ローレンツ・ロドリゲスの生成子の固有値

通院１：バイト２で結構クタクタなんだけど、大学・企業ホイホイが勢いに乗ってるから
調子に乗ってブログ書きます。

汎用ローレンツ・ロドリゲスの双曲・回転公式ですが

まず行列指数関数にするために、生成子Aの固有値λを計算します。




λが2次の係数をB、0次の係数をCとおくと、固有値は
 
の4つが求まります。(複合同順でない)

B=θ^2-α^2とか置いておきたいですねーそれぞれ三角関数と双曲線関数の単位ベクトル的なやつですよ
(θx,θy,θz)=(x,y,z)/θ
(αx,αy,αz)=(a,b,c)/α

とかして、なんとかしてやりたいっす。
θx^2+θy^2+θz^2=1
αx^2+αy^2+αz^2=1とかですよもちろん

静止しているときとほぼ光速のとき
無回転のときと回転してるときとで、合ってるのか確かめたいですけどそれは明日
あと、特定の方向だけのときのローレンツとロドリゲスをそれぞれ確認ですねー

固有ベクトルのときに死ぬなーこれ



ロドリゲスだけのときは当然生成子は交代行列ですけど
ローレンツだけのときは逆に、生成子は実対称行列だけになるので
行列指数関数に入れた結果の行列は、特殊ユニタリではなく
あえていうなら「特殊エルミート」とか「特殊実対称行列」とも呼べるものになりそうですね

ガウス平面を両対数方眼紙にしてやると、等間隔に固有値が出てきそうな感じで
行列式はexp(1)*exp(-1)=1みたいな感じになるはずっす
トレースがその代わり、coshのスカラー倍みたいになるでしょうね


どうやっやっかなー

ロドリゲスのときは生成子の3乗で順繰り巡る構造してたから楽でしたけど
今回のはそうもいかないかもしれないんで
一度、ロドリゲスのほうを固有値・固有ベクトル・対角化からのアプローチから計算してみようかなと