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20080511～ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式
質量をm、重力加速度をg、速度v、時間t
速度の1乗に比例する空気抵抗の係数をc1、速度の2乗に比例する空気抵抗の係数をc2とすると

運動方程式は以下のように書ける。
速度は高さy方向の下向きをプラスに定義する。

mv'=mg-c1v-c2v^2 

ここで、v^2の係数を1にしたいので、両辺を-c2で割ると

-(m/c2)v'=v^2+(c1/c2)v-(mg/c2) 

ここで、式の簡単化のためG=m/c2、B=c1/c2、A=mg/c2とすると

-Gv'=v^2+Bv-A 

dvの分母に右辺を持ってくると以下のようになる。

dv/(v^2+Bv-A)=-dt/G 

両辺を積分してvの式にすると、速度vについての運動が解けるのだが、vの2乗が邪魔でうまく積分できないので、部分分数分解を用いる。


1/(v^2+Bv-A)=A1/(v+B/2-D)+A2/(v^2+B/2+D) 

という恒等式を作り、A1、A2、Dがいくつになるのか定めることにする。

まず、(v+B/2-D)(v+B/2+D)=v^2+Bv-A になるようにDを定めたい。

(v+B/2)^2-D^2=v^2+Bv+B^2/4-D^2=v^2+Bv-A 

なので、D^2=B^2/4+A であることがわかる。なぜいきなりDという文字を仮定したのかはあとでわかるが、これは2次方程式の判別式Dの意味である。


次にA1とA2を定める。
A1(v+B/2+D)+A2(v+B/2-D)=1 という恒等式からA1とA2を定めたいので

v(A1+A2)=0
からA1=-A2が導かれるので
B/2(A1+A2)もゼロである。

D(A1-A2)=1にA1=-A2を大入して、

A1=-A2=1/(2D) を得る。


そうすると元の微分方程式は

1/(2D){dv/(v+B/2-D)-dv/(v+B/2-D)}=-dt/G 
なので積分ができ

1/(2D){ln(v+B/2-D)-ln(v+B/2+D)}=-t/G+G2 

となる。G2は任意の積分定数。

対数同士の引き算は対数の中の割り算として引っ込めることができるため

1/(2D)ln{(v+B/2-D)/(v+B/2+D)}=-t/G+G2 

両辺に2Dを掛け算して
ln{(v+B/2-D)/(v+B/2+D)}=-2Dt/G+G2 
(ここでG2はまだ任意の定数なので、2DG2を新たなG2として上書きする)


両辺の指数をとって

(v+B/2-D)/(v+B/2+D)=G2exp(-2Dt/G) 
(ここでもexp(G2)を新たなG2として上書きしている)

左辺の分母分子に2を掛け算してやると
(2v+B-2D)/(2v+B+2D)=G2exp(-2Dt/G) 


初期条件
t=0でv=0を与えて任意の定数G2を定める。

(B-2D)/(B+2D)=G2 

微分方程式の解は
(2v+B-2D)/(2v+B+2D)=(B-2D)/(B+2D)×exp(-2Dt/G) 

となる。


これをvの式に直す。
両辺に(B+2D)と(2v+B+2D)を掛け算する。

(2v+B-2D)(B+2D)=(2v+B+2D)(B-2D)×exp(-2Dt/G) 

展開すると
2v(B+2D)+(B-2D)(B+2D)=2vexp(-2Dt/G)(B-2D)+(B-2D)(B+2D)exp(-2Dt/G)

全部左辺に移行し、vを含むか含まないかで整理すると

2v(B+2D)-2vexp(-2Dt/G)(B-2D)+(B-2D)(B+2D)-(B-2D)(B+2D)exp(-2Dt/G)=0

2vB{1-exp(-2Dt/G)}+4vD{1+exp(-2Dt/G)}+(B-2D)(B+2D){1-exp(-2Dt/G)}=0


2vB{1-exp(-2Dt/G)}+4vD{1+exp(-2Dt/G)}=-(B^2-4D^2){1-exp(-2Dt/G)}  

2v[B{1-exp(-2Dt/G)}+2D{1+exp(-2Dt/G)}]=(4D^2-B^2){1-exp(-2Dt/G)} 

ここで1/(2v)の式に着目してみることにする。
1/(2v)=[[B{1-exp(-2Dt/G)}+2D{1+exp(-2Dt/G)}]]/[(4D^2-B^2){1-exp(-2Dt/G)}]



第1項は約分できるので
1/(2v)=[B/(4D^2-B^2)+2D{1+exp(-2Dt/G)}]/[(4D^2-B^2){1-exp(-2Dt/G)}] 

問題は第2項だが

{1+exp(-2x)}/{1-exp(-2x)}の分母分子にexp(x)を掛け算すると

{exp(x)+exp(-x)}/{exp(x)-exp(-x)}となって、これは双曲線関数ハイパボリックタンジェントtanhの逆数ハイパボリックコタンジェントcothであることがわかる。
{exp(x)+exp(-x)}/{exp(x)-exp(-x)}=coth(x) 

1/(2v)=B/(4D^2-B^2)+2D/(4D^2-B^2)×coth(-Dt/G)



ここでようやく2vの式に戻すと
v=(4D^2-B^2)/{4Dcoth(-Dt/G)+2B}

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【2023/05/27 11:39 】
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