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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
[1] [2]
コレ

 コレ

 コレ
||


コレ!!

ExcelDLファイルは コチラ!!!



ジバヤシ貞子にゃんのときは直線偏光っぽい波動関数だったのが
溢れ出る貞子になるにつれて円偏光っぽい波動関数になっていくあたりが描きたかったんですよね。
それで「偶関数+i奇関数」だったのです

それと、あとから思ったんですが、
螺旋になったあたりの規格化が不完全のような気がしました。
元々は実数の規格化と純虚数の規格化を独立して実数^2と純虚数^2で評価していたのですが
螺旋になった時は実数^2+純虚数^2で評価しなきゃいかんですよね
でもそれだと逆に、直線偏光っぽいときにバグってしまうんですよね
どちらか片方しか収束しないので。
それでいて束縛状態と自由粒子の状態は連続してるからどうしたもんだろうと思いまして。


 
 
 
リング らせん オイラー
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昨日のKindleからの投稿、一番やっかいだったのが、最後のブログ村へのリンク貼り付けだったとかいう・・・

コピペーとカッペーが慣れねー!
ていっても昨日ほぼ初めて切り貼りしてみたんですが。
あーctrlボタンが恋しいよー!

つーかなんかこう、エルダーテイルじゃないですけど
PC内の空間のドット数がどんどん量子化から離れていってる感じがして
不器用な僕としてはなんかこういい部分が減っていってる気がしてならないんですよね




ところで、
今考えている視覚化はですね
井戸型ポテンシャル内の全波動関数をそっくりそのまま複素にして可視化しようというものでして
 コレ

 コレ

 コレ


を全部いっぺんに表示できないかなと。

どうせポテンシャルは1次元ですし、昔の平面マリオみたく、虚軸も表示しながらエネルギーを少しずつ上げてったらどうなるかなーって。


偶関数+i奇関数

みたいな感じで。
うまくすれば井戸から這い上がってきた自由貞子がちゃんと螺旋になるんじゃねーの?って企んでるんですね
もちろん全部数値計算でやりたいっすよ
ジバニャン束縛状態から自由粒子になる瞬間が見てみたい~
(自分で作っといて、見たことがまだないってのも変な話ですが数学ではよくあること)


やーそれにしても全然意欲が出ません。どうしたもんでしょう
あんまり無理せずのんびりしてたらいつの間にかやる気になってるもんなんですかねえ
同じようなことばかりやってるからかなぁ
それにくわえてgif化やら連続キャプチャのツールをOSとっかえでツールまで取り替える羽目になって単に慣れてないせいなのか


冬だからちょっと疲れてるのかもしれない




=======
ああそうそう、
エーレンフェストの定理みたいな、波束が進んでいく自由粒子みたいのあるじゃないですか
アレの表現が時々引っかかるんです。
色んな波数が混ざって波束を作ってるんだとしたら
色んな運動量つまり色んな速度も混ざっていなきゃいかんわけですよね
それをあたかも同じ速度で一斉に進んでいくように見せかけるところに
悪意とまではいきませんが違和感を覚えるんですよ

やーでも、そこは量子力学だから、それこそマクロに見るとエーレンフェストの定理みたく
横軸の目盛りを巨大スケールにして近似したら問題ないのかもしれませんし
あるいは量子力学だからこそ、表現しきれないので初心者向けにあえてごまかすしかない
なんてこともあるかもしれませんし。




まあとにかく、今はだれてるだけじゃなくて
毎日コンスタントに何かしらブログを書きましょう
抽象化したまま考えているつもりでも、何も考えずただ頭を鈍らせてるだけかもしれないじゃないですか



それこそ絞り尽くしても何も思いつかないなら
落書き帳(紙媒体)にぐちゃぐちゃ~って殴り描きしてインスピレーションが舞い降りるのを能動的に待ってみましょうか

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深さと幅の有限と無限~基本挟まらないけど、挟まったら地獄の落とし穴~
穴がキツいって表現エロすぎだろjk

井戸型ポテンシャルの深さが無限幅が有限だと、解くのがすごく簡単で、感覚的にも親しみやすいんですよ。


その深さを有限に持ってきて、幅もそのまま有限だと、
ちょっと非線形っぽくて嫌で、難易度もちょっと高くなるんですが、まだ親しみやすい(と僕は思うんです)



深さ無限で幅もゼロだったら?
これがちょっと親近感もてないんですよねぇ個人的に。
デルタ関数型ポテンシャルって言うんですけど
深さは無限でも構わなかったのに、幅がゼロになったとたん、なんかこう得体の知れない気持ち悪さが・・・
あれ?特にありません?
気になりませんか?折木さん!!

だってど真ん中で波動関数が折れ曲がるんですよ?
(0F微分連続、1階微分不連続)
幅有限、深さ無限の井戸型ポテンシャル
まあそれ言っちゃ深さ無限の井戸型ポテンシャルも端っこで折れ曲がってるっちゃ折れ曲がってますけどね



これまでの「井戸型ポテンシャルシリーズ」でやってきたシミュレーションをそのまま流用できないんですよ。
幅aと深さV0の関係を反比例でa=なんちゃら/V0にすりゃあいいってもんじゃないんす。
もちろんV0をどこまで持ち上げても無駄なようです。



ところがね
解析的に解いてみるとわかるんですよ。
どこを変えればシミュレーション可能かが。


元々、このシミュレーションは2階の微分方程式なんで、
初期条件に相当する境界条件が2つ必要なんです。
でも、右端と左端を条件にするのが嫌だったので
真ん中を条件にしたんですよ。
それで偶関数なら左右対称(線:y軸対称)、奇関数なら反対象(点:原点対称)にしたんですが
これだと条件1つしかないですよね

そこで、初期条件みたいなことをして2つにしたんです。
グラフの横軸を水平方向、縦軸を鉛直方向に見立てた落下運動を考えてみてください。


そうしたときに、井戸の真ん中から物体を放り投げるんです。
それで、「バウンドしなくなった場所」を「波動関数の端っこ」に置き換えたんですよ。
初期条件っぽい境界条件
このとき、偶関数なら高いところ(0階微分=1)から真横(1階微分=0)に、
奇関数なら地面(0階微分=0)から斜め(1階微分=1)に投げることに相当します。

つまり、y軸のスケールなんて最初はどうでもいいんです。
どうせあとから規格化するんで。



ところが、幅までゼロに持ってくると
そのどちらでもなくなることが解析的に解いてわかったんです。
折れ曲がった波動関数
そこで、0階微分を1(高所から)、1階微分も(マイナスですが)1(斜めに投げる)にしてやると
シミュレーションでも解析解を再現できたんですよ!


なんていうか
無限に手が届くようで届かないといいますか
届かないようで実は届いていたといいますか
解析解の力を借りればシミュレーションでも無限に手が届くけれど
その解析解を出す部分がコンピュータには難しいというか
妙な無力感と有力感の混ざり合いといいますか・・・不思議な感じです。


で、その解析解ってのが意外と簡単でして
ただの指数関数なんですよ。
まあ、無限が関わると意外と簡単っていうのはよくあることなのかもしれません。
それだけ理想化してるわけですしね。


シュレディンガー方程式の
時間に依存しない1次元のシュレディンガー方程式
ポテンシャルにデルタ関数をぶち込みます。
ポテンシャルにデルタ関数を代入

このデルタ関数δ(x)というのは、関数の中身がゼロのときに無限大の値をとり、それ以外ゼロになるという大変気難しい方です。
それでいて、この無限に狭くて深いアホ毛の面積は1に保持してくれという要求までしてくるのです。
でもまあ、慣れてくると結構扱いやすい方です。

それはさておき、デルタ関数を適当に-U0倍してぶち込みますと、シュレディンガー方程式は次のようになります。

このときの境界条件は無限を扱うために普段の井戸型ポテンシャルとは少し変わっていまして
x<0のときの波動関数をψ1、x>0のをψ2とすると
ψ1(0)=ψ2(0)

と、ここまでは普段どおりなのですが
ψ1'(0)=ψ2'(0)という2階微分同士が同じな境界条件ではなく

無限を扱う際の境界条件の例
こういう条件になるのです。
εはイプシロン-デルタ療法のアレだと思いますたぶん。微小量ですね。あとでゼロに近づけるみたいな。

なぜこのような境界条件になるのかといいますと
さっきの式
シュレディンガー方程式
を-εから+εまで両辺積分すると導出できるんだそうです。
標本化定理とか使います。

まあそれで解きますと
x<0でのψ1はψ1=Aexp(kx)
x>0でのψ2はψ2=Bexp(-kx)
になりますが、
x=0でψ同士が同じという境界条件なので
ψ2の係数BもB=Aになります。

さらに、さっきのゴチャゴチャした2つ目の境界条件を解きますと、波動関数の1階微分が
ψ1'=kAexp(kε)
ψ2'=-kAexp(-kε)
なので
固有条件の算出
という固有値が1つだけ導けます。

また、最後まで残ったAは例によって例のごとく規格化条件から求めまして
波動関数の絶対値の2乗(存在確率)をすべての位置で積分したものが1になればいいので
規格化



めっちょ簡単な、ただの指数関数になります。
tdn exp
気持ち悪いのは、次元解析ですよ。
いつもディラック定数ħ(プランク定数)と波数kは1つずつセットで現れていて、片方が2乗されるときはもう片方も2乗だと思っていたのに裏切られた気分です!><

これは、デルタ関数が持つ、どこか人を食った関数を積分したような雰囲気のせいですかね。





結論としては、
ほっそくて誰も挟まらないだろうけど
挟まったらどこまでも落ちていく地獄の落とし穴に落ちるか?


という問題は
デルタ関数型ポテンシャル折れ曲がる波動関数
量子だと割りと落ちる
が答えっちゅうことです。
訂正:当日22:38
x・y軸の目盛間違えてました。
デルタ関数型ポテンシャル中の波動関数




こんなんホントに起きるんか?
って思ったんですけど
なんかぐぐってたら実用化目前?みたいですね
量子ドットとか!




それでついでに考えたんですけど

・幅ゼロ、深さ無限
・幅有限、深さ無限
・幅有限、深さ有限

ときたら、残りの
・幅ゼロ、深さ有限

が気になりません?

ほっそくてさほど深くもない井戸型ポテンシャル!
もしかして解くに値しないから放置なんでしょうかw
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有限深1次元の井戸型ポテンシャル内のシュレディンガー方程式の解のイメージについてブログに書いてから、思いのほか日が経ってしまいました><

ホントはちゃっちゃと規格化したかったんですが
ここんとこ寒いので調子が・・・

まあそんなわけで規格化しました。
波動関数 規格化


規格化前:上
規格化後:下です。

左右にある井戸の外のじゃじゃ馬な尻尾が規格化すると収束してるのがわかるかと思います
これを収束させると、しっかりと固有状態以外のエネルギーで波動関数が「どこでもゼロ」になっていて
波動関数の絶対値の2乗が存在確率なので、存在できないことがわかりますよね。


量子力学
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量子消しゴム消しゴんでみる量子
量子消しゴムは量子の奥ゆかしさを家庭的にかもし出してくれるが、不器用でせっかちな人にはチョトツムカシイ


回折格子回折る光子
それに対して、回折格子実験はCDやDVDさえあれば縞模様は見られるが
消しゴムを演出するには偏光板を置くスペース的なタイミングに困る。


なんかこういいとこ取りができないか

あ、そーだ
メゾスコピックな偏光板をディスクの前にちらつかせよう!
どないやねん・・・orz


※なお、どちらの実験でもレーザは必須である
エキサイト先生にご登場願おう!
セミコロンの位置やそのものがおかしい



ceronにhackingを・・・いやなんでもない 山手線ゲーム!
unmei wa spring8
アトラクタフィールドゲーーーム!!いぇーい!
LHC前 パンパン!
アトラス前 パンパン!
アリス前 パンパン!
CMS前 パンパン!
LHC B前 パンパン!
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すべての車輌が一本につながった・・・!この電車レンジ(仮)は・・・タイムマシンだ!!時間の波をつかまえて~♪
モモタロス「俺はええと・・・ン~・・・時間後の未来からきた(キリッ」
ハナ「ぷっ、なにそのバカっぽいセリフ。はいはいタロスタロス」

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前の日記の続きです。
井戸型貞子たん
井戸型ポテンシャルでシュレディンガー方程式を解いた波動関数についてなんですが
深さが無限ではなく有限だったらどうなるのかっちゅうのを
シミュレーションで解いてみてました。


波動関数は数値計算で求めたんですが
固有値問題に関しては解析的にも計算してありまして
2012/12/1114日を参照しますと

[k1*cos(k2*a)-k2*sin(k2*a)]*[k1*sin(k2*a)+k2*cos(k2*a)]=0

を満足する波数k1とk2が固有状態というわけです。
k1とk2は、それぞれ(ħk1)2=2m(V0-E)、(ħk2)2=2mEを満足するものとします。

多項式の積がゼロになればいいという方程式になっているので
どちらかの多項式がゼロを満たせば固有状態を実現します。

この2つの多項式は実はそれぞれ、偶関数の波動関数と奇関数の波動関数が満たすべき固有条件に対応しています。
井戸の中の粒子の持つエネルギーを横軸に取った、上記の固有状態判別の式のグラフは以下のようになるのですが
固有値判別式

分けて考えると、次の2本のうちどちらかがx軸を横切ればおkということになります。
固有値判別式


解析計算と数値計算での固有値
二分法でのシミュレーションによる数値計算でも固有条件を求めてみましたが
照らし合わせてみるとだいたいあってることがわかります。

(ディラック定数ħと粒子の質量mを1、井戸の幅2a=2、ポテンシャルの深さV0=100、距離の刻み幅d=0.01として計算しました)
(精度が悪いのは刻み幅だけの問題じゃないかもしれません。循環参照を利用しているので計算順序の考慮など、その辺の甘さもあるような気がします)

シミュレーションで固有状態を求める際には
井戸の端から十分距離をとった場所で波動関数が収束する条件を利用します。

以下のように、偶関数・奇関数が交互に現れているのがわかると思います。
偶関数と奇関数の波動関数の固有値問題

(波動関数にゲタを履かせて、粒子の持っているエネルギーを表現しました。)

粒子の持つエネルギーがポテンシャルを越えると自由粒子のように振舞うこともわかるかと思います。

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素敵飲料

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日記を書く意欲がなかなか出ないときは名前や格好から入るのも決して悪くないと思うの。


まだ途中なんですけどねー
2日も日記書いてなかったのでできたとこまでせめてアップしましょうということで。

量子井戸

以前、差分方程式の解の形で作った1次元の有限井戸型ポテンシャルシュレディンガー方程式の解ですが
固有値の探り方が手動だったんでとても収束が遅かったんです。

そこで二分法を用いた方法に変えました。
まあこの程度のシミュレーションだったら二分法でも十分収束早いです。
ニュートン法に手を出すまでもなかったです。ニュートン法についてもwikiってみましたが
収束が早い代わりにやや汎用性に欠けるようで、収束しない場合もあるとかで不安なんで
二分法でなんとかでかしました。


従来から循環参照を使って固有値を動かしているのですが
位置を動かしているときはセル参照で差分方程式を解いているので、複合参照のオンパレードです。

この井戸の端っこが発散しないっていうのが固有値である条件なんですが
端っこまで計算するのに井戸の中心からの逐次計算がどうしても必要なので
一連の波動関数の列をごっそり必要とするわけです。

その端っこを二分法でいう関数の値、変数をエネルギーとして関数がゼロになる引数を求めるのが二分法の役割なのですが
二分法というからにはその名の通り上限と下限とその中間の引数がセットになるわけで
波動関数のセットがごっそり3本必要だったわけです。


そこで、複合参照をいじらずにごっそり3本コピペするための手段として
とりあえず手っ取り早いのがシートのコピーだったわけで
シートって絶対・相対・複合参照の概念が縦横セルに対して薄いんですよね。
そこをあえて利用したわけです。

それから別のシートに移った、閉じている参照一式を(コピペではなく)カットアンドペーストで元のシートのすぐ右隣に添えてやれば、カットアンドペーストであればポインタの移動っていうんですかなんかそんな感じの
変に参照がズレたりとかしなくてすむわけです。


あとは引数であるエネルギーに二分法を取り入れるだけでオッケー♪

かと思ったらなんか変なところで収束するんですよ。
何かと思って不要なセルを消して整理していたんですが消えず

結局何が原因だったのかというと、たぶん「循環参照の順番」が原因だったみたいでした。
以前どこかのブログで見たことがあったのです
左から右にトレースして、端まで行ったら次の行、といった風にZ状に順番に参照しているわけです。

式の中身はそのままに、一部のセルの位置だけずらしたらうまくいきました。結構大事なんですね。
自分そういう繊細なとこあんま大事にしないタイプなんで^^;


二分法で固有値探し

今の段階だと、まだ二分法の上限と下限が手入力なんです。
固有値も1回につき1個しか求まりません。
その辺もぼちぼちオートにしていきたいなと思っちょります。

それと、ポテンシャルの形は別に井戸型に限定しなくてもいいので
調和振動や水素原子様ポテンシャルにも手を出したいですね。



あーでもなんか変だな
偶関数の固有値が定まらない。なんだろう





建築士「完成させたら負けかなと思ってる」
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前回までのあらすじ

このように、量子力学を微分ナシの代数または行列の掛け算とか足し算引き算とか(割り算disってんのかー!)でけいさん!!することができることもわかりますねわかります。

今示しましたように、角運動量のz成分が量子化されていることを代数計算から導き出すことができました。

実際には全角運動量が一定の場合には、z成分の値には上限と下限があるはずで、
それをたとえば、最大値をプラスのドMエッチbar、最小値をマイナスのドMエッチbarと書きますと

このように上限と下限があった場合、角運動量のz成分は、量子数mを用いて
エッチbarの2m倍個でなければなりません。


角運動量のz成分自体は量子化されるのでħの整数となりますが
mが整数でなければならないという制約はなく
2mが整数であればいいので、mは半整数であることも許容されます。


半整数の量子数なんて数学の世界の思考の産物だろうといわれますと意外とそうでもありませんで
何を意味するのかといいますと、
実は粒子自身の持っている角運動量(あえていうなら公転ではなく自転)に相当し、
たとえば電子や陽子などの「パウリの排他律」に従う「フェルミ粒子」というものは半整数、
光子などの「パウリの排他律」に従わない「ボース粒子」は整数の量子数を持っているとされています。

このような量子数のことを「スピン」といいます。
スピンが整数の場合は球面調和関数で具体的に表現できたのですが
半整数の場合は具体的に書き下すことができず、中傷的な企業といえます。


スピン+1/2の場合は上向きスピン|↑>、-1/2の場合は下向きスピン|↓>と記述することがよくあります。

この状態を2行の列ベクトルで

ケットベクトル 縦ベクトル |↑>=t[1,0]、|↑>=tt[0,1] s age|


このように書くこともよくあります。

|↓>を|↑>にageたり、|↑>を|↓>にsageたりする昇降演算子
ラブプラスやラブマイナスは、2行2列の行列で
ラブプラス=エッチbar[[0,1],[0,0]ラブマイナス=エッチbar[0,0,[1,0]


このように書くことができます。


=======
あらすじ終わり。


ラブsエックス、ラブワイfという演算子は、あらすじでは言っていませんが先週言いましたように

オイラー的な
オイラー的な
で定義されていますので

①+②を2で割って
iのないx コサインもボルト[[0,1],[1,0]]

①-②を2iで割って
ラブワイf サインもボルト[[0,-i],[i,0]] ふははは残念だったな!iをかける前はエルミートじゃないもんねー!

がそれぞれ計算でき


また、
カクーンドーリョーであるラブのx、y、z成分の間には次のサイケデレリックサイクリックな代数関係がありましたので

愛エッチbarラブz(ポイズン△)

の1つ目の式を用いて
アッー


行列の掛け算には一般にカップリング和平が成立しませんので
この交換関係、掛け算の順番を入れ替えて差し引きは必ずしもゼロにはならず

ラブz=ハーフofエッチbar[[1,0],[0,-1]]となります。



ちなみに、ラブのx、y、z成分はしばしばパウリ行列と呼ばれており
パウリ行列はエルミート行列でありながらユニタリ行列でもあります
ごらく部 パウリ行列\アッカリーン/ 単位行列

単位行列[[1,0],[0,1]]も合わせた4人組の行列を合わせてパウリ行列と呼ぶこともあります。


エルミート行列というのは何かといいますとエルミート共役をとっても元の行列と同じな行列のことを指し
A†=A
エルミート共役というのは複素共役(虚部の符号を反転する)を取って転置(行と列を入れ替える)する操作を指しますので
n行×n列の行列

てんちむよう 行と列を入れ替える
複素共役 虚部だけの符号を反転



ダガー断る エルミート共役
エルミート共役は複素共役してから転置でもいいし、転置してから複素共役でもいいけど、

エルミート行列の具体例はこんなんすわ
エルミート行列の中の人


たとえばラブyの複素共役は
[[0,i],[-i,0]]ですが、その転置を取るとラブyそのものに戻ります。

エルミート共役な行列は、行列の固有値が必ず実数であるという性質を持っています。



また、ユニタリ行列は、

ユニタリ行列ユニタリの逆行列計算する暇あったらエルミート共役を取れよ!
元の行列にそのエルミート共役を取った行列を掛け算すると、
順序によらず単位行列になる行列のことを指します。
つまりあるユニタリ行列の逆行列が元の行列のエルミート共役であるといえます。




固有値を求める式
固有ベクトルを求める式
具体的には、任意の行列を対角化させる際に求めた固有値を元に固有ベクトルを求めてから対角化すると思いますが
その際の規格化された固有ベクトルである縦ベクトルを横に並べたのがユニタリ行列です。

エクセルで具体的にユニタリの例を見たければそうですね
matrixアドインがネットのどっかにあるのでそれ入れて、固有値・固有ベクトルを算出する関数使えば
出ないこともないです。
ただ、そのアドインの固有値・固有ベクトル算出用関数に関していえば
対象の行列が対称行列限定なので注意が必要ですね。
対称行列
エルミート行列なら固有値は実数にはなるんですが
エルミート行列そのものが複素数の範囲まで広がってるため、元の行列を実数にしたければ対称行列にせざるをえないんですよ。

5行5列のエルミート(対称)とユニタリ(固有ベクトルズ)だったらたとえばこんな感じです。
エルミートとユニタリの例(実数だけどな!)


また、パウリ行列と単位行列を合わせた4人組は4次元空間のそれぞれ4軸の単位ベクトルを表したものであるとされ
詳しくはwebのような性質があり、クォータニオン(四元豚、カリウムイオン豚、K中間子豚)とも関係があるらしいです。




z成分だけ浮いていると感じたあなたはいい質問だと思っています

回転運動したときの軸がz成分だ!勝ったやつが正義だと強いられているんだ!

と思えばそんなに違和感ないかと思います。
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放送力学の「量子物理」第13話の講義キタコレ!!


水素様原子<ぷろとん>タンの波動関数丸裸キターーーーー!!


ところでs軌道ってさ
動径方向の波動関数だけ見てると
なんとなーく
電子、原子核に落ちてるじゃん
って錯覚しそうで怖いよねw

実質回転はしてねーし
動径方向だけ変数分離した波動関数はゼロ距離で有限だし

たしかこれ、直交座標に直すところで、原子核からゼロ距離の存在確率ちゃんとゼロになるんだよね
たぶん。


てか、これのシミュレーションって実はもうできる材料既に整ってんじゃんか
しかもあれよ
まがい物的な表現にはなるけど、
電子雲の拡大化石
↑これ再現可能だよね


あーやってみてえ・・・
でもちょっと急用の仕事あるからしばらくムリかもー
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つれー 昨日実質7時間しか起きてないからつれーわー 実質7時間しか起きてないからなー

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7月4日のブログに写真追記しました。
放送大学の「量子物理」の第12回に出てきた電子のスケルトン化石みたいの
当時はこの番組録画してなくて、ああいうのなんていうのか名前もわからないんで検索のしようがなく
約半年後の今週まで待つしかなかったんですよ~

これこれ。
水素原子1s軌道水素電子2p軌道(z成分)水素原子s軌道
ゆくゆくはシミュレーションでこういう作図できればいいな~って思ってます^^
憧れますよねぇ・・・
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コレの続き。


たとえば有限量子井戸があるとするじゃないですか。
井戸型ポテンシャル中の波動関数
そん中でこんな風に波動関数があって
時間的に振動してるとかっていうじゃないですか。


波動関数の2乗って粒子の存在確率だったじゃないですか。
このsinカーブを2乗したものに沿って存在確率の振幅が決まるんだとしたら
じゃあ、この波動関数が時間的に動いてたら「探し物は必ずこの井戸の中のどこかにある!」エル・プサイ・コングルゥ
ってのがおかしくなんねーの?



って思う方もこの宇宙井戸の中のどこかにいるかもしれないじゃないですか。



でもそれは違うんすよ。
時間発展の式をよく見直してみてください。

シュレディンガー方程式の時間発展のほうって

iħdψ/dt=Eψ

こうでしたよね?ħはプランク定数を2πで割ったディラック定数とか呼ばれるもの。
iは虚数単位、波動関数はψ、tは時間、Eはエネルギーなのはお約束。

これを解いた波動関数って、ψ=exp(iwt)にならざるを得ないですよね?根本的に複素数なんす。
(角振動数w=E/ħ)


波動関数の振動って言ってたのは、実は実軸側オンリーあるいは虚軸側オンリーから見た影絵(シャエエー)にすぎなかったんすよ
射影(ヵヶ゛ェェエエエー)


exp(iwt)=coswt+isinwtなので

波動関数の複素性
具体的にはこっちのがより適切な描写っちゅうことになります。
伸び縮みしてるっちゅうより回ってたって感じっすね


sinwtで振動してるからって、存在確率がそのまま2乗してsin^2(wt)とかってしちゃだめなんすよ


あくまで絶対値の2乗なんす。


だから、複素共役をかけるなりして、
|ψ|^2=(coswt+isinwt)*(coswt-isinwt)=cos^2(wt)+sin^2(wt)=1(=|exp(iwt)|^2)
常に1です。大丈夫です。夢の中とか見つけにくくてもちゃんとあります!突然消えたりしませんよ!
井戸型ポテンシャル中の波動関数の2乗と存在確率の密度
結局、存在確率は振動してないこの形の2乗でおkっちゅうこってす。お騒がせいたしましたん。


まあ、振動するしないに関わらず節になってるところはあくまで存在確率ゼロなんですけどね。

ねるそんとんねる
だからまあ、こんな感じに、
粒子のエネルギーに応じてビキニ島パン(環礁)模様の出来方が違ってくるわけですよ。

はぁー!すぐ上のこの図って確か、前にズルして描いたもんなんすよねー
ちゃんと乱数に重みをつけて調整してから描きたかったんですが
やり方を忘れたというかそもそも理解していたのかどうかすら怪しい・・・



今になって考え直してみてもうまく整理できてないし
考えるのを諦めてサイトを見ても、いまいち何が書いてあるのかよくわからないorz
っていうかみんなプログラムコードで書くのやめてほしいんですけど><
もっとプログラム弱者っていうか負け組にもわかるようにエクセルで記述おなしゃす><
まあ、乱数調整なんて真っ先に普通プログラミングでどーん!な分野ですけどね・・・
ブランクを空けてる間にプログラミングフォントにまでトラウマが・・・あばばばば


いい加減何かアップしないと日記の更新がアレなんでさっさとアップしちゃいます。
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β世界線に戻れば+あのDメールを消せば+お前が死ぬ=ムリゲー

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11日の日記で、1次元有限深井戸型ポテンシャル中の波動関数が
存在できるための条件までは解いたんですが
波動関数そのものはまだ解いていなかったんですね。


解析的に出来る自信がなかったので数値シミュレーションで解いてみました。

井戸ポテ

こんな感じにポテンシャルがある中で
微分方程式を差分方程式にして解くわけです。
ψ''+2m(E-V(x))/ħ^2・ψ=0
の微分ψ''を、ψ''≒(ψ2-2ψ1+ψ0)/dx^2
ってな感じに差分に置き換えて
(ψ2-2ψ1+ψ0)/dx^2+2m(E-V(x))/ħ^2・ψ1=0

ψ2=2ψ1-ψ0-2m(E-V(x))dx^2/ħ^2・ψ1
を、xに応じて逐一計算するだけです。
ψ1とψ0はそれぞれ1つ、2つ前のxにおけるψです。

なので、最初のψ1とψ0を初期値として入力しておくっていうのは自由落下の運動方程式を解くときの初期位置と初速度とほとんど変わりません。
無限深量子井戸だったらx/a=1のところでψがちょうどゼロになるように調整して投げ上げる、ただそれだけの感じです。
有限深の場合はどこで収束するのかわかんないので、井戸の端ではなく井戸のど真ん中で境界条件の代わりの初期値みたいのを決めました。


井戸の中心をx=0とおくと、原点対称かy軸対称なのはわかっているので
中心でのψを0か1と置いて、中心からdx離れた地点でのψを中心のψ-0.1みたいなことにして
x/aが1になってポテンシャルがV0になった向こう側でψが発散しないエネルギー固有値Eを
探って、まあなんとなく解いてみました。
固有条件の算出や規格化、x=0でのミラーリングや偶関数、奇関数切り替えなんかは基本的に手動です・・・
全自動って苦手なんすよ・・・組み上げる側からすると不安要素でいっぱいですorz

いちおうエネルギーに応じて振動もさせておきました。
(ħ=m=a=1、dx=0.05、V0=100・・・のつもりです)

井戸ぽて解析

だいたいは合うんですよね、だいたいは
でもなんでかエネルギー固有値がかなり大雑把にしか合わなくて・・・><
誤差の範疇越えてますよ・・・なんなんだろうこれ。



昨日の、固有エネルギーの条件を解いた結果がこちら。
有限深量子井戸の固有値問題
横軸がエネルギーで、縦軸はk1cosk2a-kesink2aをプロットしてるので
x軸を横切るエネルギーがエネルギー固有値のはずなんですけどね・・・
どういうわけか、この節のエネルギーじゃないところでシミュレーションが発散しないという・・・
ポテンシャルV0=100のとき
エネルギー固有値が量子数の2乗に比例してるっぽいところも一緒なんですけどねえ
どこがどういかんのか・・・
シミュレーションする際の規格化の間違いか、あるいは位置xの刻み幅dxを粗く取りすぎてるのか・・・
まあだいたい出来たんでいいんですけどねー・・・
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※訂正2013年1月18日(未完了)

シミュレーションと手計算が合わない理由判明しました!
手計算の条件判定式のほうが間違ってました...orz
とりあえずV=100のときの判定図張りなおしておきます><
有限井戸ポテ問題が解ける条件(固有値問題)
判定式が変わったので、それに伴って節の位置とか数とかが変わってます
これだとシミュレーションとの差がだいぶ減ってるはずです


※追記2013年1月19日(完了のつもり)
ポテンシャルをパラメータにして動かした固有値判別のgif動画も貼りなおしておきますね
固有値判別動画・リベンジ

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無限深量子井戸の問題は試験時間内に解ける容量なんすよ。

ところがこれが有限深井戸型ポテンシャルの波動関数となると意外とキツいっすねえ><

いどぽて!
図のようにxが±aの外側ではV0、内側では0であるポテンシャルVを考えるわけですが
V0が有限の値なので、波動関数ψは±aの外側では完全にゼロにはならず
少し染み出した感じになります。


時間に依存しない1次元のシュレディンガー方程式は
修羅城の殿下

なので、

井戸の外側では(ħk1)^2=2m(V0-E)と、内側では(ħk2)^2=2mEとおいて以下のように波動関数を指定して、

・井戸の左側x<-a:ψ1=Aexp(k1x) (x→-∞で発散しないように、exp(-k1x)の項は設けません)
・井戸の中-a<x<a:ψ2=Bcos(k2x)+Csin(k2x)
・井戸の右側a<x:ψ3=Dexp(-k1x) (x→∞で発散しないように、exp(k1x)の項は設けません)



・ψ1(-a)=Aexp(-k1a)=Bcos(k2a)-Csin(k2a)=ψ2(-a)
・ψ3(a)=Dexp(-k1a)=Bcos(k2a)+Csin(k2a)=ψ2(a)
・ψ'1(-a)=k1Aexp(-k1a)=k2Bsin(k2a)+k2Ccos(k2a)=ψ'2(-a)
・ψ'3(a)=-k1Dexp(-k1a)=-k2sin(k2a)+Ccos(k2a)=ψ'2(a)


という、井戸の端での波動関数自身と、その1階微分が連続(なめらーか)であればいいという境界条件を解くわけです。


ただ、これだと式未知数4つにつき式4本になってしまいます。
これではよくないのです実は。

最後に波動関数ψの絶対値の2乗(存在確率)を全位置xで積分して1にする
(探し物はどこかにある。見つけにくいものでもどこかにはある!)
という、5本目の規格化条件が揃って初めて、4つの未知数A、B、C、Dが定まるようにしないといけないため

この連立方程式を紙一重で永年方程式、つまり解けないように条件を決めなくてはいけません。


連立方程式をいじっていると堂々巡りが始まるので
ここは行列方程式にして、行列式をゼロにする条件を解くことにしましょう。


行列方程式 両辺に左から真四角行列の逆行列をかければ求まるはずなんですが解けちゃいかんのです

の、行列式
が0であればいいのですが(逆行列がなくなる→方程式が解けなくなる)

せっかくゼロが4つもあるので、複線型交代形式を使って、なるべく簡単な形に落とし込んでおきましょう。

めんどくさいのでsin:s、cos:s、exp:eで略記しちゃいます
略記 交換OK

2列目と3列目を交換して
線形結合おk

2行目から1行目×k1を引いたものを2行目に代入し
フィバったので

ゼロがフィーバーした列をぷよぷよします。
ぷよる

2行目×k1から3行目を足して3行目に代入、
フィバったので

3列目がフィーバーしたのでまたぷよります。
ぷよる

フィバったので

1行目と2行目を足して2行目に代入したらまたフィバるのでぷよするとそのまんまただの数(スカラー)になっちゃいます
ぷよる
expの項はどこまでいってもゼロにならないので両辺割ってちまいますと


k1cosk2a=k2sink2a

の条件が求まることがわかりますね、わかります。






この条件は合っているでしょうか。
確認のため、V0→∞の極限で、無限深井戸型ポテンシャル問題に一致するかどうか確かめてみましょう。


無限深量子井戸問題の場合は
素直に井戸の外でψ=0であるというのが条件なので
ψ=Acoskx+Bsinkxとおいて
ただし(ħk)^2=2mE

ψ(-a)=ψ(a)=0の条件を
永年方程式にすればええねん
Aだけが定まる式にするためには
sinkx=0の条件を

Bだけが定まるには
coskx=0の条件を解けばいいため

それぞれ
ka=(n+1/2)π
と、
ka=nπ
が固有状態になる条件であるといえます。(※ただしnは整数<イケメン>に限る)

ψ=Acos((n+1/2)πx/a)あるいは、
ψ=Asin(nπx/a)
と求まり、-∞|ψ|^2dx=1になるようにAを定めればいいわけです




有限深さ量子井戸問題の場合の条件は
k1cosk2a=k2sink2a
でしたね。
ここで、V0を無限大の極限に持ってくるというのは、井戸の外の波数k1(っちゅうか減衰率)を無限大に持ってくることに相当するので

今の式を両辺k1で割って
cosk2a=k2sink2a/k1=0としますと無限深問題の2つの条件のうち1つが求まります。
ka=nπです。

また、
さっきの式を両辺k1sink2aで割って
1/tank2a=k2/k1にしてからk1→∞にもって行ってみましょう。
tanなのでk2aがπ/2からπごとに∞になるので0=0で式が成立していることがわかると思います。
これがもう1つの条件、ka=(n+1/2)πです。





実際にA、B、C、Dを解析的に求めるのはちょっと疲れたので後回しにしたいと思います。
いつになるのかは不定(0/0)です。
とりあえず固有状態の条件が求めたかったので
あとは数値解析することにします^^


苦節3~余っ暇・・・疲れました
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※20130118訂正
最後の最後で式展開間違ってますね><
なにやってんですかね自分

exp(-2k2a)(k1cosk2a-k2sink2a)=0 (キリッ

じゃねーよ

2exp(-2k2a)(k1cosk2a-k2sink2a)(k1sink2a+k2cosk2a)=0

こうだろ・・・orz

つまり2つの括弧内の条件
k1cosk2a=k2sink2a

k1sink2a=-k2cosk2a

どちらかが成り立てばおkってわけっす



※20140423追記

やっと出来ました!ずっとやりたかったことの1つが叶いましたよ~!!!

28秒付近で符号間違えたのはすみません><

先頭から数えて偶数番目(amnだったらm+nが奇数の時)がボンバーするときは符号反転するんですよ。

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有限深さの量子井戸の数値シミュレーションをしようと思ったが
方程式自体は振動の方程式を初期条件ではなく境界条件にするだけでいいことがわかった。

しかし境界条件にすると固有値がたくさん出てくるらしく
固有値をトライアンドエラーしながらというのは骨が折れるので
ある程度当たりをつけられるように、解析解を暫定的・数値的にでも求めておこう。


さあこの連立方程式をどう解くかだよなー
そんなに難しくもないのかもしれない
解けなかった日の調子がたまたま悪かっただけで、そんなに気を追う必要はないのかもしれない
あと数時間したら寝るなんて中途半端な余裕でも出来るかもしれないんだからとにかく手をつけろ。いいな。
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昨日の続き。

まあブランクあるんで
無限深量子井戸から解き始めてみたわけよ。
そしたら、これ基本的に振り子と同じ微分方程式じゃないすか!
なに今更気づいてんすか!


微分方程式が
y''+a^2*y=0
って意味では振り子とまったく同じ
時間tで微分するか位置xで微分するかぐらいの違い。

まあ、それが多大に影響していて
時間微分だったら初期条件として初期位置と初速度の2つを与えなきゃいかんのだけど
空間微分だったら両端の波動関数をそれぞれ1つずつ2つ与えるわけで、

あれ?ちょっと待てよ?
じゃあなんで振り子だと固有振動数が1つしかないのに
波動関数だと固有値がいくつもあんの!?



待て待てちょっと待て。
そもそも振り子で倍音は出ないと限るのか?
出ないとも限らないんじゃないか?
ぐぐったけど芳しくない。

うーん・・・振り子は強制振動でもさせない限り倍音で振動することはないってのか
じゃあ強制振動させたら倍音出るのか!?


まあ・・・量子井戸の波動関数自体、ゼロ点振動以外は励起してるわけだしなぁ


いやちょっと待て。
ゼロ点振動・・・?振り子の一番エネルギーの低い状態は単振動じゃないぞ?
「動いてない」のが最低エネルギーのはずだ。


それを量子井戸に当てはめたら・・・
ないってことはないかもしれないが、規格化した時点でないことになるな。
波動関数の絶対値の2乗を全空間積分したら1になるってのが規格化だからな。
ここにもあそこにも実はどこにもない電子を探してどうすんだよ・・・探し物は夢の中かよ・・・めちゃめちゃ見つけにくいものじゃんか


だがちょっと待ってほしい。
振り子よりもいいたとえがあるではないか。
楽器だ。
波動関数の空間分布はそのまま
楽器内の音波の定在波の空間分布と同じ形になる。
微分方程式の微分も時間微分ではなく空間微分と、同じ状況が出来上がる。


じゃあたとえばリコーダーでドの音を出したいんだけどちょっとヤケクソになってフンスって吹いたら倍音の1オクターブ高いドが出てしまったなんてことはありえるだろうよ
でも、楽器にしたって最低エネルギーはドの音でもどの音でもなく、「鳴らしてない状態」が一番安定のはずだ。



じゃあこのゼロ点振動っちゅうのは単に、波動関数に特有の、規格化したら1にせにゃならんっていう要求から発生する問題なのか?
あとは振り子にしたって強制振動させるかさせないかの問題ってだけ・・・なのか?


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