特殊直交行列からアナロジる、ローレンツブースト

特殊相対論の、ローレンツブーストを表す行列は、回転行列に似ている。

異なるのは、三角関数ではなく双曲線関数になっていることで
どちらも実数行列である。


ならば、特殊直交行列の生成子からのアナロジーで、導出できないだろうか？？

特殊直交行列の生成子はエルミート行列なので、これに虚数単位を掛け算して
歪エルミート行列にしてから行列指数関数の中身にすることで
回転行列を得ている。

このときのエルミート行列は、パウリ行列やゲルマン行列などの中で、純虚数だけでできているものを選ぶ。
つまり、虚数単位を掛け算すると、歪エルミートになるというより、実数だけでできた交代行列になるわけだ。
2次行列であれば、この3つのうちから

これを選ぶ。



ならば、ローレンツブーストを行う行列は
虚数単位を掛け算すると、エルミートというより、対称行列になるような、
歪エルミート行列を選べばいいので、

たとえば2次の行列であれば、

2^2-1=3つの歪エルミート行列のうちから

これを選べばよい。

そうして、虚数単位と変数を掛け算してから、行列指数関数の中に入れると
テイラー展開と対角化を使って、以下のように、ローレンツブーストを導出できる。



この場合は2次行列なので、純粋に一次元の空間と時間を扱っているが、
4次元時空の場合は、3次元空間に1次元の時間を扱うので、4次行列となる。
そのため、ローレンツブーストの場合だけでも

以上の4^2-1=15個の生成子のうち
対角要素がすべてゼロで、なおかつ純虚数(と0)だけでできている

この6種類を、適宜使い分けることになる。
(ただし、ベクトルの1つ目ctとだけ空間次元を絡ませるため、少し減らせるかもしれない)

たとえばこんな感じだ。




また、クォータニオンではなくベクトルを用いている以上、スカラー倍、回転、平行移動も行いたいという需要があると思うので
任意軸での回転などを行いたい場合は4次元に拡張されたロドリゲスの回転双曲公式があれば使い勝手がよくなるだろう。

3次元ロドリゲスの回転公式(空間版)と、ロドリゲスの双曲公式(ctとのカップリングだけなので、何次元があればいい？)とでも呼べるものがあって組み合わせられればいいだろうか。
(平行移動を考慮に入れたい場合は、ダミー次元を1つ追加して5次行列がテンプレになるだろうか)


しかし、4次元以上になると任意軸が複数になってくるので、どうなるのか僕自身まだあまり理解していない