３＋１次式としての四次方程式の解と三角関数

前回は複二次式(2×2次式)として四次方程式を解いたが、今回は1+3次式として四次方程式を解く。

二次方程式の平方完成・三次方程式の立方完成に続く 四次方程式の同様のそれがすでに済んでいるものと仮定し、二次の項の係数はマイナス1とする。
前回は1次の係数をゼロにしたが、今回はゼロ次の係数をゼロとし、1次の係数をqとすると以下のように書けるが、


yでくくれるので、y=0と、

の3次方程式に分けることができる。

ここで3次方程式に関してはカルダノの公式を用いることにすると

uの3乗とvの3乗は以下の定義となる。


ここでpというのは四次方程式におけるyの2乗の係数なのでp=-1である。
つまりこうだ

また、この三次方程式の解yが3つとも実数になる条件というのは
ルートの中身が負になって-q/2に純虚数が加減されることで
uの3乗とvの3乗が複素共役の関係となることなので、以下のように書き換える。

このルートの中身が正の数であれば3つのyすべてが実数となるので、

と整理することができる。
これを因数分解すると

このような不等式になるが、2つの積が正であるためには
2つの式両方がプラスか、2つの式両方がマイナスであればよい。
両方がマイナスになるqは存在しないため
両方がプラスになるqを計算すると

このような範囲内のqであればyがすべて実数となることがわかった。

さて、yが実数になる条件はわかったが、yは具体的にどのような値になるのか

まずはuの3乗とvの3乗の両方の3乗根を取る必要がある。

ここで、u,vの3乗を極形式にするとわかりやすいだろう。

u,vの3乗の絶対値は実部の虚部の2乗和のルートなので定数になって


また偏角は

となる。
ここでタンジェントの逆関数であるアークタンジェントの引数が2つになっているが
これは本来アークタンジェントの1つの引数の範囲が-πからπまでしかないのを
-2πから2πまでにするために引数を2つにしたものである。

すなわち、1つ目と2つ目の引数は約分が可能なので、以下のように整理することができる

つまり、u,vの3乗は

このように極形式に書き直すことができ
3乗根を取るには絶対値はそのまま3乗根、偏角は3で割ればいいだけなので

このようにすんなりと表せてしまうのだ。


そしていよいよyの値を求めるのだが
1つ目のyの値はy=u+vである。

vはuの複素共役なので

実部を取り出してこのように簡潔に表現することが可能だ。
そのうえ、オイラーの公式を用いれば実部はコサインにほかならないので

さらに簡潔に書けてしまう。


では、2つ目、3つ目の解であるy2、y3はどのようになるか


である。
このwとはなんだろう？
これは1の3乗根のうち1ではない複素数の2つのうちどちらか1つのことだ。

つまり

これのことである。
wを3乗すると1になることを確かめておくといい。
また、w*はwの複素共役のことなので、wの、虚部の符号だけが異なるものだ。
これも3乗すると1になる。

u*=vであることも踏まえてまとめると


このように綺麗に表すことができる。

これはつまり

であるともいえる。あと、4次方程式としてはy=0が4つ目の解として加わる