量子ゆらぎ荘の貞子さん

ハァイ、ジョージィー┗( ͡° ͜ʖ ͡° )┓.(福山○治がドナルドの顔で台風の中アニソンを歌う)


量子ゆらぎ荘ができたころはですね、こうやって井戸を掘っていたんですよ
ところどころ温泉＜波動関数＞が湧き出るんで、ダウジング＜固有条件＞を始めたんです
そしたら個性的な客が次々と住み着き始めましてね、
だいたいが霊か霊能力者関連なんで、壁や紙面にしみ込んだりするんですわ。乳首が。




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井戸型ポテンシャルの深さを有限から無限に近づける様子をgif化してみました。
無限にはとうていできないので、高々無数程度の深さなんですけどね

井戸に入れる固有状態が増えていき、
エネルギー固有値の値も少しずつ上がっていくのがわかるかと思います。


これを、基底状態だけに着目したのが、下の図です

何を見ていただきたかったかというと、
深さを増していくにつれ、波動関数の染み出しが減っている点です。
深さ無限大では、この染み出しはゼロとなり、波動関数は井戸端で不連続になります。


この関数、基底状態はガウス分布の関数にも似ていますが、異なるものです。
一体どうやって描くんじゃい！って学生当時は思ったものですが
これがやってみると実は初等関数だけで書けちゃうんですね。

調和振動子ポテンシャルの場合と違って
井戸型ポテンシャルは勾配が無限大なので、別々の関数を連続的につなげることで、波動関数を描くことができます。
それも、三角関数と指数関数しか用いていないのです。


この、三角関数と指数関数のつなぎ目を連続に(関数そのものと傾き)することこそが
固有値を不連続たらしめていて、どのエネルギーでも連続になるとは限らないのです


今回はすべて、解析的な計算を行いました。固有値の算出だけではなく
波動関数そのものを算出する行程まですべて、解析的に計算できました。

以前、数値計算で井戸型ポテンシャルでの波動関数を算出してから
これにたどり着くまでにずいぶん時間がかかってしまいました。
特に頓挫して困っていたわけではなく、単に満足していただけです。