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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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通院1:バイト2で結構クタクタなんだけど、大学・企業ホイホイが勢いに乗ってるから
調子に乗ってブログ書きます。

汎用ローレンツ・ロドリゲスの双曲・回転公式ですが

まず行列指数関数にするために、生成子Aの固有値λを計算します。




λが2次の係数をB、0次の係数をCとおくと、固有値は
 
の4つが求まります。(複合同順でない)

B=θ^2-α^2とか置いておきたいですねーそれぞれ三角関数と双曲線関数の単位ベクトル的なやつですよ
(θx,θy,θz)=(x,y,z)/θ
(αx,αy,αz)=(a,b,c)/α

とかして、なんとかしてやりたいっす。
θx^2+θy^2+θz^2=1
αx^2+αy^2+αz^2=1とかですよもちろん

静止しているときとほぼ光速のとき
無回転のときと回転してるときとで、合ってるのか確かめたいですけどそれは明日
あと、特定の方向だけのときのローレンツとロドリゲスをそれぞれ確認ですねー

固有ベクトルのときに死ぬなーこれ



ロドリゲスだけのときは当然生成子は交代行列ですけど
ローレンツだけのときは逆に、生成子は実対称行列だけになるので
行列指数関数に入れた結果の行列は、特殊ユニタリではなく
あえていうなら「特殊エルミート」とか「特殊実対称行列」とも呼べるものになりそうですね

ガウス平面を両対数方眼紙にしてやると、等間隔に固有値が出てきそうな感じで
行列式はexp(1)*exp(-1)=1みたいな感じになるはずっす
トレースがその代わり、coshのスカラー倍みたいになるでしょうね


どうやっやっかなー

ロドリゲスのときは生成子の3乗で順繰り巡る構造してたから楽でしたけど
今回のはそうもいかないかもしれないんで
一度、ロドリゲスのほうを固有値・固有ベクトル・対角化からのアプローチから計算してみようかなと

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時間の次元だけは特別で、空間の次元たちとはちょっと違う。

上がローレンツ変換用の生成子
下が単なる回転行列のための生成子

個別で行列指数関数にいれたら、それぞれこうなる(符号はテキトー)



以下のように使うが、行列の指数関数なので、A=Bとは一般にはならない。



まさかこっち経由で、LRLベクトルによる4次元を意識することになるとは思わなかった。


それと、固有値=0が2重になるので、
2重になった1つの固有値で2つの固有ベクトルを出す過程が体験できる。
そんな簡単にジョルダン標準形は使わせないよ!的な。
まあ非常に簡単な例題にはなるんじゃないかな



上3つはもはやユニタリの生成子ですらねえ!
とは思うものの
出来上がった双曲行列とも呼ぶべき行列の行列式を計算してみると
ch^2-sh^2=1になって・・・あれ?ってなる。生成子のトレースがゼロだから、まあなるっちゃなるのか??

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特殊相対論の、ローレンツブーストを表す行列は、回転行列に似ている。

異なるのは、三角関数ではなく双曲線関数になっていることで
どちらも実数行列である。


ならば、特殊直交行列の生成子からのアナロジーで、導出できないだろうか??

特殊直交行列の生成子はエルミート行列なので、これに虚数単位を掛け算して
歪エルミート行列にしてから行列指数関数の中身にすることで
回転行列を得ている。

このときのエルミート行列は、パウリ行列やゲルマン行列などの中で、純虚数だけでできているものを選ぶ。
つまり、虚数単位を掛け算すると、歪エルミートになるというより、実数だけでできた交代行列になるわけだ。
2次行列であれば、この3つのうちから

これを選ぶ。



ならば、ローレンツブーストを行う行列は
虚数単位を掛け算すると、エルミートというより、対称行列になるような、
歪エルミート行列を選べばいいので、

たとえば2次の行列であれば、

2^2-1=3つの歪エルミート行列のうちから

これを選べばよい。

そうして、虚数単位と変数を掛け算してから、行列指数関数の中に入れると
テイラー展開と対角化を使って、以下のように、ローレンツブーストを導出できる。



この場合は2次行列なので、純粋に一次元の空間と時間を扱っているが、
4次元時空の場合は、3次元空間に1次元の時間を扱うので、4次行列となる。
そのため、ローレンツブーストの場合だけでも

以上の4^2-1=15個の生成子のうち
対角要素がすべてゼロで、なおかつ純虚数(と0)だけでできている

この6種類を、適宜使い分けることになる。
(ただし、ベクトルの1つ目ctとだけ空間次元を絡ませるため、少し減らせるかもしれない)

たとえばこんな感じだ。




また、クォータニオンではなくベクトルを用いている以上、スカラー倍、回転、平行移動も行いたいという需要があると思うので
任意軸での回転などを行いたい場合は4次元に拡張されたロドリゲスの回転双曲公式があれば使い勝手がよくなるだろう。

3次元ロドリゲスの回転公式(空間版)と、ロドリゲスの双曲公式(ctとのカップリングだけなので、何次元があればいい?)とでも呼べるものがあって組み合わせられればいいだろうか。
(平行移動を考慮に入れたい場合は、ダミー次元を1つ追加して5次行列がテンプレになるだろうか)


しかし、4次元以上になると任意軸が複数になってくるので、どうなるのか僕自身まだあまり理解していない

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このペンローズ図(シュバルツシルト解でだけは上赤(ブラックホール)下青(ホワイトホール)の事象の地平面内(亜空間?)の上か下半分が切れてるんですが)でいうと、
斜め線(各色の太線:ひし形同士が接してる辺)の事象の地平面を軸に、時間と、空間の一部が、このようにして入れ替わるのではないかと考えているのです

もちろん、空間全部が時間と入れ替わるわけではなく、極座標でいうところの「ブラックホールやホワイトホールの動径方向」と「時間」が入れ替わるのだと思いますが。

赤と青の事象の地平面内は、果たして俗にいう「亜空間」と呼んでいいものなのかどうか、よくわからないのです。


それともう1つわからないのは、アインシュタインローゼンの橋というのはこの図のどこに当たるのでしょうか
普通に考えると、我々の宇宙は黄色の四角なので、黄色と緑を結ぶのがER橋だと思いますよね。


ただ、カー解・ライスナー・ノルドシュトロム解・カー・ニューマン解では、左右ではなく上下にひし形宇宙が追加される形で拡張されて、別の宇宙への行き方が図の上下方向なんです。
じゃあER橋ってどこよ?ってなるじゃないすか

シュバルツシルト以外ではホワイトホールもいつの間にか消えますしね。なんかこう釈然としませんよね

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もしかしたら初めてうまくいったのがこれだったのかも。
前に「成功してたのに」って思ったのは、光基準のだけだったかもしれない

あとは、上の世界(ブラックホール)と下の世界(ホワイトホール)の事象の特異点から先
(上の世界の上半分と、下の世界の下半分)を削れば手順としては確立かな。
まあどうせ、ライスナー・ノルドシュトロム解にしてもカー解にしてもカー・ニューマン解にしても、(亜空間の?)消えた半分は復活するんだけどさ



追記12:22
おそらく、事象の地平面の内側で時間と距離の一部が入れ替わるのは
ペンローズ図でいう事象の地平面(線)を回転軸に、地平面内外でバタンと時間と空間の一部が織り返されるからだと思う。

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 bagging to the ミライさーん!
一度はうまくいったかに思えたpenrose図な、

どうも亜空間っぽいところの計算がうまくいかなくなった。
たぶん計算量が多くて煩雑になってるせいだとは思うから
余裕ができ次第、単純化しなおしてまた計算してみるわ。 

ああ、ここで亜空間って呼んでるのは
シュバルツシルト解の、事象の地平面の向こう側ね。
ブラックホールとホワイトホールの。図でいうところの、黄緑の世界と我々の世界との間にある上と下。

これがいまいちわからんのよな
計算もしかねるし、俗にいう「亜空間」ってのがこれのことかどうかもわからん

一時はうまく計算できたと思ったんだけどなぁ、幻じゃなかったと思うんだけどなあ


2次元だと寂しそうだったので、3次元に立ち上がらせてみました。
エンタングルメント・エントロピーはこの際関係ありません(笑)
当方まったくわかってないもん。定性的にしかネタにしようがない。

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地味に遊びが忙しくてこっちの遊びの時間がない

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ゴールド ゴール D ロジャー ペンローズ

俺の財宝か?ほしけりゃくれてやる!
探せ!この世のすべてをそこに置いてきたァー!!!!(物理)
光速基準型ペンローズ図
光速基準



 時空基準型ペンローズ図
時空基準

光基準型からなおしてみました。

光前進:p
光後退:q

のミンコフスキー時空なライトコーンなら
P=atan(p)
Q=atan(q)

で済むんですけどね

時空の場合はそうすんなりとはいかなくてですね

動径:r=p+q
時間:t=p-q



ペンローズ図になおす時は

R=atan(p)+atan(q)
T=atan(p)-atan(q)

になるんすわ。

Excelソースファイルを置いておきます。再計算させたら勝手に動きますよー


そのうち、あの世のすべてもここに置けるようになりたいです

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いまいち妄想の産物なのか、アカデミックに予想された存在なのか、わからない


そもそもワープの概念が、特に日本人にはちゃんと伝わってないみたいなんだよな。

なんでも、スタートレックをヤマトあたりに輸入した時点で齟齬が生まれたとかなんとか



ワームホールとワープは本来同じ方法じゃないんだよ。




でも、最近疑問に思ってるのは
カー・ニューマン ブラックホールにおける
CTL(閉じた時間リンク)界隈の、2重の事象の地平面の内側のあたり

あれは何空間?亜空間だったりするの?

という疑問だったりする。だとしたら亜空間がすでに2種類以上あるような?


シュバルツシルト ブラックホール以外のペンローズ・ダイヤグラムから
ホワイトホールが消失してるのもすげー気になってる。
っていうかどうして回転か電荷(純粋な論理和)持つだけで特異点が横棒から縦棒になっちゃうわけ?


それと、ペンローズダイヤグラムでの、「横のつながり」の宇宙同士
あれはどうなんの?
カー・ニューマンでも相変わらず赤の他人な宇宙なの?
アインシュタイン・ローゼンの橋ってペンローズ図のどこに描ければいいの?
ワームホールはどこを結ぶものなの?
エキゾチック物質が広げる宇宙同士の穴はどことどこ対応?縦?横?



わかんないんだよなぁ




そういえば僕は今、どこの大学関係者でもないんですけど
学外から「重力理論」を借りようとして、失敗しました^^;

意外と評判いいんなら、貸してくれてもいいじゃん!
とは思いながらも
1万円もする分厚くて重くて真っ黒な本を、タダで貸すわけないよなーとも思ったり。

最初はね、読めなくてもいいんですよ

せめてそのトチ狂った分厚さを写真に撮ってアップしてやりたいんです。
amazonとかの実物写真って、理想的すぎて2次元なんですよね。
斜めから撮った鳥瞰図的な狂気がほしいの。あの3次元に立ち上がったエンタングルメント・エントロピー的な分厚さ。
まずはそれが撮れれば満足なんだよなぁ

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ライトコーンではなくディラックコーンをペンローズ図にってできるかなあ

無限大のエネルギーと運動量に相当する「時間空間フーリエ変換したブラックホール」のようなものに相当するやつの見当がつかない

あるいは素粒子とか超ひもそのものに相当するやつか??

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なんてこった!周期関数であることを利用してあの世の描写までしてしまうとは!
これは双曲線関数にはできない芸当だ・・・三角関数じゃないと無理だ・・・!
すげー・・・

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こうじゃなくて




こうかもしれない。

というのも
ペンローズ図じゃない図で、事象の地平面が2枚見えたからだ。

そうするといよいよ、カー解との違いは
「特異点の形(点状かリング状か)」と「CTL(closed time link)の有無」だけということになる

上の宇宙3,4でもない下の宇宙1,2でもない、真ん中の4つのひし形は何を意味するのだろう?
まあもちろんBHの内部であることに異論はないだろうが
我々の宇宙と時空構造がどのように異なっているのか?


僕はテンソルや一般相対論の知識に疎いので
今はまだよくわからない。

ただ、いつまでもこのままでは、憧れのペンローズ図や、憧れのスピノルへの理解へは到達しえないだろう。早いうちに勉強を進めなくては。

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「じゃあ、そっち着いたらポーネグリフの写し、取ってきてくれる?」

「わかりました」

「お使いかっ!」

 
ロードポーネグリフ1:シュバルツシルト解のペンローズ図

 
我々の宇宙から特異点までの事象の地平面は1枚

ロードポーネグリフ2:ライスナー・ノルドシュトロム解のペンローズ図


どういうわけか、電荷のせいで横棒だった特異点が縦棒になる 。
 
 
 
ロードポーネグリフ3:カー解のペンローズ図



一方通行なりにも宇宙間を行き来できそうな雰囲気にはなるものの
負の時空領域の中の、負のCTL(closed time link:たぶんリング特異点の内側)を通らなければならない。割りと危険
我々の宇宙から特異点までの事象の地平面は2枚



ロードポーネグリフ4:カー・ニューマン解のペンローズ図


負の時空領域を避けて、正の時空領域の、正のCTL(リング特異点の外側?)を通って、別の宇宙に行ける可能性が出てくる(相変わらず一方通行)。危険性はカー解よりちょっとマシ。
 我々の宇宙から特異点までの事象の地平面は2枚


反重力みたいなやつで、アインシュタインローゼンの橋を押し広げるエキゾチック物質とかいうのがあったら往復も可能になるノニナーーー!!!!→ワームホール。
エキゾチック物質=真空(の相転移?)??インフレーションの素??

 





俺だ!ラピュタ=ラフテルはリフターのことだったらしい・・・!エル・プサイ・コングルゥ


相対論わからないなりにでも、あとできちんとした図に起こすつもりですが

不思議なことに、ネットにはシュタルツシルト解はもちろん、カー解とカー・ニューマン解のがあってライスナー・ノルドシュトロム解のが見当たらず

重力理論(通称電話帳)にはシュバルツシルト解とライスナー・ノルドシュトロム解のがあってカー解が曖昧でカー・ニューマン解のが見当たらないんです

ペンローズ図以外でならまあ多少は載ってるんですが、ペンローズ図についてはどうも排他的なんですよね。


どうしてそうなのか、前にちょっとだけ考えたことがありまして
シュバルツシルト解:質量M
カー解:質量Mと回転S
ライスナー・ノルドシュトロム解:質量Mと電荷Q
カー・ニューマン解:質量Mと回転Sと電荷Q

つまり
カー・ニューマン⊃ライスナー・ノルドシュトロム
カー・ニューマン⊃カー

かつ

ライスナー・ノルドシュトロム⊃シュバルツシルト
カー⊃シュバルツシルト

なんです。

ということは、シュバルツシルト解が一番基本で、ライスナー・ノルドシュトロム解が最上位互換なのです。

それで、途中にライスナー・ノルドシュトロム解とカー解があるのですが

ライスナー・ノルドシュトロム解よりもカー解のほうが、タイムマシンとして面白味があるんです。


ロマンじゃ飯が食えないっていうのが、あからさまに現れた結果なのではないかと思いました。

ほとんどの人が、結果だけちょうだいしてる状態なんだなぁと。


=======
じゃあ逆に、どうして「重力理論」の本にはライスナー・ノルドシュトロム解のが載っていて、カー・ニューマン解のが載っていなかったのか?

もしかしたら重力理論の出版時期と関係があったのではないか?

と思い、最初に出た時期を見てみると、なんと2011年。ええええ!?割と最近!?

と思って、調べなおしたら、日本語化前のほうは1973年なんです。

それで、カー・ニューマン解が発見された年を調べると、1965年と、本よりちょっとだけ前なんですね。ちなみにカー解の発見1963年のようです。


ということは、もしかしたら、もう著者たちがのんびりしていれば、カー解もカー・ニューマン解も、より詳細が「重力理論」の本に書けたのではないか

と思うのです。

確か、なくはないのです。カー解と、カー・ニューマンの存在そのものは。ただ、ペンローズ図がないだけで。



「世界の秘密を知りたくはないか?」
「Einstein;Gatesなど、猫に好き勝手な名前を付けている恭介」
あっ(冊子



重力理論、著者:ジョン・ホイーラーとキップ・ソーンと・・・あと誰だっけ
ワームホールの名付け両親ーーーー!!!
・・・で、3人目はチャールズ・ミズナー???マイスナーさんではないのね

似たような現象を僕は知ってる。

アインシュタイン
ポドルスキー
ローゼン

EPRの量子もつれ

ERの橋

EPR=ER

じゃあポドルスキーさん=1かっ!ってあれである


この、3人組の1人が弱い相互作用しかしない現象を
P=1現象と名付けようではないか!
P≠NP半導体問題→P≠P半導体問題
バイポーラトランジスタがユニポーラトランジスタに
ユニポーラトランジスタの半分は何て呼べばいいかわかんない状態に
ああ、世界がひっくり返る

 ノスタルジアドライブ体操.gif
なんかほかにもあったような・・・BCSだったかABCだったか、3人目はテキトーに連れてきたよー的な。なんだっけあれ?

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「じゃあ、そっち着いたらポーネグリフの写し、取ってきてくれる?」

「わかりました」

「お使いかっ!」



ロードポーネグリフ1:シュバルツシルト解のペンローズ図
ロードポーネグリフ2:カー解のペンローズ図
ロードポーネグリフ3:ライスナー・ノルドシュトロム解のペンローズ図
ロードポーネグリフ4:カー・ニューマン解のペンローズ図


俺だ!ラピュタ=ラフテルはリフターのことだったらしい・・・!エル・プサイ・コングルゥ


相対論わからないなりにでも、あとできちんとした図に起こすつもりですが

不思議なことに、ネットにはシュタルツシルト解はもちろん、カー解とカー・ニューマン解のがあってライスナー・ノルドシュトロム解のが見当たらず

重力理論(通称電話帳)にはシュバルツシルト解とライスナー・ノルドシュトロム解のがあってカー解が曖昧でカー・ニューマン解のが見当たらないんです

ペンローズ図以外でならまあ多少は載ってるんですが、ペンローズ図についてはどうも排他的なんですよね。


どうしてそうなのか、前にちょっとだけ考えたことがありまして
シュバルツシルト解:質量M
カー解:質量Mと回転S
ライスナー・ノルドシュトロム解:質量Mと電荷Q
カー・ニューマン解:質量Mと回転Sと電荷Q

つまり
カー・ニューマン⊃ライスナー・ノルドシュトロム
カー・ニューマン⊃カー

かつ

ライスナー・ノルドシュトロム⊃シュバルツシルト
カー⊃シュバルツシルト

なんです。

ということは、シュバルツシルト解が一番基本で、ライスナー・ノルドシュトロム解が最高上位互換なのです。

それで、途中にライスナー・ノルドシュトロム解とカー解があるのですが

ライスナー・ノルドシュトロム解よりもカー解のほうが、タイムマシンとして面白味があるんです。


ロマンじゃ飯が食えないっていうのが、あからさまに現れた結果なのではないかと思いました。

ほとんどの人が、結果だけちょうだいしてる状態なんだなぁと。


=======
じゃあ逆に、どうして「重力理論」の本にはライスナー・ノルドシュトロム解のが載っていて、カー・ニューマン解のが載っていなかったのか?

もしかしたら重力理論の出版時期と関係があったのではないか?

と思い、最初に出た時期を見てみると、なんと2011年。ええええ!?割と最近!?

と思って、調べなおしたら、日本語化前のほうは1973年なんです。

それで、カー・ニューマン解が発見された年を調べると、1965年と、本よりちょっとだけ前なんですね。ちなみにカー解の発見1963年のようです。


ということは、もしかしたら、もう少し年数が経っていれば、カー解もカー・ニューマン解も、より詳細が「重力理論」の本に書けたのではないか

と思うのです。

確か、なくはないのです。カー解と、カー・ニューマンの存在そのものは。ただ、ペンローズ図がないだけで。



「世界の秘密を知りたくはないか?」
「Einstein;Gatesなど、猫に好き勝手な名前を付けている恭介」
あっ(冊子



重力理論、著者:ジョン・ホイーラーとキップ・ソーンと・・・あと誰だっけ
ワームホールの名付け親ーーーー!!!
・・・で、3人目はチャールズ・ミズナー???マイスナーさんではないのね

似たような現象を僕は知ってる。

アインシュタイン
ポドルスキー
ローゼン

EPRの量子もつれ

ERの橋

EPR=ER

じゃあポドルスキーさん=1かっ!ってあれである


これをP=1現象と名付けようではないか。

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この前調べた「ペンローズ図」について、誤解していたことがあった。

極座標が前提なんだよ。だから平面が立体に立ち上がったりはしない。
しいていうなら、ミンコフスキー時空の光円錐みたいに、回転体になって円錐を形作るほうが正しいみたい。


それで、買うのはためらわれるあの通称「電話帳」の
「重力理論」の本を眺めに、本屋に行ってきた。

どういうわけか、シュバルツシルト解のペンローズ図と、ライスナー・ノルドシュトルム解のペンローズ図しか見当たらなかった。

そして、どういうわけか、それを補うように、
ネットにはカー解とカー・ニューマン解のペンローズ図(だけ?)が載っている。


僕はまだまだ、このペンローズ図についてほとんど知らないので
この図をシュバルツシルト解以外に変更することはできないみたいだ。

カー解になった時点で、どうして空間的特異点が時間的特異点になるのかもさっぱりわからない

そもそも、シュバルツシルト解での、特異点がどうしてあんな位置と形(ギザギザで書かれた横棒)をしているのかもまだ理解できないようだ。


それもそのはず、僕の知識は「特殊」相対論で止まってしまっている。
よくもまあ、シュバルツシルト解について事象の地平面前までのペンローズ図を描けたもんだと、怖いもの知らずの勢いで突っ走ったこないだの自分の行動を奇跡的にすら思える。


たぶん、あれなんだな
シュバルツシルトブラックホールってのは、平坦な宇宙の、観測可能な宇宙の果て(内側)と、ほとんど変わらないんだ。
だから、計量とか意識しなくてもペンローズ図が描けるんだと思う。




それで、疑問なんだけど、この図の青の右半分が、左半分とまったく同一で、ただ回転させたものなのだとしたら
青の左同様、右側にもブラックホールとホワイトホールが必要になるはずだよな?

きっと、描けないから描かなかったんだろう。連ドラみたく無数の数珠つなぎになってしまうだろうし



結局、その場で見比べられてないから
ライスナー・ノルドシュトルム解とカー・ニューマン解のペンローズ図の違いについて、詳しいことは書けないし、覚えてもいない。
まじで今度、本屋にメモ帳持っていこうかとか思ってる。

1万円だぞ。買えるか!

書店の店員さんには見かけの迷惑はかけたくないから
ちょっと頭のおかしな挙動になるけど
何度か駐車場と「重力理論」棚を往復することになると思う。

「ライスナーノルドシュトルム ペンローズ」でも「ライスナー・ノルドシュトルム ペンローズ」でも、ググるとなぜか僕のブログの画像ばっかり出てくる。まったく関係なくてほんと申し訳ない。

と思ったら僕の覚え間違えじゃねーか!
ノルドシュト「ル」ムじゃなくてノルドシュト「ロ」ムかよ!ふざけんなまじで!


でもやっぱり僕のブログの図ばっかり出てくる。申し訳ない
そんなに、回転してないブラックホールに興味ないのか!電荷だけとかそんなにどうでもいいのか!

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プロフィール
HN:
量子きのこ
年齢:
36
性別:
男性
誕生日:
1981/04/04
職業:
WinDOS.N臣T
趣味:
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介:
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます
例:H→7番目、XP→15(P)×26+23(X)=413番目。
A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいズコー
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