井戸型ポテンシャルの固有値問題をイメージしてみました

前の日記の続きです。

井戸型ポテンシャルでシュレディンガー方程式を解いた波動関数についてなんですが
深さが無限ではなく有限だったらどうなるのかっちゅうのを
シミュレーションで解いてみてました。


波動関数は数値計算で求めたんですが
固有値問題に関しては解析的にも計算してありまして
2012/12/11と14日を参照しますと

[k₁*cos(k₂*a)-k₂*sin(k₂*a)]*[k₁*sin(k₂*a)+k₂*cos(k₂*a)]=0

を満足する波数k1とk2が固有状態というわけです。
k1とk2は、それぞれ(ħk₁)²=2m(V₀-E)、(ħk₂)²=2mEを満足するものとします。

多項式の積がゼロになればいいという方程式になっているので
どちらかの多項式がゼロを満たせば固有状態を実現します。

この2つの多項式は実はそれぞれ、偶関数の波動関数と奇関数の波動関数が満たすべき固有条件に対応しています。
井戸の中の粒子の持つエネルギーを横軸に取った、上記の固有状態判別の式のグラフは以下のようになるのですが


分けて考えると、次の2本のうちどちらかがx軸を横切ればおｋということになります。




二分法でのシミュレーションによる数値計算でも固有条件を求めてみましたが
照らし合わせてみるとだいたいあってることがわかります。

(ディラック定数ħと粒子の質量mを1、井戸の幅2a=2、ポテンシャルの深さV0=100、距離の刻み幅d=0.01として計算しました)
(精度が悪いのは刻み幅だけの問題じゃないかもしれません。循環参照を利用しているので計算順序の考慮など、その辺の甘さもあるような気がします)

シミュレーションで固有状態を求める際には
井戸の端から十分距離をとった場所で波動関数が収束する条件を利用します。

以下のように、偶関数・奇関数が交互に現れているのがわかると思います。


（波動関数にゲタを履かせて、粒子の持っているエネルギーを表現しました。）

粒子の持つエネルギーがポテンシャルを越えると自由粒子のように振舞うこともわかるかと思います。


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