

毛根な時間

羽を伸ばせる日だったはずなのに眠り呆けてしまって絶望しました


いちおうですね、規格化するんなら、内積1じゃなくて内積ゼロの場合もちゃんと計算しようず
ってことでちょっと、水素原子の波動関数の、量子数が異なる場合の球面調和関数同士の積分はしてました。(画像は用意できませんでした)

球面調和関数の規格化例

この計算は楽しかった。

例えるならそう、フルパワーグリッドマンのような変形合体。
複素数はロマンだよねぇ。
各々の三角関数をアシストウェポンとすると、それらが一旦複素の世界に変形して
掛け算されることでグリッドマンに合体し、
三角関数に変形されなおす。




数式エディタで直に式展開するスタイル、久々にやったけどなまってなくてよかった。
こっちのほうが紙媒体より早く正確にできる場合は確かにある。

それでも紙媒体に数式を書くのは
閃きと、計算の自由度を得たいためかな。


以前僕の先生が、計算してると呼吸を忘れるって言ってた気がするんだけど
今更冗談交じりにググってみたら「電子メール無呼吸症候群」ってのがガチであるみたいで驚いた。

僕が学生のころはネットの黎明期で、まだポケベルも使われてたころだから
先生が電子メール無呼吸症候群を知っていたかどうかは定かではない。


でも久々に数式エディタで長時間作業してから一息ついたときに
やたらあくびがでることに気づいた。

やっぱりこの計算の趣味はやるだけで体のあちこちをむしばむ可能性があるようだ。
実際、腰痛や逆流性食道炎にはなったし、いつも左足がしびれる。

VDTも苦手なんだよな。

スマホばっかりやったらそれはそれで腰が痛くなるし


寿命が縮む云々より、その寿命まで計算力をいかに劣化させないかが問題だ





＝＝＝＝＝＝＝＝＝
追記
ああそうそう、球面調和関数の規格化の際、緯度φと経度θで積分するけど、波動関数としての球面調和関数の絶対値の2乗に、なぜかsinθを掛け算してから積分するらしい。

これもだけど、そもそも極座標のラプラシアンとか、最近原理をあまり理解しないで使っていることが多くなってきた。
今後使うことになるだろう、オイラー法に変わるルンゲクッタ法なんかもあまり理解してない
もちろんラゲールやルジャンドルの多項式も、最初からノータッチだ。触れる気がしない


球の体積を求める際にも、なんか微小量としてsinθを掛け算していたような…？

この辺はもうどうしようもない老いの部分として、開き直った方がいい気がする


ただ、極座標のラプラシアンとかについては、もしかしたらテンソルの運用を身につける際に簡単に思えてくるのかもしれない

ガチで自分の一生の間にどこまでできるんだろう…昔は冗談半分で笑っていたけど、だんだん笑えなくなってきた。
まあ僕は一線を走るような人ではないので、どんな途中でもいいんだけどね
最後まで楽しくはありたい

俺たち、取説をどこで読み間違えちまったんだろうな…

極座標のラプラシアン、ズルして導出せずにどっかのサイト参照したんですが
そのサイト、ちゃんと正解を書いているのに読み間違えて


こんな風に書いてしまいました。

正しくはこっちです。
 


緯度方向の波動関数Θ(θ)をたまたま計算していたら、wikiと合わなかったので
おっかしいな～？って思って調べたんでした。
危なかった
具体的にはΘ(θ)=3cos^2θ-1のところで違和感に気づきました。




ところで、昨日はですね
緯度方向の波動関数Θルジャンドルの陪関数のことですが、
一周すると元に戻るはずなので赤道を原点にすると、
偶関数か奇関数になるはずだよな
っていう妄想をしていたんですね

もしかして、北極(か南極)を原点にしても偶関数か奇関数になったりしますかね？
水素原子のwikiではθの取り方は北極を原点にしているので、数式を眺める限りだと
純粋な偶関数か奇関数っぽく見えますね

劇場版 派遣社員変形ロボ ビジタリオン

～新幹線だって平和を守れるんだ！～




ペンローズの量子脳理論
スピノール
ツイスター理論
地球を卒業した地球人の子孫が未来から故郷を探しにくる
カーリー
対消滅
多元世界
VISITOR
3DCGフィギュアアニメーション
ダイガード
新幹線変形ロボシンカリオン
地球防衛企業ダイ・ガード
オーパーツ

過去を省みない男マッ！？

水素原子カテゴリのログ見ろよ自分
答えほぼほぼ載ってんじゃん


…未来に向かって劣化したのを認めたくなかったんダ…すまないすまない


特に、20140107の最後の図「なぜか√2をかけると云々」の直前
20140106にそのまんま答えを解説…あれ？
飛んでない…前日！？
俺の記憶は1日後につながっていないのか…！？
1月7日の俺は何をいまいち理解できてなかったんだ！？オーパーツ…？？？？？？

転んだ分以上の利子をいただく

ブログ更新がおろそかになっていたのはですね
アニメの分野で落ち込んだり、両親の老化に伴う世話が増えたりもあるんですが
ソシャゲを始めたというのが大きいと思います


これまでずっとゲームは1機種当たり3作品くらいしか持ってなかったんですが
ソシャゲってそういうとこ全然違って、いつでも携帯できるし
いくらバージョンアップしても基本引き継げるし、ソフトを複数持っててもいいし
物理的なソフトもないじゃないですか


そうすると、切りがないとも言いますが、飽きがこないわけでね
ゲームがずっと続けられるんですよ


これまでゲームが続けられなかったことによるデメリットとして
「策略」という概念を持つのが遅かったというのがあると思います

たとえば図工や美術で、計画を立てずに作業を始めて、期限内に作り終えられず、評価する側もなんともしがたいから、結果として内申点が5段階評価で常に2になってしまう

とかそういうデメリットがあったんでしょうね


じゃあ逆に、ゲームを続けていたことによるデメリットは何かというと
夢中になりすぎてほかの何もかもがどうでもよくなることが挙げられると思います。

これまで数学や物理にのめり込めたのも、ある意味、ゲームの楽しさを知らなかったが故のストイックさだったのかもしれませんし
ソシャゲならではの特徴もあると思います。

というのは、スタミナとかAPとかそういう概念ですね。
ソシャゲの開発側は常に自転車操業なので、とにかくガチャをさせたり、 APという概念を持たせたがります。
その結果、プレイヤーである消費者側は、四六時中APを意識しがちになります。

ゲームへの免疫がまったくなかった人生にいきなりソシャゲが入ってきたので
見事にほかの何も手につかなくなり、抜け出すノウハウもわからないままでした。


そんな折、コロナウィルスが流行して
「体調が少しでも悪かったら申告してください」という職場からの通知が来て
結局被告でも容疑者でもないのに、１，２週間もの長期休暇の権利を得てしまったのです。

僕の職場は2つで1つの職場で
未明と夕方に1つずつある同じ職場なんですが
未明と夕方の休日がほとんど重ならないことに定評があるんです。
基本的には年1回重なります。

以前の勤務形態では、7年くらいに一年間だけ、毎週丸一日休めるシステムもあったのですが廃止され、
今は、ごくまれに運よく丸一日休める日があるかないかくらいです。


それが、いきなり7連休以上の長期休暇をもらったので、戸惑って…はいませんし
金銭的に痛くもかゆくもないのですが
外を1日1万歩前後歩く仕事なので、雨が降ったりすると、「復帰したら雨の中また歩くんだろうなー」ってどんよりしたり 「筋肉なまってるだろうなー」とか「筋肉痛が来たら嫌だな～」とか思ってどんよりしますが
どんよりするだけです。
最近は自分自身の40歳が近いので、バイタリティがなくなってきて 仕事を終えると力尽きるような感じだったのですが
高々アラフォーでそんなんじゃいかんっていうか
そうはならんやろ
って思いが常にあって


この長期休暇を機に、また毎日ブログを書く癖をつけて、
ゲームとも折り合いをよくして 毎日有意義にしてやろう作戦を進めている最中なんですね。

たぶん、バイタリティがない云々は言い訳で、
本当は両親からくるストレスから、ソシャゲか睡眠で逃亡したいんだと そう思いたいんですよ
だから、癖をつければなんとかなる！たぶん！なれ！

何か情報食った分、ブログ魔法を捻りだしてやった！うんこー！

今日はwikipediaの観測結果だけを書くよ！
一日分の頭痛がウザいから！


水素原子の波動関数のwikipediaね

ちゃんと導出過程で、軌道角運動量のこと、リンク先に書いてあるし
そのリンク先にはさらに、球面調和関数へのリンクがちゃんと貼られていた！
もしかすると僕のつながっていない知識がここでつながる可能性もなくはない！

ラゲールだけじゃなく、ルジャンドルの多項式についても書いてあった！よかった！

いぇーい！ここのwikipediaはちゃんと閉じてるぜいぇーい！


あとな、
Φ(φ)　Θ(θ)　のΦの部分で複素になってる表が

Φ(φ)Θ(θ)　極座標(実数)　になる時点で、さりげなく√(2)倍されてんじゃねーか！ヤッダー！


結果的にあんまり縮退とか意識しなくて済むみたいでよかった。

これ、いつだかの「量子力学～水素原子～」のカテゴリにも同じこと書いてあるかもしれない
あるいは書こうと思ってエタってたかもしれない
エタってたとしたらと思うと書いた意義があるからやったぜ！してやったぜ！数年前の俺



このコロナ自粛のピンチをチャンスに変えて、俺は毎日更新ブログを取り戻す！！
癖をまたつけてみせるぞぞぞぞぞぞぞｚ！






(気になるのはな、ルジャンドル多項式Pの変数zが、P(z)=P(cosθ)になっていて、いつの間に緯度θの原点が…あ！やっぱりそうだ量子力学、というかこのwikiでの緯度θの原点は最初から原子の北極だ。赤道じゃねえ。)




緊急眩暈速報です！頭蓋の中で脳のポールシフトが発生しました

電子雲の経度方向波動関数について２

昨日のブログでは割と定性的な話しかしなかったから、今日はもう少し定量的な話をしようと思う

極座標における経度方向φの波動関数Φ(φ)=U6だけども


B2>0だと指数関数
B2<0だと三角関数になる

しかし、経度0度と360度で連続でなければならないので、指数関数ではありえないことがわかる。
Φ(0)=1≠exp(±2πm)=Φ(2π)
Φ'(0)=1≠±mexp(±2πm)=Φ'(2π)

よって、B2は必ずB2<0を満たす


三角関数だと
Φ(φ)=exp(±imφ)になるので

Φ(0)=1=exp(±2πmi)=Φ(2π)
Φ'(0)=1=±imexp(±2πmi)=Φ'(2π)
が境界条件なので、mが整数という条件を満たさなければならないが、

よく計算してみると、この微分方程式だけでは、mの2乗の上限、つまりmの範囲を決めることができないことがわかった。
たぶん、緯度方向のΘ(θ)、動径方向のR(r)まで話がさかのぼるんだと思う。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
次に、規格化定数について調べてみると

僕はてっきりΦという関数を実数化するものと思っていたのだけど
どうもそうではないらしい。

というのも、

Φ(φ)=exp(±imφ)の線形結合として
Φ(φ)=Aexp(imφ)+Bexp(-imφ)=Acos(mφ)+Bsin(mφ)=Acos(mφ+B)

(各々の規格化定数AとBは同じものとは限らない)

として、絶対値の2乗を0から2πまで積分すると


こうなってしまい、位相の定数Bはいいとして
AがA=1/√(π)
になってしまう。A=1/√(2π)というwikiと合わない。(水素原子の波動関数なんて伝統の由緒正しいwikiなんだから、ここが誤植ってことはないと思うんだ)


そこでwikiとにらめっこしたところ、m=+1とm=-1が別々に書いてある。

そういえば昔どこかで聞いた、「水素原子の波動関数は縮退している」という言葉と
「束縛されていない粒子の波動関数は複素数のまま」という言葉を思い出した

この「縮退」「束縛状態」「複素数」というのはもしかして、つながっている1つの現象なのではないか！？


と思い、Φ=exp(±imφ)を素直に絶対値の2乗を取って積分してみるとあら不思議


ちゃんとwikiどおりAがA=1/√(2π)

になったじゃん！

電子雲の経度方向波動関数について

時間に依存する水素原子様の電子殻の波動関数
極座標のラプラシアンで表すとまずこうなって



時間と空間の変数分離のために波動関数Ψで両辺割り算するとこう


変数分離をするとこう

まずは時間と空間の微分方程式が分離できて


さらに動径方向と2種類の角度θ、φに分けるとこう

(最初とここのrの意味合いが異なるのでごめんなさい、最初らへんのrは3次元空間ベクトルとしてのrで、ここでのrは動径方向のスカラーとしてのrです)



さらに、2種類の角度θ(緯度)とφ(経度)について分離して

緯度θに関する微分方程式はこうなんだけど

それはおいといて


経度に関する微分方程式は、めっちゃ初歩の微分方程式でコレ


いわゆるひとつの定数係数の同次2階微分方程式

ただし、B2が正か負かで振る舞いが全然違ってくる。

波動関数U6が指数関数になるか三角関数になるかくらい違う。

指数関数だとたぶん発散するから成立しない。
exp(imφ)みたいな形になるはず
おそらくこの制限が、磁気量子数mが「いくつまで」ってやつだと思う。

あとはmが離散値を取る話だけど、これはたぶん境界値問題かな。
ぐるっと360度回って連続じゃなきゃならないから、そこで離散の制限を受けるんだと思う

それで、このwikipediaのΦ(φ)だけど、複素数になってるのはたぶん微分方程式として計算しやすいからだよね。
振り子の問題の変数が時間tじゃなくて角度φになっただけの話だから
角度φにしても距離xにしても、時間みたいに初期値(0F微分)と初速度(1F微分)の初期値問題じゃなくて
0階微分同士の境界値問題になるんだけどね

振り子の微分方程式を解く際に

Aexp(iωt)+Bexp(-iωt)
を
Acoswt+Bsinwt→Acos(wt+d)　(量子を人間が観測する際は位相は割りとどうでもいい)

ってしたやつ
あのexp(i)のやつが複素数だから、解を実数にするようにAとBが都合のいい複素数(複素共役)になってくれるやつね

たぶんそれだ


これで経度方向の波動関数の規格化は理解できたとして
あとは緯度方向の波動関数の規格化をどうやってんのか探らなきゃいかん。

動径方向がラゲールで、緯度方向がルジャンドルの陪関数だっけね
自作で数値計算したいんだよね～


ルジャンドルの関数(多項式)が、まるで水素原子を一旦球面の極座標にしたあと
高さzに関する円筒座標の関数P(z)に戻してるってのが個人的に興味深い

緯度のルジャンドルに関して-1から1まで、経度に関しては0から2πまで積分して規格化をするらしい
緯度は高さzだと-1から1だけど、θで言えば-π/2から+π/2ね
あれ？基準どこだっけ？
昼間地球儀のこと考えてたから0度を赤道に考えてたけど
量子力学の流儀だと確か、真上(原子の北極)が0度じゃなかったっけ？いや南極か？

お前それ懐古厨や

デジモンの話になると、無印と０２のこと以外ではだんまりになってしまうワイ
テイマーズもフロンティアも見ていた、あるいはあとから見たのにあんまり語ろうとしないマン
セイバーズはうっかり全然見てなかったが、マサルダイモンの話だけなら知ってる

テレ朝系に移ってからも、ちょいちょい見たりはしてたんだけど、あまり記憶にない。


あー、もしかしてこれが、初代しか認めないガノタとかいうめんどくさいアレか！
(類義語：昭和ライダーしか認めない特撮オタク、ジャーはだめでレンジャーじゃないとダメなオタクなどなど)

シリーズもの追いかけるの苦手苦手ってできる限り避けてた俺も、アラフォーにもなると嫌でも経験がついて、初代エコヒイキのめんどくさいオタク成分が抽出されたりするんやねえ！

としみじみ思うなどした

構造定数、お前だったのか

先月の通院くらいのころにはっと思いついたやつ

パウリ行列同士の積あるいは(反)交換関係がクォータニオンの基底同士の積みたいになるんだったら
ゲルマン行列でできねえ道理はねえじゃねえか

っつって
e1=-iσ1
e2=-iσ2
e3=-iσ3
e4=-iσ4
e5=-iσ5
e6=-iσ6
e7=-iσ7
e8=-iσ8

[en,em]
とか
{en,em}

とかって綺麗な形に…ならねええええええ！

あのクソ忌々しい構造定数にたどり着いたぞ！！！！！ちくしょおおおおおお！

綺麗なのは実数ってことだけじゃねえか！！！

でもこれはこれで添え字3つだし、レヴィチビタ記号のときはグリッド3つだけだったから
グリッド8つの3次元配列とかやってみてもいいかもな…

ひまつぶし

来週木曜のひまつぶしはそうだな…その翌週からけもフレ３がくるから割と一発屋でいいんだよな。1時間しのげればそれでいい。

何かしらのコミック1冊新巻を電子書籍で買うか、それとも大学図書館か普通の図書館で本を1冊借りるか、どちらかにしよう。


何か読み終えてない電子書籍の消化に当ててもいいな。


あ、そうだ。一発屋といえば、広告で気になったゲームアプリを1つ入手して、飽きるようだったらポイーでもそれでもいいな



再来週から僕の脳に常駐するゲームがまた2つに増えるわけだけど、さあて、どう生活が変わる(堕落する)か楽しみだ