複二次式としての四次方程式の解と三角関数

二次方程式の平方完成・三次方程式の立方完成に続く
四次方程式の同様のそれがすでに済んでいるものと仮定し、二次の項の係数はマイナス1とする。

ゼロ次の係数をrとすると以下のように書けるが、



これはyの2乗についての二次関数ととらえることができるため、yの2乗について解くと以下のようになり


これの平方根を求めるとyが求まるので

このようになる。複合は同順ではなく独立である。
yが実数であるためにrはどのような範囲であればよいか？

内側のルートに着目すると1-4r≧0なので
rは1/4以下であることがわかる。

また、外側のルートにも着目すると


でもある。

変形すると以下のようになるが、

右辺は-1以上1以下なので両辺を2乗しても不等号は変わらず

このようになり、2つ目のrの条件なr≧0であることがわかる。

したがって、yの解が実数であるためのrの取りうる範囲は0≦r≦1/4である。


さてここで、

の左辺をグラフ化することを考えてみると
左辺がx軸と交わる点は左右対称であることが想像できる。

yの取りうる値は-1≦y≦1であるので
もしかしてこれは三角関数で表せるのではないかと閃いてみると仮定すると

y=±sinθ、±cosθだとしたら、θとrの関係はどのようになるだろうか？


まずは解であるyを±sinθとおいてみることにしよう


ここで倍角・半角の公式を左辺に適用すると

となり、cosの2乗の取りうる範囲は0以上1以下なので、rは0≦r≦1/4となり、理にかなっていることもわかる。

y=±cosθもやっておこう


こちらも同様であることがわかった。

±sinと±cosはsinかcosどちらか一方について、90度ずつずれた同じsinかcosであると考えることができるため、yの4つの解は位相が90度ずつずれたsin(またはcos)の多価関数という、シンプルな解釈を得ることができた