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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
[1] [2]

これの作り方備忘録です。


図のように、x、y、z、rの列を作り、そこに一様乱数を叩き込みます。
今回は1000点ほどデータを取りました。
rの列はrand()なので、0~1の一様乱数ですが
x、y、zは-1~1の一様乱数にしたかったので、2*rand()-1を使ってます。


次に、井戸型ポテンシャルにおける波動関数、パイロットウェーブのようなものを作ります。

左3列がそれぞれx、y、zによる偶関数の波動関数
同様に右3列がx、y、zによる奇関数の波動関数です。

偶関数の場合は
cos(2πnx/4)を
奇関数の場合は
sin(2πnx/4)を、
それぞれ使っています。y、zの波動関数(H,I,K,L列)は、xの代わりにyやzの乱数座標を入れてください。

また、ここでいうnとは、4行目にある数字のことを言いますが
1行目に入れた数が偶数ならG,H,I列をゼロに、奇数ならJ,K,L列をゼロにするように
2を法としたモジュロ演算を使っています。

波動関数そのものも、
1行目にいれたx,y,zの量子数が偶数ならG,H,I列の波動関数をゼロに、奇数ならJ,K,Lをゼロにするようにしています。

ここでは、x軸とz軸の量子数が2と4と、偶数なので
G,I列がゼロになって
K,L列に有限の数を入れました。

逆に、y軸の量子数が3と奇数なので
H列に有限の値、I列にゼロが入っています。

 

次に、各軸の波動関数を完成させます。
 
偶関数か奇関数のどちらかが入るはずなので、
M列=G列+J列
としています。
y,z軸もそれぞれ、N列=H列+K列、O列=I列+L列としています。


それから、3次元の波動関数を完成させたいので
一旦変数分離した各軸の波動関数を掛け合わせます。
P列=M列*N列*O列といった感じです。Ψ=Ψx*Ψy*Ψzですね。

確率は、Ψの2乗にrのパイロットウェーブ的なのを掛け算したいので
Q列=P列^2*F列としたいところですが、
今回の場合規格化が無理そうなので、代わりに、波動関数に定数を掛け算して、ちょうどよくなるように調整しました。
Q4に適切な値を入れて、掛け算しているので

Q列=P列^2*F列*$Q$4
となります。

最後に、R列で、Q列の値が0.5未満だったら0を、0.5以上だったら1を返すようにしました。
敷居値をR4に設けつつ、if文を使用しましたが、
別に0桁でのround関数で構いません。

この1の個数が、値の個数の半分くらいになるように、Q4の値を調整しています。
結果的に40ぐらいが適切と判断しました。




このシートのすべてをコピーし、新しいシートに、数式ではなく値として貼り付けます。


x、y、z、pの値だけを使うのですが、pが1のときのデータだけがほしいので、pの列に関してデータを降順に並べ替えます。
並べ替えるには、この4列をひとまとまりのデータと機械に認識してもらうために
周りを空けて、x、y、z、pの列ラベルに2つ以上の書式変更を設定します。
今回は中央寄せと太文字を用いました。
また、降順などの操作を行う際に、数式コピペだとうまくいかないことが多いので、一旦値コピペをしました。(ほかにも理由はあります)

これで、pが1の区間の行すべてを取り囲み、グラフ化することで、外村彰先生の実験のような
パイロットウェーブ的な干渉縞をシミュレーションすることができます。

ただし、ここで用いるグラフは2Dグラフで、x、yのデータしか用いません。
ですので、x、y、zのデータを適切に回転させることで、3Dのように見せかけることにしました。

図のような、y軸回転のあとにx軸回転させるような回転行列を作用させます。

H8~J10の区間に、mmult(H2:J4,H5:J7)という行列の積を計算させます。
まず代表となるH8セルに行列の積を実装し、H8~J10を選択して
ctrl+shift+Enterを押すことで、H8~J10全体に計算結果をいきわたらせることができます。

そしてこのH8~J10の混合された回転行列を、先ほどのC,D,E列に作用させたいので
mmult(C12:E12,$H$8:$J$10)とします。
C~E列の500列くらいに作用させるのに、H8~J10の行列は固定のまま作用させたいので
ここでも絶対参照を用います。


これで、G3やG6セルをいじれば、x、y平面だけでなく、見たい角度からの粒子を見ることができるようになりました。

このG3やG6セルも、自動で動かしたいため、以下のような表を作ります。

P列の値に応じて、Q列のy軸回転の角度(°)と、R列のx軸回転角度(°)をまとめてあります。
Q3とR3セルには、それぞれ、選択したP列の数字に応じたQ列とR列の値が出るように
vlookup関数を用いています。

ここで、選択したP列の数字を時々刻々と動かしたいので
now()-today()を計算して、シリアル値を0~1までの数値として表現します。
この値は隠れがちですが1秒以内に何度も更新されています。
これを100万倍ぐらいさせて、わずかな値の変化を増幅します。
それからround関数で整数にしてやり
先ほどの図のP列の最大値を法としたモジュロ演算を行うことで、周期をP列の値の整数にすることができます。ここでは89行あったので89周期です。

ただし、mod関数は0から88までの89個が算出されるので、1を足して、1から89までの整数に直してやります。

この結果が仮にC6セルにあったとすると
Q3とR3にはそれぞれ
vlookup(C6,P5:R93,2)
vlookup(C6,P5:R93,3)
と入力することで、C6セルがP列の値と等しい行のQ列とR列の値を算出してくれます。
(vlookupの3つ目の変数である2や3は、参照する範囲の2列目、3列目という意味です)

あとは
HとI列を参照して、散布図のグラフにすれば完成です


Excelファイルをアップしておきます。
windowsのPCでしか動作確認してませんが、テキトーな空白セルで、delボタンを連打していただければそのたびに再計算されるので、グラフが動くと思います

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まず、時間に依存しないシュレーディンガー方程式はこのようなものでした。

mは質量、Eはエネルギー、Ψは波動関数、Uはポテンシャル、
∇は位置による偏微分iは虚数単位、πは円周率
hに横棒がついたのは、プランク定数hを2πで割ったディラック定数です。

波動関数Ψは今回、時間には依存しませんが、3次元の位置を変数とした関数なので、
Ψ(x,y,z)と明示しておきましょう。
また、∇の2乗も

なので明示しますと、以下のようになります。


ここで、変数分離に移る前に、ポテンシャルUを各変数の関数に分離しておきましょう。
今回は井戸型ポテンシャルを考えればいいので

U(x,y,z)=Ux(x)+Uy(y)+Uz(z)
として、
Uxは-a<x<aでUx=0、それ以外では十分大きい値を持つとし
Uy、Uzも同様に、それぞれ-b~b、-c~cでだけゼロ、それ以外では十分大きい値になっているとします。



ここでようやく変数分離の出番がきて、Ψ(x,y,z)=Ψx(x)Ψyz(y,z)を適用できます。

変数分離ロボアニメ(変身バンク) 
なお、一度の変数分離で分離できる変数は1つだけなので、いっぺんにΨx、Ψy、Ψz
とはできず、ΨxとΨyzにまず分離させます。

そうすると

このようになるので、
両辺をΨxとΨyzで割り算します。

すると、関係ない変数を含んだ偏微分の関数を消すことができます。


ここで、左辺を変数xに関係する項、右辺をxに関係しない項と分離しておくと

左辺=定数=右辺

という
形にできますが、式をx,y,zの変数について揃えたいため
エネルギーを3軸に等しく分配してやります。Eの項を3等分するのです。

一旦、両辺に-2mを掛け算して、ディラック定数で割ってやりますと



左辺(x)=定数=右辺(y,z)の形に整理しますと


さらに、エネルギーを3等分して各軸に分けますと

これを、xに関する式と、xに関係ない式の2本に分けますと


このような2本の式に分かれます。

しかし、元々Eというのはなんだったのか。
エネルギーのように見えますが、
元々は時間に依存するシュレーディンガー方程式を時間と位置の方程式に変数分離する際に出てきた定数だったはずです。

ですから、EとE2を、係数もひっくるめてまとめて、Exのようにしても構わないはずですね
ということで、1本目の式は


このように簡潔になるはずです。

では、変数yとzも分離していきましょう。

さきほど分離したこの方程式から始まるわけですが
ここではじめて、Ψ(y,z)=Ψ(y)Ψ(z)
と、単独の変数に分離することができます。


偏微分に関係ない変数や関数を約分し終えることができました。

これを整理して、エネルギーをまた等分配しますと


このようになります。

またしても定数が生成されたのでまとめてしまいますと


3軸とも同じ形にできました。


解析解を求める際は、ポテンシャルUx=Uy=Uz=0として、考慮する必要はありませんが、境界値問題を考える必要がでてきます。

逆に、数値解を求める際は、境界値問題は考えなくていいですが、それぞれのポテンシャルUが井戸の外で十分大きい場合、符号を考慮に入れる必要が出てきます。


境界値問題は、1次元の井戸型ポテンシャルと同じように求めることができます。

振り子の微分方程式の、求めるべき関数の変数が、時間tではなく位置x,y,zに変わっただけなのですが
時間の場合は初期条件として、t=0における関数Ψとその時間微分Ψ'を求めることになるのに対し、
位置の場合はΨ'ではなく、位置xが-aやaのときの値を考慮するところが異なります。

また、無限の深さの井戸型ポテンシャルなので、井戸の淵の波動関数そのものをゼロと仮定できますが、
有限の深さの井戸型ポテンシャルの波動関数の場合、Ψ=0と単純におくことができず、
井戸端でΨ(ディリクレ:節)とその微分Ψ'(ノイマン:腹)が連続であることが求められます。このように、ディリクレ条件(節)とノイマン条件(腹)両方を満たすような境界条件を、コーシー境界条件と呼ぶらしいです。


波動関数の場合はほかの波を求めるのと少し異なっており、
最後に規格化することで完成するため、数値解を求める際は
規格化するまで、波動関数の形は決めることができても、大きさを決定することはできません。

そのため、偶関数の場合は腹、奇関数の場合は節となるような境界条件が必要になります。
左右対称な井戸型ポテンシャルの場合は、x=0つまりど真ん中に境界条件を設置することになります。

過去日記の中くらいの図を参照ください。

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よく教材にされるアレです。電子の波と粒を同時に捉えた的な実験
(15年以上愛され続けた安心の外村クォリティ?)

3D井戸型ポテンシャル風に再現してみました。

波動関数の腹がそれぞれ2,3,4個です


個人的に納得のいっていない、子供だまし的な計算が入っていると思うので
それも含めて、そのうち計算過程もアップしたいなと

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ほら、こいつの端っこ井戸端が、無限深さポテンシャルだと節にしかならないじゃないですか。
腹になる境界条件どこよっつったら、数値解だとど真ん中にあるんすよ。

量子力学に限らず、数値解と解析解とで、境界条件を敷設する位置が違うってのはどうもあるあるっぽいですね。

話は戻って、図の偶関数だったら真ん中は腹になるし、
奇関数だったら真ん中は節になる。

で、深さが有限になったら、井戸端は節だけじゃなく、ディリクレでもノイマンでもない
コーシー境界条件になるみたいなんすよね。
コーシー境界条件ってのは、ディリクレでもノイマンでもある境界条件のことらしいです
うーわー一層中二病くさいっすねー!

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3DっぽいExcelのリハビリもかねて。


ちょう暫定ですが、井戸端が無限に深いポテンシャルでの
井戸の底にいる貞子たんの長縄飛び波動関数です。

ふとですね、こいつの存在確率を可視化してみたいと思いまして。
存在確率は絶対値の2乗なので、波動関数の実部と虚部と、x軸の3Dで構成した場合
長縄飛びの縄が取りうる回転楕円体の中の体積を波動関数同士で揃えるってのが、
規格化の意味なんじゃないかと思いましてね。
まあその場合、体積が1じゃなくてπ絡みになってしまうんですけどね、こまけえこたあいいんだよ

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コレ

 コレ

 コレ
||


コレ!!

ExcelDLファイルは コチラ!!!



ジバヤシ貞子にゃんのときは直線偏光っぽい波動関数だったのが
溢れ出る貞子になるにつれて円偏光っぽい波動関数になっていくあたりが描きたかったんですよね。
それで「偶関数+i奇関数」だったのです

それと、あとから思ったんですが、
螺旋になったあたりの規格化が不完全のような気がしました。
元々は実数の規格化と純虚数の規格化を独立して実数^2と純虚数^2で評価していたのですが
螺旋になった時は実数^2+純虚数^2で評価しなきゃいかんですよね
でもそれだと逆に、直線偏光っぽいときにバグってしまうんですよね
どちらか片方しか収束しないので。
それでいて束縛状態と自由粒子の状態は連続してるからどうしたもんだろうと思いまして。


 
 
 
リング らせん オイラー
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昨日のKindleからの投稿、一番やっかいだったのが、最後のブログ村へのリンク貼り付けだったとかいう・・・

コピペーとカッペーが慣れねー!
ていっても昨日ほぼ初めて切り貼りしてみたんですが。
あーctrlボタンが恋しいよー!

つーかなんかこう、エルダーテイルじゃないですけど
PC内の空間のドット数がどんどん量子化から離れていってる感じがして
不器用な僕としてはなんかこういい部分が減っていってる気がしてならないんですよね




ところで、
今考えている視覚化はですね
井戸型ポテンシャル内の全波動関数をそっくりそのまま複素にして可視化しようというものでして
 コレ

 コレ

 コレ


を全部いっぺんに表示できないかなと。

どうせポテンシャルは1次元ですし、昔の平面マリオみたく、虚軸も表示しながらエネルギーを少しずつ上げてったらどうなるかなーって。


偶関数+i奇関数

みたいな感じで。
うまくすれば井戸から這い上がってきた自由貞子がちゃんと螺旋になるんじゃねーの?って企んでるんですね
もちろん全部数値計算でやりたいっすよ
ジバニャン束縛状態から自由粒子になる瞬間が見てみたい~
(自分で作っといて、見たことがまだないってのも変な話ですが数学ではよくあること)


やーそれにしても全然意欲が出ません。どうしたもんでしょう
あんまり無理せずのんびりしてたらいつの間にかやる気になってるもんなんですかねえ
同じようなことばかりやってるからかなぁ
それにくわえてgif化やら連続キャプチャのツールをOSとっかえでツールまで取り替える羽目になって単に慣れてないせいなのか


冬だからちょっと疲れてるのかもしれない




=======
ああそうそう、
エーレンフェストの定理みたいな、波束が進んでいく自由粒子みたいのあるじゃないですか
アレの表現が時々引っかかるんです。
色んな波数が混ざって波束を作ってるんだとしたら
色んな運動量つまり色んな速度も混ざっていなきゃいかんわけですよね
それをあたかも同じ速度で一斉に進んでいくように見せかけるところに
悪意とまではいきませんが違和感を覚えるんですよ

やーでも、そこは量子力学だから、それこそマクロに見るとエーレンフェストの定理みたく
横軸の目盛りを巨大スケールにして近似したら問題ないのかもしれませんし
あるいは量子力学だからこそ、表現しきれないので初心者向けにあえてごまかすしかない
なんてこともあるかもしれませんし。




まあとにかく、今はだれてるだけじゃなくて
毎日コンスタントに何かしらブログを書きましょう
抽象化したまま考えているつもりでも、何も考えずただ頭を鈍らせてるだけかもしれないじゃないですか



それこそ絞り尽くしても何も思いつかないなら
落書き帳(紙媒体)にぐちゃぐちゃ~って殴り描きしてインスピレーションが舞い降りるのを能動的に待ってみましょうか

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深さと幅の有限と無限~基本挟まらないけど、挟まったら地獄の落とし穴~
穴がキツいって表現エロすぎだろjk

井戸型ポテンシャルの深さが無限幅が有限だと、解くのがすごく簡単で、感覚的にも親しみやすいんですよ。


その深さを有限に持ってきて、幅もそのまま有限だと、
ちょっと非線形っぽくて嫌で、難易度もちょっと高くなるんですが、まだ親しみやすい(と僕は思うんです)



深さ無限で幅もゼロだったら?
これがちょっと親近感もてないんですよねぇ個人的に。
デルタ関数型ポテンシャルって言うんですけど
深さは無限でも構わなかったのに、幅がゼロになったとたん、なんかこう得体の知れない気持ち悪さが・・・
あれ?特にありません?
気になりませんか?折木さん!!

だってど真ん中で波動関数が折れ曲がるんですよ?
(0F微分連続、1階微分不連続)
幅有限、深さ無限の井戸型ポテンシャル
まあそれ言っちゃ深さ無限の井戸型ポテンシャルも端っこで折れ曲がってるっちゃ折れ曲がってますけどね



これまでの「井戸型ポテンシャルシリーズ」でやってきたシミュレーションをそのまま流用できないんですよ。
幅aと深さV0の関係を反比例でa=なんちゃら/V0にすりゃあいいってもんじゃないんす。
もちろんV0をどこまで持ち上げても無駄なようです。



ところがね
解析的に解いてみるとわかるんですよ。
どこを変えればシミュレーション可能かが。


元々、このシミュレーションは2階の微分方程式なんで、
初期条件に相当する境界条件が2つ必要なんです。
でも、右端と左端を条件にするのが嫌だったので
真ん中を条件にしたんですよ。
それで偶関数なら左右対称(線:y軸対称)、奇関数なら反対象(点:原点対称)にしたんですが
これだと条件1つしかないですよね

そこで、初期条件みたいなことをして2つにしたんです。
グラフの横軸を水平方向、縦軸を鉛直方向に見立てた落下運動を考えてみてください。


そうしたときに、井戸の真ん中から物体を放り投げるんです。
それで、「バウンドしなくなった場所」を「波動関数の端っこ」に置き換えたんですよ。
初期条件っぽい境界条件
このとき、偶関数なら高いところ(0階微分=1)から真横(1階微分=0)に、
奇関数なら地面(0階微分=0)から斜め(1階微分=1)に投げることに相当します。

つまり、y軸のスケールなんて最初はどうでもいいんです。
どうせあとから規格化するんで。



ところが、幅までゼロに持ってくると
そのどちらでもなくなることが解析的に解いてわかったんです。
折れ曲がった波動関数
そこで、0階微分を1(高所から)、1階微分も(マイナスですが)1(斜めに投げる)にしてやると
シミュレーションでも解析解を再現できたんですよ!


なんていうか
無限に手が届くようで届かないといいますか
届かないようで実は届いていたといいますか
解析解の力を借りればシミュレーションでも無限に手が届くけれど
その解析解を出す部分がコンピュータには難しいというか
妙な無力感と有力感の混ざり合いといいますか・・・不思議な感じです。


で、その解析解ってのが意外と簡単でして
ただの指数関数なんですよ。
まあ、無限が関わると意外と簡単っていうのはよくあることなのかもしれません。
それだけ理想化してるわけですしね。


シュレディンガー方程式の
時間に依存しない1次元のシュレディンガー方程式
ポテンシャルにデルタ関数をぶち込みます。
ポテンシャルにデルタ関数を代入

このデルタ関数δ(x)というのは、関数の中身がゼロのときに無限大の値をとり、それ以外ゼロになるという大変気難しい方です。
それでいて、この無限に狭くて深いアホ毛の面積は1に保持してくれという要求までしてくるのです。
でもまあ、慣れてくると結構扱いやすい方です。

それはさておき、デルタ関数を適当に-U0倍してぶち込みますと、シュレディンガー方程式は次のようになります。

このときの境界条件は無限を扱うために普段の井戸型ポテンシャルとは少し変わっていまして
x<0のときの波動関数をψ1、x>0のをψ2とすると
ψ1(0)=ψ2(0)

と、ここまでは普段どおりなのですが
ψ1'(0)=ψ2'(0)という2階微分同士が同じな境界条件ではなく

無限を扱う際の境界条件の例
こういう条件になるのです。
εはイプシロン-デルタ療法のアレだと思いますたぶん。微小量ですね。あとでゼロに近づけるみたいな。

なぜこのような境界条件になるのかといいますと
さっきの式
シュレディンガー方程式
を-εから+εまで両辺積分すると導出できるんだそうです。
標本化定理とか使います。

まあそれで解きますと
x<0でのψ1はψ1=Aexp(kx)
x>0でのψ2はψ2=Bexp(-kx)
になりますが、
x=0でψ同士が同じという境界条件なので
ψ2の係数BもB=Aになります。

さらに、さっきのゴチャゴチャした2つ目の境界条件を解きますと、波動関数の1階微分が
ψ1'=kAexp(kε)
ψ2'=-kAexp(-kε)
なので
固有条件の算出
という固有値が1つだけ導けます。

また、最後まで残ったAは例によって例のごとく規格化条件から求めまして
波動関数の絶対値の2乗(存在確率)をすべての位置で積分したものが1になればいいので
規格化



めっちょ簡単な、ただの指数関数になります。
tdn exp
気持ち悪いのは、次元解析ですよ。
いつもディラック定数ħ(プランク定数)と波数kは1つずつセットで現れていて、片方が2乗されるときはもう片方も2乗だと思っていたのに裏切られた気分です!><

これは、デルタ関数が持つ、どこか人を食った関数を積分したような雰囲気のせいですかね。





結論としては、
ほっそくて誰も挟まらないだろうけど
挟まったらどこまでも落ちていく地獄の落とし穴に落ちるか?


という問題は
デルタ関数型ポテンシャル折れ曲がる波動関数
量子だと割りと落ちる
が答えっちゅうことです。
訂正:当日22:38
x・y軸の目盛間違えてました。
デルタ関数型ポテンシャル中の波動関数




こんなんホントに起きるんか?
って思ったんですけど
なんかぐぐってたら実用化目前?みたいですね
量子ドットとか!




それでついでに考えたんですけど

・幅ゼロ、深さ無限
・幅有限、深さ無限
・幅有限、深さ有限

ときたら、残りの
・幅ゼロ、深さ有限

が気になりません?

ほっそくてさほど深くもない井戸型ポテンシャル!
もしかして解くに値しないから放置なんでしょうかw
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有限深1次元の井戸型ポテンシャル内のシュレディンガー方程式の解のイメージについてブログに書いてから、思いのほか日が経ってしまいました><

ホントはちゃっちゃと規格化したかったんですが
ここんとこ寒いので調子が・・・

まあそんなわけで規格化しました。
波動関数 規格化


規格化前:上
規格化後:下です。

左右にある井戸の外のじゃじゃ馬な尻尾が規格化すると収束してるのがわかるかと思います
これを収束させると、しっかりと固有状態以外のエネルギーで波動関数が「どこでもゼロ」になっていて
波動関数の絶対値の2乗が存在確率なので、存在できないことがわかりますよね。


量子力学
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量子消しゴム消しゴんでみる量子
量子消しゴムは量子の奥ゆかしさを家庭的にかもし出してくれるが、不器用でせっかちな人にはチョトツムカシイ


回折格子回折る光子
それに対して、回折格子実験はCDやDVDさえあれば縞模様は見られるが
消しゴムを演出するには偏光板を置くスペース的なタイミングに困る。


なんかこういいとこ取りができないか

あ、そーだ
メゾスコピックな偏光板をディスクの前にちらつかせよう!
どないやねん・・・orz


※なお、どちらの実験でもレーザは必須である
エキサイト先生にご登場願おう!
セミコロンの位置やそのものがおかしい



ceronにhackingを・・・いやなんでもない 山手線ゲーム!
unmei wa spring8
アトラクタフィールドゲーーーム!!いぇーい!
LHC前 パンパン!
アトラス前 パンパン!
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すべての車輌が一本につながった・・・!この電車レンジ(仮)は・・・タイムマシンだ!!時間の波をつかまえて~♪
モモタロス「俺はええと・・・ン~・・・時間後の未来からきた(キリッ」
ハナ「ぷっ、なにそのバカっぽいセリフ。はいはいタロスタロス」

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前の日記の続きです。
井戸型貞子たん
井戸型ポテンシャルでシュレディンガー方程式を解いた波動関数についてなんですが
深さが無限ではなく有限だったらどうなるのかっちゅうのを
シミュレーションで解いてみてました。


波動関数は数値計算で求めたんですが
固有値問題に関しては解析的にも計算してありまして
2012/12/1114日を参照しますと

[k1*cos(k2*a)-k2*sin(k2*a)]*[k1*sin(k2*a)+k2*cos(k2*a)]=0

を満足する波数k1とk2が固有状態というわけです。
k1とk2は、それぞれ(ħk1)2=2m(V0-E)、(ħk2)2=2mEを満足するものとします。

多項式の積がゼロになればいいという方程式になっているので
どちらかの多項式がゼロを満たせば固有状態を実現します。

この2つの多項式は実はそれぞれ、偶関数の波動関数と奇関数の波動関数が満たすべき固有条件に対応しています。
井戸の中の粒子の持つエネルギーを横軸に取った、上記の固有状態判別の式のグラフは以下のようになるのですが
固有値判別式

分けて考えると、次の2本のうちどちらかがx軸を横切ればおkということになります。
固有値判別式


解析計算と数値計算での固有値
二分法でのシミュレーションによる数値計算でも固有条件を求めてみましたが
照らし合わせてみるとだいたいあってることがわかります。

(ディラック定数ħと粒子の質量mを1、井戸の幅2a=2、ポテンシャルの深さV0=100、距離の刻み幅d=0.01として計算しました)
(精度が悪いのは刻み幅だけの問題じゃないかもしれません。循環参照を利用しているので計算順序の考慮など、その辺の甘さもあるような気がします)

シミュレーションで固有状態を求める際には
井戸の端から十分距離をとった場所で波動関数が収束する条件を利用します。

以下のように、偶関数・奇関数が交互に現れているのがわかると思います。
偶関数と奇関数の波動関数の固有値問題

(波動関数にゲタを履かせて、粒子の持っているエネルギーを表現しました。)

粒子の持つエネルギーがポテンシャルを越えると自由粒子のように振舞うこともわかるかと思います。

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日記を書く意欲がなかなか出ないときは名前や格好から入るのも決して悪くないと思うの。


まだ途中なんですけどねー
2日も日記書いてなかったのでできたとこまでせめてアップしましょうということで。

量子井戸

以前、差分方程式の解の形で作った1次元の有限井戸型ポテンシャルシュレディンガー方程式の解ですが
固有値の探り方が手動だったんでとても収束が遅かったんです。

そこで二分法を用いた方法に変えました。
まあこの程度のシミュレーションだったら二分法でも十分収束早いです。
ニュートン法に手を出すまでもなかったです。ニュートン法についてもwikiってみましたが
収束が早い代わりにやや汎用性に欠けるようで、収束しない場合もあるとかで不安なんで
二分法でなんとかでかしました。


従来から循環参照を使って固有値を動かしているのですが
位置を動かしているときはセル参照で差分方程式を解いているので、複合参照のオンパレードです。

この井戸の端っこが発散しないっていうのが固有値である条件なんですが
端っこまで計算するのに井戸の中心からの逐次計算がどうしても必要なので
一連の波動関数の列をごっそり必要とするわけです。

その端っこを二分法でいう関数の値、変数をエネルギーとして関数がゼロになる引数を求めるのが二分法の役割なのですが
二分法というからにはその名の通り上限と下限とその中間の引数がセットになるわけで
波動関数のセットがごっそり3本必要だったわけです。


そこで、複合参照をいじらずにごっそり3本コピペするための手段として
とりあえず手っ取り早いのがシートのコピーだったわけで
シートって絶対・相対・複合参照の概念が縦横セルに対して薄いんですよね。
そこをあえて利用したわけです。

それから別のシートに移った、閉じている参照一式を(コピペではなく)カットアンドペーストで元のシートのすぐ右隣に添えてやれば、カットアンドペーストであればポインタの移動っていうんですかなんかそんな感じの
変に参照がズレたりとかしなくてすむわけです。


あとは引数であるエネルギーに二分法を取り入れるだけでオッケー♪

かと思ったらなんか変なところで収束するんですよ。
何かと思って不要なセルを消して整理していたんですが消えず

結局何が原因だったのかというと、たぶん「循環参照の順番」が原因だったみたいでした。
以前どこかのブログで見たことがあったのです
左から右にトレースして、端まで行ったら次の行、といった風にZ状に順番に参照しているわけです。

式の中身はそのままに、一部のセルの位置だけずらしたらうまくいきました。結構大事なんですね。
自分そういう繊細なとこあんま大事にしないタイプなんで^^;


二分法で固有値探し

今の段階だと、まだ二分法の上限と下限が手入力なんです。
固有値も1回につき1個しか求まりません。
その辺もぼちぼちオートにしていきたいなと思っちょります。

それと、ポテンシャルの形は別に井戸型に限定しなくてもいいので
調和振動や水素原子様ポテンシャルにも手を出したいですね。



あーでもなんか変だな
偶関数の固有値が定まらない。なんだろう





建築士「完成させたら負けかなと思ってる」
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前回までのあらすじ

このように、量子力学を微分ナシの代数または行列の掛け算とか足し算引き算とか(割り算disってんのかー!)でけいさん!!することができることもわかりますねわかります。

今示しましたように、角運動量のz成分が量子化されていることを代数計算から導き出すことができました。

実際には全角運動量が一定の場合には、z成分の値には上限と下限があるはずで、
それをたとえば、最大値をプラスのドMエッチbar、最小値をマイナスのドMエッチbarと書きますと

このように上限と下限があった場合、角運動量のz成分は、量子数mを用いて
エッチbarの2m倍個でなければなりません。


角運動量のz成分自体は量子化されるのでħの整数となりますが
mが整数でなければならないという制約はなく
2mが整数であればいいので、mは半整数であることも許容されます。


半整数の量子数なんて数学の世界の思考の産物だろうといわれますと意外とそうでもありませんで
何を意味するのかといいますと、
実は粒子自身の持っている角運動量(あえていうなら公転ではなく自転)に相当し、
たとえば電子や陽子などの「パウリの排他律」に従う「フェルミ粒子」というものは半整数、
光子などの「パウリの排他律」に従わない「ボース粒子」は整数の量子数を持っているとされています。

このような量子数のことを「スピン」といいます。
スピンが整数の場合は球面調和関数で具体的に表現できたのですが
半整数の場合は具体的に書き下すことができず、中傷的な企業といえます。


スピン+1/2の場合は上向きスピン|↑>、-1/2の場合は下向きスピン|↓>と記述することがよくあります。

この状態を2行の列ベクトルで

ケットベクトル 縦ベクトル |↑>=t[1,0]、|↑>=tt[0,1] s age|


このように書くこともよくあります。

|↓>を|↑>にageたり、|↑>を|↓>にsageたりする昇降演算子
ラブプラスやラブマイナスは、2行2列の行列で
ラブプラス=エッチbar[[0,1],[0,0]ラブマイナス=エッチbar[0,0,[1,0]


このように書くことができます。


=======
あらすじ終わり。


ラブsエックス、ラブワイfという演算子は、あらすじでは言っていませんが先週言いましたように

オイラー的な
オイラー的な
で定義されていますので

①+②を2で割って
iのないx コサインもボルト[[0,1],[1,0]]

①-②を2iで割って
ラブワイf サインもボルト[[0,-i],[i,0]] ふははは残念だったな!iをかける前はエルミートじゃないもんねー!

がそれぞれ計算でき


また、
カクーンドーリョーであるラブのx、y、z成分の間には次のサイケデレリックサイクリックな代数関係がありましたので

愛エッチbarラブz(ポイズン△)

の1つ目の式を用いて
アッー


行列の掛け算には一般にカップリング和平が成立しませんので
この交換関係、掛け算の順番を入れ替えて差し引きは必ずしもゼロにはならず

ラブz=ハーフofエッチbar[[1,0],[0,-1]]となります。



ちなみに、ラブのx、y、z成分はしばしばパウリ行列と呼ばれており
パウリ行列はエルミート行列でありながらユニタリ行列でもあります
ごらく部 パウリ行列\アッカリーン/ 単位行列

単位行列[[1,0],[0,1]]も合わせた4人組の行列を合わせてパウリ行列と呼ぶこともあります。


エルミート行列というのは何かといいますとエルミート共役をとっても元の行列と同じな行列のことを指し
A†=A
エルミート共役というのは複素共役(虚部の符号を反転する)を取って転置(行と列を入れ替える)する操作を指しますので
n行×n列の行列

てんちむよう 行と列を入れ替える
複素共役 虚部だけの符号を反転



ダガー断る エルミート共役
エルミート共役は複素共役してから転置でもいいし、転置してから複素共役でもいいけど、

エルミート行列の具体例はこんなんすわ
エルミート行列の中の人


たとえばラブyの複素共役は
[[0,i],[-i,0]]ですが、その転置を取るとラブyそのものに戻ります。

エルミート共役な行列は、行列の固有値が必ず実数であるという性質を持っています。



また、ユニタリ行列は、

ユニタリ行列ユニタリの逆行列計算する暇あったらエルミート共役を取れよ!
元の行列にそのエルミート共役を取った行列を掛け算すると、
順序によらず単位行列になる行列のことを指します。
つまりあるユニタリ行列の逆行列が元の行列のエルミート共役であるといえます。




固有値を求める式
固有ベクトルを求める式
具体的には、任意の行列を対角化させる際に求めた固有値を元に固有ベクトルを求めてから対角化すると思いますが
その際の規格化された固有ベクトルである縦ベクトルを横に並べたのがユニタリ行列です。

エクセルで具体的にユニタリの例を見たければそうですね
matrixアドインがネットのどっかにあるのでそれ入れて、固有値・固有ベクトルを算出する関数使えば
出ないこともないです。
ただ、そのアドインの固有値・固有ベクトル算出用関数に関していえば
対象の行列が対称行列限定なので注意が必要ですね。
対称行列
エルミート行列なら固有値は実数にはなるんですが
エルミート行列そのものが複素数の範囲まで広がってるため、元の行列を実数にしたければ対称行列にせざるをえないんですよ。

5行5列のエルミート(対称)とユニタリ(固有ベクトルズ)だったらたとえばこんな感じです。
エルミートとユニタリの例(実数だけどな!)


また、パウリ行列と単位行列を合わせた4人組は4次元空間のそれぞれ4軸の単位ベクトルを表したものであるとされ
詳しくはwebのような性質があり、クォータニオン(四元豚、カリウムイオン豚、K中間子豚)とも関係があるらしいです。




z成分だけ浮いていると感じたあなたはいい質問だと思っています

回転運動したときの軸がz成分だ!勝ったやつが正義だと強いられているんだ!

と思えばそんなに違和感ないかと思います。
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放送力学の「量子物理」第13話の講義キタコレ!!


水素様原子<ぷろとん>タンの波動関数丸裸キターーーーー!!


ところでs軌道ってさ
動径方向の波動関数だけ見てると
なんとなーく
電子、原子核に落ちてるじゃん
って錯覚しそうで怖いよねw

実質回転はしてねーし
動径方向だけ変数分離した波動関数はゼロ距離で有限だし

たしかこれ、直交座標に直すところで、原子核からゼロ距離の存在確率ちゃんとゼロになるんだよね
たぶん。


てか、これのシミュレーションって実はもうできる材料既に整ってんじゃんか
しかもあれよ
まがい物的な表現にはなるけど、
電子雲の拡大化石
↑これ再現可能だよね


あーやってみてえ・・・
でもちょっと急用の仕事あるからしばらくムリかもー
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つれー 昨日実質7時間しか起きてないからつれーわー 実質7時間しか起きてないからなー

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7月4日のブログに写真追記しました。
放送大学の「量子物理」の第12回に出てきた電子のスケルトン化石みたいの
当時はこの番組録画してなくて、ああいうのなんていうのか名前もわからないんで検索のしようがなく
約半年後の今週まで待つしかなかったんですよ~

これこれ。
水素原子1s軌道水素電子2p軌道(z成分)水素原子s軌道
ゆくゆくはシミュレーションでこういう作図できればいいな~って思ってます^^
憧れますよねぇ・・・
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1981/04/04
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WinDOS.N臣T
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日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
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