井戸の深さ：有限→無限の極限で波動関数の妥当性を確かめる２

先日の日記の続きで、井戸型ポテンシャルの外の波動関数についてです。


有限深さの井戸型ポテンシャルにおける波動関数を
無限深に極限を取ることで、無限深さ井戸型ポテンシャルの波動関数および有限深さ井戸型ポテンシャルの波動関数がちゃんとつながってて、妥当性があるのかを検証してみる試みその２です。



今回も、全て解析解です。
距離xが-aからaまでの間にポテンシャルUがU=0で
井戸の外だとU=U0というところから始めました。
波動関数Ψは井戸の内側では、Ψ=Acos(kx)かΨ=Asin(kx)で
井戸の外側では、Ψ=Bexp(-k1|x|)でしたね。

ここで、Bは、下の図のようになります。
±がついていますが、Ψ=Acos(kx)だったら+で Ψ=Asin(kx)だったら-になります。
また、kにディラック定数を掛け算して2乗したものは2mEで
k1にディラック定数を掛け算して2乗したものは2m(U0-E)になります。
(U0>Eが条件です)

mは粒子の質量、Eは粒子のエネルギー、kは波数なので波長λを用いると k=2π/λとなります。
k1は波数に似たパラメータです。



分子にexp(k1a)が掛け算されているので、B自体は場合によってはものすごく大きな値になります。k1を大きくすると、もちろん際限なく大きくなります。


しかし、波動関数全体で見てみますと
井戸の外なので、Ψ=Bexp(-k1|x|)なので、以下のように書きなおせまして


この、|x|とaの大小関係に注意しますと、井戸の外側では常に|x|>aが成り立っているので
井戸の外のポテンシャルに相当するk1をいくら上げようが、波動関数Ψの分子はゼロに収束し
分母も√a(井戸の幅の半分)に収束するので
Ψ自体もゼロに収束するのがわかるかと思います。




いやほんともう、これがやりたかっただけなのよ・・・なんで13日から31日まではばきかせちゃってるんでしょうかねえ・・・