調和振動子の昇降演算子

量子力学の本を返したのでこのチャンスを活かして、調和振動子のほうの昇降演算子の、
空で書けるようになった部分を書きます。

まず、調和振動子ポテンシャルのハミルトニアンを無次元化します。
ハミルトニアンの次元はエネルギーなので、
同じくエネルギーの次元を持つ



の2倍でハミルトニアン



を割ります。



hにバーがついたのはプランク定数を2πで割ったディラック定数
kはばね定数、mは質量、xは位置、pは運動量、ωは角振動数で



の関係があるので、無次元化したハミルトニアンは以下のようになります。



そしてこれをガウス素数っぽく半分に因数分解します。


この片方、どっちか忘れましたがプラスがついたほうをaと置くと

マイナスがついたほうはaの複素共役(というかたぶんエルミート共役)a†と書くことができます。


†をどっちのaにつける慣習かは忘れましたが
運動量pにプラスiがついたほうを下降演算子、マイナスiがついたほうを上昇演算子と呼び

波動関数に上昇演算子を左からかけると、量子数1個分だけ固有値がアップした波動関数を
波動関数に下降演算子を左からかけると、量子数1個分だけ固有値がダウンした波動関数を
算出することができます。

ではこの芋づるの端っこはといいますと
一番下の波動関数に下降演算子をかけると恒等的にゼロになることが知られているため、それを利用して微分方程式を解くことで算出できます。


つまり具体的にやってみますと

物理量xとpを微分演算子にして

このように解くことができます。(Cは任意の定数です)

分散dw/dk∝kの波束の崩れ

なんかPCからgifをアップするとツイッターで隠れる傾向があるみたいなんで、こっちにもアップします。

っていうか最近ウチのWi-Fiスポットがすげえ不安定だから、そのせいもあるのかも

角運動量の代数、状態の数を3つから5つに増やしてみました

前回のあらすじ

状態が3つある角運動量の代数(行列力学？)の上昇演算子？についてる√2のルーツを探りました。


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今回は状態を5つにしてみます。つまり、5行5列の行列が計算対象になります。

上昇演算子？は以下のように

下降演算子？も以下のように定義されます。


A,Bはあとで定まる未定の定数です。


L+=Lx+iLy
L-=Lx-iLy
の式から、LxとLyを求めると、以下のようになるので

[Lx,Ly]=iLzからLzを求めます。

LxLyとLyLxはそれぞれ

このようになりますが、あとで引き算すると、非対角成分はどうせゼロになるので、計算は省きます。

この対角成分が固有値、つまり2,1,0,-1,-2になってほしいので、そうなるようにAとBを定めます。
A^2=2*2=4
-A^2+B^2=2*1=2

A=±2なので
-4+B^2=2
B^2=2+4=6
B=±√6
と定まりました。

つまり、

が本当の姿だったのだ！


これの便利なところは、同じ種類に属するLx,Ly,Lzは固有値が共通ということです。
つまり、Lzで固有値が0,±1、±2とわかっているので、
LxとLyの固有値も、0、±1、±2と、わざわざ5次の行列式を展開して、
5次方程式を解かなくてもわかってしまうのです。
なんなら5次方程式も、λ(λ^2-1)(λ^2-4)=0と、因数分解した状態で逆算できてしまうので
展開してやれば方程式が算出できます。


Lxの固有値方程式にいきなり固有値をぶち込んでExcelに計算させたのがこちら
(あ、λの符号が…ｱｯ…ｱｯ…ﾏｱｲｲﾔ！)

同様にLyもExcelで計算可能です。
ただ行列の中身に虚数単位を掛け算してるだけなんで、それを抜かせば実数行列として計算できますよ

角運動量行列の交換関係とか対角化とか係数の話

前回までのあらすじ

状態が3つある行列力学？で、角運動量の上昇演算子？L+と下降演算子？L-を定義しました。





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さて、この2つの演算子から、角運動量のx成分Lxとy成分Lyが求められるらしいです。
どういう原理なのか今なお僕自身理解できてないのですが、なんか計算できるらしいです。


という式があるらしいので、exp(±)からsinとcosを導出するノリで式変形するとLxとLyは以下のようになります。

本当は初めから係数をつけるべきだったのですが、ここからいきなり係数Aを付けさせてもらいました。


それから、角運動量Lのz成分であるLzとは、このような関係があります。
[Lx,Ly]=iLz

これは、x,y,zをy,z,xやz,x,yに置き換えても言えるので
[Ly,Lz]=iLx
[Lz,Lx]=iLy

となります。

ただ、x,y,zの順番で成立するのであって、逆回りつまりx,z,yやz,y,x、y,x,zでは符号が逆になって
[Lx,Lz]=-iLy
[Ly,Ly]=-iLx
[Ly,Lx]=-iLz

となります。詳しくは、レビチビタ記号を参照ください。

また、[,]は交換関係と呼び、たとえばAとBという行列であれば
[A,B]=AB-BA
と定義されます。

普通の数では交換法則があるので一般に交換関係はゼロに保たれるのですが
行列の積あるいは微分演算子が絡む場合などでは交換関係は一般に成立しません。

特に、AとBが物理量の場合、量子力学において交換関係がゼロでない際は不確定性原理が効いてきて、物理量A,B両方の精度を一定以上上げることが原理的にできなくなります。
(※将来的に、小澤の不等式も絡んでくる可能性は低くないと思います)


話を元に戻して、LxとLyの交換関係を実際に計算してみますと



実は
Lzというのは量子化された数で対角化されるはずなので
A^2/2=1であるべきで、A=√2であることが求められます。


つまり

が本当の姿だったのだ！

行列力学？の上昇演算子っていうんでしたっけ？

なんか2年ぶりくらいになるような気がするこの計算。
前回もろくに途中経過書けてなかった気がするので、一旦初心に戻ったつもりで
この知識が当たり前になる前に書き上げたい。

色々デジャヴると思いますが堪忍な。

まず、そうですね、放送大学で初めて、具体的な行列力学っぽい計算例を見た気がするんですけどね


最初は状態が3つある角運動量の話だったかと思います。

こんな感じの列ベクトルで、この3つの数字の枠どれか1つに1があるんですが、

ある状態の角運動量を1つ分だけ持ちあげる角運動量演算子をL+と書き

一番下の底辺だったら真ん中に、

真ん中にいたら一番上に、

一番上にいたら空の状態にする(この空の状態は存在しない)

このような演算子をL+と定義します。


カッコの中、1列に数字が並んだものを列ベクトル
行と列に渡って2次元に配列されているものを行列と呼び、
(1行のものを行ベクトルまたは単にベクトルと呼びます)
ベクトルや行列は掛け算ができます。詳しくは行列の積を参照してもらうとわかりますが、
行列同士の積は一般に交換法則が効かず、列・行ベクトルと行列との積は、場合によっては定義できないこともあります

演算子は、状態の左から掛け算することが多いです。


ここで、3つの状態を横に並べてみると、単位行列Eになることが分かります。


単位行列Eにある行列Aを掛け算すると、左から右から掛け算どちらでも、結果がAそのものになるので


一番上以外、1つずつ上に状態を上げる演算子をL+と考えれば、

L+は、変化させたい行列そのものであると考えることができ、導出が簡単です。



それでは、状態を1つずつ下げる演算子L-を考えてみてください。

コレの、1を1つずつ下げて、一番下の行(一番右の列)はすべてゼロにする演算子です。



そうですね、この感じで「ゆっくり説明するブログ」の方針で行ってみましょうか。
最近はあまり体力がなく、ご飯を食べるとすぐ眠くなってしまうので、あまり記事に力を入れられそうにないので、一度に膨大な量書くのは避けようと思います。


係数の話はおいおい。

1次元無限深井戸型ポテンシャルにおける不確定性原理

まず、xが0以上a以下でゼロ、それ以外では無限大の、1次元無限深さ井戸型ポテンシャルV(x)における波動関数Ψ(x)を考えます。

時間発展のないシュレディンガー方程式を解きます。





一般解はこうなりますが、境界条件

x=0とx=aでΨ=0を与えると、波動関数はΨ(x)=Asin(kx)となり

なおかつ、nを1以上の整数として、ka=nπでなければならないことになるので

 

こうなります。また、規格化条件も考慮すると、ブラ・ケットを用いて以下のようになります。


A=√(2/a)なので、波動関数は以下のように定まりました。



Aという物理量の演算子の期待値(平均値)を求めたい場合、
Aの演算子をブラとケットで囲めばよいので


例えば位置xの期待値を知りたい場合は以下のように記述し、計算できます。


ちゃんと、どの量子数nでも「aの半分」と算出できましたね。


次に、xの2乗の期待値も調べてみましょう。


このようになります。


位置xの演算子はxそのものでしたが、

運動量pの演算子は異なってきて


のようなベクトル微分演算子、特に一次元では

ベクトル関係ない微分演算子になるので
特に井戸型ポテンシャルにおける運動量の期待値は
 sinとcosの、少なくとも直交する2つの関数の積の積分となるので、ゼロとなります。



次に、またpの2乗の期待値について考えてみましょう。
こちらの値はちゃんと有限です。


特に井戸型ポテンシャルの場合は2階微分しているため、同じ関数同士の積の積分になって、値を持ちます。


それでは、先の<x^2>と<x>^2との間にはどのような関係があるのでしょうか。

一般の物理量Aには、平均値<>についてのような関係があるそうです。
誤差の理論なのかRMS(実効値)なのかよくわかりませんが(サンプル数が多すぎて？)、とにかくこういう関係があるそうです。
後日勉強したいと思います。


そうすると、位置についてのΔxは、以下のように算出されました。


座標軸の中央をあえて井戸の中心から外しているのは、(Δx)^2=<A^2>ではないことを意識させるためです。
もう一つの理由は、量子数の偶奇によって、sinとcosが交互にこないように、sinだけで一括表現するためでもありました。


それでは、運動量についてのΔpも見てみますと
運動量の1乗の平均値がゼロなので、こうなります。



両者を掛け算すると

こうなります。
量子数nが、1以上の整数の場合、ルートの中身は常に1以上です。
これの意味するところが、(ハイゼンベルクの)不確定性原理です。
具体的に井戸型ポテンシャルでやってみました。

やーそれにしても、こんないい例題をずっと見逃していたなんて。
井戸型ポテンシャルの、波動関数のだいたいの広がりが「(簡単に)計算できる」っていう発想がそもそもなぜかなかったんですよ。まったく貧相な想像力ですねえ。
無限深さだから、積分範囲も有限で、例題にはうってつけです。

井戸型ポテンシャルにおける具体的な不確定性原理

今日は仕事帰りにファミマで買いGUI(食いで変換しなおしてもCUIが出るのやめろ草)をして
井戸型ポテンシャルにおける不確定性原理の確認をするなどした。


なぜこんな僕に最適な例題を初めて見たような顔をするのか
そんな顔してるだろ？
なぜマジで初見なのか
それは・・・

(ﾆｬﾒﾛｰﾝ)
(ｱﾛﾜﾅﾉｰ)
(ﾋﾟﾛﾋﾟﾛﾋﾟﾛﾋﾟﾛﾋﾟﾛ)
(ｯﾍｰｲ)

よくわからないのだーーーーヴェーハハハハ！！！！

期待値って言葉に苦手意識でもあったとかだろうか。
まあ確かに苦手意識はあった。確かあったはずだ


<Ψ|p|Ψ>
<Ψ|p^2|Ψ>
<Ψ|x|Ψ>
<Ψ|x^2|Ψ>

井戸型ポテンシャルの波動関数は実数なので、複素共役は同じもの
距離xの2乗はどこから掛け算しても構わないが
運動量pの演算子は2つの波動関数同士の間に挟めるように作用させなければいけない

そして、たとえ運動量やほかの演算子だろうと、距離xで積分することには変わりはなく
無限深さの井戸型ポテンシャルでは、-aからaまでなどと、有限の範囲で積分することが可能


ただし、xやpそのものの期待値を改めて求めるために
演習では-aからaまでではなく、0からaまでの井戸型ポテンシャルにしたほうが面白いかもしれないし

Δxと<x^2>、<x>^2との関係や<x^2>と<x>^2の違い
平均値や残差などもからめると、おそらくより有意義な問題となるような気がする上

そうしないと<x>^2=0になって理屈を間違って覚えかねない。

また、おそらくだが、
0からaまでだと、sinだけで表現可能で、cosと交代交代しなくていいんじゃないだろうか

というのを、矩形波のフーリエ級数展開を思い出しながら考えていた



しかしながら、毎日のことながらゲームやネットに夢中で今日も力尽きてしまった。
定性的なことしか書けなくてすまん

波束の崩れをk空間で表すと？？

もちろん、振動数が波数の2乗に比例する自由空間的なポテンシャルですよ

時間発展を見ると当然、崩れますよね、実空間的には

じゃあこれをフーリエ変換の向こう側の世界である波数空間で見ると・・・？
収縮する・・・？ん？どの値に？
そもそも自由空間であって束縛状態ではないから、波束を構成する波数は理論的には離散値にならないし
どうなるんだ？？


もしかして、数値計算のメッシュの間隔とかにも依存するの・・・？


それとも、波数の中央値に収束するのかなあ？

変わらないという可能性は・・・？いやでも、実空間と対になるのはあくまで波数空間であって
どちらも時間発展はするはず・・・

やってみたいことの１つ

周期的境界条件(でもなくていい、両隣りに1つずつあれば)な調和振動子ポテンシャルの中で、
往復運動しながらもトンネル効果で少しずつ隣のポテンシャルに波動関数が漏れて
注目しているポテンシャル内の波動関数の存在確率がどんどん枯渇していく動画
を、x軸・波動関数の実部・波動関数の虚部の3Dでやりたい

波束の合成

波数の違う波動関数の合成、つまり積分は

以下のように指数の肩を平方完成すると

ガウス積分が行えるので

このようになり、
規格化定数Aを定めるために、さらにガウス積分を行うと
以下のように定まる。



と、小形正男先生の「量子力学」には書いてある。
まったくエキセントリックな・・・。


平方完成慣れてないんだよなー・・・

自分のこれまでの人生、
たとえば２階の定数係数非斉次微分方程式だったら
定数変化法と未定係数法の２通りのやり方があるじゃないですか
そこを片方ばっかりひたすらやるタチだったんで
もう片方のやり方を根こそぎ忘れていたりして。

同様に、平方完成しなきゃならない問題も全部
平方完成しなくても解ける問題にすり替えてしまったから
平方完成の方法をそもそもほとんど覚えていないっていうことがあってねえ

いうなれば、インダクタンスをなるべく使わずに、抵抗とキャパシタンスだけで微分回路も積分回路も作ってしまおう的な。

たった１項加わるだけでこんなめんどくさくなるのか。

kに関するガウス積分から、kに関係しない項目を積分の外に追いやりたいとこまではわかるんだが
どういう方針で平方完成してるのかわからないから応用がきかねえ
恒等式であることしかわからんorz困ったｗｗｗｗ

ガウス積分もあんまわかってねえしなー


まあ、これからやるフーリエ級数にはそんな知識いらないんだろうけどさぁー
わかっときたいじゃんか




このメガネのおっさんのバージョンはないのか・・・。
どの定理？だったか忘れたけど、紹介してもらったやつがすげえ面白かったんだよ
数学は世界共通語だなって思った。

どうも最近、誰かが言ってたんだけど、数学とは確実に別に、プログラミング言語というのが存在し、どのプログラミング言語も、異なりはするが数学同様に世界共通語らしい
とかいう話を見た気がするんだよ

ポテンシャルに依存する分散関係

大学時代、「いつもw-k特性は2乗にプロットされるんじゃないんすか！？」
って質問を先生にしたときの先生の答えが意味わからんかった覚えがうっすらとあってな

こないだだよ、ついこないだ。
よく考えてみたら、E=p^2/(2m)+Vなんだから、自由粒子でもない限り、ポテンシャルに依存するじゃねーか！って。


じゃあその依存度合いをどうやってプロットすんの？
って考えて、一瞬、お、おう・・・！？ってなった。

ポテンシャルVが位置xの関数なのに、エネルギーEを運動量pの関数で表そうとしてる。なんだこれ。

でもよく考えたら、束縛状態になるってことは、エネルギーは離散値を取るんだよな
だからってわけでもないけど、数値計算してその結果をプロットしてから関係を見ても
結局解析的な結果とあんま変わんないんじゃね？とか思えてきて。離散値だからある程度しらみつぶしができるし。


っていうか、井戸型ポテンシャルだったらEは波の数kの2乗
調和振動子ポテンシャルだったらEは波数kの1乗に比例だよね

なんだたいしたことないじゃん
って思えてきたりした。


じゃあ逆に、トンネル障壁とかだったらエネルギーは離散値にならないわけだよなー
ガウスな波束ぶっこんでみてえ。



ああ、そういやトンネル障壁といえば
1次元だったらトンネルの自由度は0
2次元だったら自由度は1以下

じゃあn次元空間だったらトンネル障壁の自由度ってn-1個以下になるのかな？

たとえば平面に平面波ぶっこんで、まな板なトンネル障壁だったら実質1次元と同じだよね

2次元空間にまな板なトンネル障壁おいても、波源が線じゃなくて点だったら、そりゃぁ2次元的なトンネル効果になりますわなあ

逆に、波源が点の2次元トンネル障壁も、波源から距離が一定の円だったらこれも1次元と同じで

円状のトンネル障壁でも、波源が点じゃなくて有限の直線状だったり、あるいは円の中心じゃないところから波が出てたりしたら、いわゆる線形独立になるわけだよな


じゃあ3次元空間のトンネル障壁ってなんだ
球殻で囲った内部の、中心じゃないところが波源のトンネル障壁か？
α崩壊の中心が、障壁(原子核殻)のど真ん中じゃなかったら？みたいな感じ？

位相までは無理でも、可視化できたら面白いだろうなあ

立方体状のトンネル障壁から始めてもいいよね
波動関数の絶対値が可視化される感じかなあ
立方体の中で共振みたいのが起きてる最中に、少しずつ漏れ出すイメージ？

流れの密度を！簡潔に！覚えやすく！

流れの密度Jの定義

ってありますやんか。

なんでこうなの！？っていうか、全然覚えられなかったんです式が複雑すぎて。

でも、小形正男さんの量子力学って本に書いてあったんですけど

ブラ・ケット記法と運動量演算子p=-ih/(2π)*(∂/∂x)を使って こう定義したら
一般に測定値が複素数になるからまずいですやんか

じゃあの複素共役との平均を取って、実数化して定義しましょうや


これで僕ことDメールが覚えられる文字数まで圧縮できました！

っていうかこれこれの実部を取るってことですやんか！！！えええええええ！？


かたくなに実部とは言いたくなかったんですかね・・・？

○卍=3

忙しいので、今日はこれでお茶を濁しまっす！

備忘録：データを書き変えるのが面倒なので、代わりにカメラワークをいじれば、目的の作品に効率よく近づけそうな気がする。
縦とか奥とか

トンネル効果のフィッティング、別アプローチ

さきほどの続きです。
絶対値、位相ともにフィッティングが無事終わりました。


もう気づいている方がいるかもしれませんが、実はですね、数値解と解析解の比較のために、波動関数の代表値を決める必要は特にないんですよ。
初めてか久々で、手探りで計算しているからこそ、絶対値と位相差を別々に解析していたのですが
もし仮に、何度も同じ計算をやっていて、ものすごく自信があるのでしたら(それ研究なのか？)
数値解・解析解の波動関数が、向きや大きさは別として、同じ形をしている(相似形)のは明らかなので

もういっそのこと、複素数のまま
解析解/数値解のデータをX=imdiv(解析解,数値解)なんかで取ってしまって
Xがほとんど同じ値の複素数であることを確認したら、そのXの平均値を数値解の複素数に掛け算してやれば、絶対値・位相差ともいっぺんにフィッティングができてしまうのです。


上のような計算をしています。
下にずっと長く続くのですが、Ψ解析/Ψ数値では、
波動関数の解析解を、波動関数の数値解で、複素数のまま割り算をしています。
そうすると、だいたい同じ値の複素数になることが期待できるので、平均値を取ります。
複素数の平均値なので、関数が用意されていませんでした。
平均値=imsum(比)/counta(比)
で計算しました。文字列扱いになるので、カウントするのにcount関数ではだめで、数値以外もカウントするcounta関数が必要となります。

また、分散も計算しました。
|平均値-サンプル値|^2　(平均値に絶対参照)
をやったので、分散の値は実数です。
それから、分散について
sqrt(sum(分散)/(count(分散)-1))　（countaじゃなくていい）
を行い、標準偏差を出してみました。もちろん標準偏差も、今回の定義では実数になります。

もし、2018年4月25日のブログ

の、この図の下から2番目をΨ1={1-i(E-U)dx}Ψ0ではなくΨ1={1+i(E-U)dx}Ψ0
とやってしまって、逆巻きになっていたとしたら、標準偏差の値が大きくなるので、間違いに気が付きやすいです。

この代表の平均値を、フィッティング前の数値解に掛け算して、フィッティングを済ませています。

もし、分散や標準偏差を実数で定義するのでしたら
平均値＝平均値実部＋i平均値虚部
なので、

平均値実部±｜標準偏差実部｜+i（平均値虚部±｜標準偏差虚部｜）
相対誤差＝標準偏差/平均値＝｜相対誤差実部｜+i｜相対誤差虚部｜

のようになるのでしょうか。
でも、平均値/平均値の実部と虚部が1とゼロというなんか変な格差を生んでしまって気持ち悪いですね

そもそも複素数の誤差の理論が今のところ存在しないのでなんとも言えません。
量子力学からの要請で、少しは需要が出たりするでしょうか。(でも実験結果は実数しかないからなあ)

トンネル効果の数値解と解析解、位相合わせ

日が空いてしまいました。25日のブログの続きです。


トンネル効果の数値解と解析解、振幅はフィッティングできたのですが、
位相がまだ合っていませんでした。
そこで、トンネルの出口における解析解と数値解の位相差を利用して、位相のフィッティングを行いましょう。
というのが前回のラストでしたね。

前回同様、トンネル出口のｂの値は１４未満に設定しているので
とりあえずx=20での位相を比較してみます。


複素数で算出された解に対して
x=20における
位相差=imargument(解析)-imargument(数値)
を計算し、位相フィッティング前(絶対値フィッティング直後)の数値解(複素数)にexp(i位相差)を掛け算してみることにしましょう

だいたい合うようになったかと思います


つづく