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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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いらっしゃいませこんにちは、期待値観測するには確率の問題に超絶疎い、量子きのこです
スネーカー師匠


好奇心はあるのにメンタル不足でソレ系の職業に就けなかったので
何か出来ないかと思ったわけじゃないですが
結果的に物理や数学とかの面白さを伝えられたらいいなー
なブログになりました。

このブログをきっかけに、一人でも多くの人が楽しんで物理や数学を学んでくれるとサイワイです。ヽ゚ー゚ノ




サイエンスファンタジーなアニメの感想も書きます。
あまり伝わらないようなことを毎日ぼちぼちやっています。
伝わらない・人を選ぶ内容なので、ついカッとなって今は公開しています。




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※同姓同名の同一人物量子きのこが、pixivにも生息してます。
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昨日かおとといの朝、こんな入れ物のカフェオレを飲んでいたら回転体の体積のことが気になり始めて
久しぶりに回転体の体積の公式を帰宅後にググっていました。



xを変数としたx=aからx=bまでの関数f(x)をx軸周りに回転させた回転体の体積Vは

と出ましてね


あれ?こんな感じだったっけ?って思ったんですがまあ道具が見つかったので使うまでです。
(二重積分で習った気もするんですけどね)


x=0でf(0)=y1、x=Lでf(L)=y2となる直線をy(x)とすると
y=(y2-y1)/*x/L+y1
となるので、このyをVの式に代入すれば体積は求まります。


なので、まずはyの2乗を計算しますと


なので、



このようになります。


台形のときのような、上底とか下底の代わりになる上底面積や下底面積などの概念はありませんね?
これで本当に合っているのでしょうか?




===========
ということで、別のアプローチを拾ってきました。
大きな円錐の体積から、小さな円錐の体積を引き算するという方法です。


大きな円錐の高さはA2で、底面積は半径y2の円の面積。
小さな円錐の高さはA1で、底面積は半径y1の円の面積です。


とんがりこーんの先っぽを少しかじって捨てるようなイメージです。
A1とA2はいくつでしょうか?


A1は、y(x)=0となるxの絶対値です。
A2は、A2-A1=Lを満たします。



を満たすxなので

よって、A1=|x|なので

A2は



とわかります。

大きな円錐の体積はV2=πy2^2A2/3
小さな円錐の体積はV1=πy1^2A1/3なので、求めたい体積Vはその差である

です。


2つのアプローチから算出された体積Vの式を見比べてみてください。
全然違うように見えるかもしれませんが、これは同じ式です。

因数分解を考えてみましょう。

このような公式がありましたよね?同じ式なのです。


また、y1をそのままにしてy2=0にしたり、y2をそのままにしてy1=0にしてみると、
ちゃんとただの円錐の体積の式になります。

y1=y2のときはどうなるでしょうか?
これが何を意味するのかというと、円筒の体積です。
片方は円筒の式になりますね?

もう片方は0/0になってしまいますね?
ここでロピタルの定理の出番です。分母と分子をy1で微分し、y1→y2の極限をとってみますと
ちゃんと円筒の体積になります。

分母と分子をy2でも微分してy2→y1の極限でも円筒の体積になることを確かめてみましょう

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退屈なおうち時間の合間に楽しんでもらおうと思って、ようやく完成させました!
水素原子様の電子雲、ジェネレータとビューアです!
(何十年越しの夢だったろう…自粛期間はすぎましたが、とりあえずまた計画を立ち上げられてよかった…!)




ExcelファイルDLはこちらから! 

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ドクターペッパーが最近うちらの町のコンビニでも売られている
前から気になっていた、「1885年から」の文字。

バック・トゥ・ザ・フューチャーでドクター・エメット・ブラウンがデロリアンごと雷に打たれて飛ばされた時代

彼が誰かから聞いたレシピでドクターペッパーを発明していたら、その設計図は円環の理に導かれて情報が無から生まれてしまう。


なんてことを幾度となく妄想したものの、ドクターペッパーとBTTFの相性は世間にはほとんど知れ渡っていないようだ

そもそも、BTTFはコーラを割りと出していた。ペプシだかコーラだかはよくわからない


BTTFなどのタイムマシンものを元にしつつ
洗練した作品の1つにシュタゲがあって、ドクペの悔しさに目を付けたのかどうかは知らないが、シュタゲの主人公はドクペが大好きである。

ミスターブラウンという人物も出てきており、この辺の配役については鳥肌が出るほど実によくできている。

BTTFが1980年代のタイムマシンものの集大成とするなら
シュタゲはそれをさらに洗練した、2000(2010)年代のタイムマシンものの集大成と見てほぼ間違いないと思う


(今覚えている人はあまりいないかもしれないが、サマータイムマシン・ブルースもいい線いってたと思う。どうして商品の宣伝みたいな部分が多いのかが不思議で、フジテレビ系列でしか放送できないみたいなのがちょっと残念)

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差分方程式化。

ずっと前だったから忘れてたけど、なるほどルジャンドルよりラゲールの方が簡単な気はした。
先にラゲールに手を出して正解だったようだ。


変数ρ(r)の範囲は0から40まで。刻み幅は0.02だとまだちょっと発散するから
0.01にすれば収まりそう。4000行使うことになるが
そうすれば、入力規則で量子数を整数に縛れる。




・関数直交判定ツール
・ルンゲクッタによる容量圧縮
・入力規則のアピール
・変数関数変形動画

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まずいきなり訂正です。
またしても同じ式を訂正することになってしまいました…。
昨日の訂正日記


sqrt(sumsq()*dz/count())

と書いていましたが、正しくは

sqrt(sumsq()*dz)

で、個数で割って平均を取るというのが間違っておりました。
てっきり実効値とまったく同じものと思いこんでいたらしく、いつからそう思っていたのか謎です


この間違いが見つかったのは今さっき解析解と照らし合わせていたときのことで、正しく計算しますと、このように解析解と数値解はほぼ一致します。
量子数lとmが大きい場合は、おそらく刻み幅dzを細かくとらないと一致しないのではないかと思います

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さっきの日記の規格化の式が間違っておりました。



=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()/count()) とかでいいです。
(ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()/count())


ではなく


=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()*dz/count()) とかでいいです。
(ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()*dz/count())

dzをしっかり掛け算して、積分(あるいは和を取る)してください

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きのうの続きですが、訂正があります。

この図の2番目の関数Pの初期値ですが、if(E7=0,0.01,1)ではなく
正しくはif(E7=0,1,0.01)でした。



さて、z=0からz=1まで入力していきますと
たとえばl=m=1ですと、以下のような感じになります。



これを、負のzにも拡張しましょう。
偶関数の場合は、負の変数zでの関数Pの振る舞いは
P(-z)=P(z)ですし
奇関数の場合は、
P(-z)-P(z)なので、

z=1の下に以下のように符号反転したzを並べて

先ほどと同様にl+mの偶奇に合わせて、関数の偶奇を決めます。
つまり、l+mの偶奇のセルであるE7セルに応じて、zがプラスの0.05の関数Pの値を符号反転するかそのままか分岐させて、順番にコピペしていきます。
(絶対参照などにご注意ください)



そうして、いちおうの関数が出来上がってきました。
たとえば、l=m=1の偶関数ならこうで

l=1、m=0の奇関数ならこのような感じになります




最後に、規格化をします。
これは、ある範囲の中に、粒子のいる確率が総合して100%になるようにするものです
5月20日の日記を参考にします。

(絶対値の)2乗を取って範囲内で積分したものが1になればよいので、

このような列を設け、みなさん大好きなsum関数で和をとり
データの個数で割って平均を取ってから、その平方根を取ります。(電圧の実効値RMSと一緒です)
=sqrt(average())
とか
=sqrt(sum()/count())
とかでいいです。
(ぶっちゃけ=sqrt(sumsq()/count())もありですが)

この値が、規格化定数となるため、算出した関数をこの定数で割ると、規格化されます。

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おとといの続きです。
ルジャンドル陪多項式を数値的に算出してます。


dz=0.05と定め、とりあえず量子数lとmをl=m=0としておきます。


z=0から始めて、z=1までdzだけ増えるようにしてみます。



それから、関数の偶奇を決める項目を設けます。
このルジャンドル陪多項式は偶関数か奇関数しかありません。
偶関数だったら0、奇関数だったら1となるように、量子数mの下に0か1の数値を入れます



関数Pの偶奇が反映されるように初期値を2つ決めます。
位置に関する2階微分方程式なので初期条件では変なのですが、境界条件は計算しづらいので
偶関数か奇関数しかないことを利用して、初期条件のように計算しています。

実は、量子数lとmの和の偶奇が関数の偶奇に関係してくるので
=mod(l+m,2)と入力してしまいます
2で割った余りを意味しています。


さらに、1-z^2が頻出するので、関数Pの右隣に1-z^2の列も作っておくと便利です

そして、3つ目の関数Pから、計算開始です!

この式を入れますが、

3番目のPの式に代入する1-z^2やzに3番目ではなく2番目のzの値を参照しています。

僕も今これに気づいたのですが、3番目のPに3番目のzを参照するより、2番目のzを参照するほうがグラフの見た目が綺麗だということに気が付きました。
そして、こうすることで、z=±1のときの1-z^2、つまり0除算を直前で回避することができるようです。


これをz=1まで続けると、ルジャンドル陪多項式の半分ができあがりです。

相対・絶対・複合参照にお気を付け下さい

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水素原子様の波動関数の一部である、球面調和関数の
緯度方向に関する微分方程式


を解くと、ルジャンドルの陪多項式が得られます。


これを、数値的に解いてみることにします。


まず、上述の微分方程式を差分方程式に変えます。
zの関数P(z)のzによる1階微分は

このように色々定義できますが、2階微分との絡みがあるため、今回は3つ目を採用しようと思います

また、2階微分のほうは

このように差分化されますね。


これを踏まえて微分方程式を差分方程式として解いていってみましょう

元の式はこのようになり

今回はP1とP0を初期値として与えてP2を求めるようにしたいので、この式をP2の式に変形します。





今日はおねむなんでこの辺で。
発散項どうにかならんかなぁ
そもそもの微分方程式の両辺に1-z^2をかけちゃったらどうなるやろか

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家族のことを考えるたびにイラついてまったく創作意欲が出なくて申し訳ない


ルジャンドル陪多項式に関しては関数の偶奇も、発散・収束の判別も全部ネタバレ攻略サイトを見ながらの数値計算になってしまった。

ラゲールの陪多項式のときはまだ、発散・収束は考慮に入れられてたんだけどなあ
(関数の偶奇はネタバレ見てた気もする)

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ところどころ白背景で隠すときがある
時代に俺は合わせない
ついでに動作確認しないことも宣言しておく
(だるいもん。多種多仕様なんてそんなもんホビロン YOヒ゜。゜ヒ)

隠された文字を読みたくば、騙されたと思って本当に騙されながら
パソコンを買え

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というのもね、ここの無料サーバの残り容量がね、いくつだっけ
残り69MBしかないんですよ。



そんな中、gif動画をバリバリ貼り付けていたらすぐに使いきっちゃうし
更新しなければ永遠に使いきれないじゃないすか


遠くない未来に適度に使いきりたいんです。
それでほかのブログかなんかに引っ越したりしてみて
それでいてここのブログにはテキストのみ毎日くだらない1文字2文字くらいとか投稿して
「主は放置しました」広告を出させない!


そういうことしたいんです。当面の夢です


だから、静止画が適任だとは思ってるんですよね。

gifが必要にもなるとは思うんで、どこかのサーバ借りようかな
できればまだゴーストタウン化しなそうなSNS、ピクシブはまだ町としては生きてるんだろうか
というかピクシブに貼ったところで会員以外も見れるのかいまだによくわかってない


ちょっと今から実験してみますね
共有とかのボタンどこいったんだ?
pixiv「球面調和関数の世界地図」
これだとどうなるん?(作品URLにじかリン)

=======
追記
今回のイラストはともかく、前回のイラストはログインしてない人でも見れるっぽい
(興味を持ってクリックするかどうかは別として)

セキュリティ上は大丈夫そうだけど、センシティブな可能性ってなんだよ
直前のうごイラは大丈夫で今回のがダメってなんやねんふざけんなしwwwww
割りと不可解に思ってるユーザーさんがいるみたいねー
ツイッターの凍結とかと同じような理屈かなぁ
しょーがねえなあこれだからヒューマギアは(あまつめし

おわり

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3日くらい坊主にして申し訳ない!

球面調和関数の世界地図の進捗はこれです!
l=3、m=2の例
上下が緯度、中央が赤道で、左右が経度

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変数θとθの関数Θが紛らわしいので、ここからはFという名前にします


内側から順に、微分を差分にしていきます。


差分化はここで完了です。

あとは、F2の式に整理するだけです。


以上です

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プロフィール
HN:
量子きのこ
年齢:
39
性別:
男性
誕生日:
1981/04/04
職業:
WinDOS.N臣T
趣味:
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介:
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます
例:H→7番目、XP→15(P)×26+23(X)=413番目。
A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいズコー
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