粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式2

前回、粘性抵抗と慣性抵抗両方を受ける落下運動について運動方程式を解いた。

以下のような結果になったが
 


G=m/c2、B=c1/c2、A=mg/c2

このようにB,A,G,Dを定義したことを踏まえて、元の格好に戻すと

 

このような姿になる。

ここで、c1やc2をそれぞれゼロとしたとき、

元の微分方程式の解と一致しているかどうかを確かめてみよう。

c1≠0、c2=0の場合は

 

となり、

運動方程式

 

の解と一致しているはずだ。

早速解いてみると

 

 

 

 

初期条件としてt=0でv=0を与えると任意の定数G2=-mg/c1となるので

 

 

 

一方、 こちらはcothの中身を展開し

大きい分母の分母分子にexp(+)-exp(-)をかけると


となって見事一致する。

ちなみに、終端速度もちゃんと一致していることを確かめておこう。

t→∞でのvはv→mg/c1に収束するが

これは実は、元の運動方程式

mv'=mg-c1vのv'=0の条件で解けば、微分方程式ではなくただの代数方程式として
0=mg-c1v
c1v=mg
v=mg/c1

と、簡単に解けてしまう。