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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
[1] [2] [3] [4]
忙しいので、今日はこれでお茶を濁しまっす!

備忘録:データを書き変えるのが面倒なので、代わりにカメラワークをいじれば、目的の作品に効率よく近づけそうな気がする。
縦とか奥とか

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さきほどの続きです。
絶対値、位相ともにフィッティングが無事終わりました。


もう気づいている方がいるかもしれませんが、実はですね、数値解と解析解の比較のために、波動関数の代表値を決める必要は特にないんですよ。
初めてか久々で、手探りで計算しているからこそ、絶対値と位相差を別々に解析していたのですが
もし仮に、何度も同じ計算をやっていて、ものすごく自信があるのでしたら(それ研究なのか?)
数値解・解析解の波動関数が、向きや大きさは別として、同じ形をしている(相似形)のは明らかなので

もういっそのこと、複素数のまま
解析解/数値解のデータをX=imdiv(解析解,数値解)なんかで取ってしまって
Xがほとんど同じ値の複素数であることを確認したら、そのXの平均値を数値解の複素数に掛け算してやれば、絶対値・位相差ともいっぺんにフィッティングができてしまうのです。


上のような計算をしています。
下にずっと長く続くのですが、Ψ解析/Ψ数値では、
波動関数の解析解を、波動関数の数値解で、複素数のまま割り算をしています。
そうすると、だいたい同じ値の複素数になることが期待できるので、平均値を取ります。
複素数の平均値なので、関数が用意されていませんでした。
平均値=imsum(比)/counta(比)
で計算しました。文字列扱いになるので、カウントするのにcount関数ではだめで、数値以外もカウントするcounta関数が必要となります。

また、分散も計算しました。
|平均値-サンプル値|^2 (平均値に絶対参照)
をやったので、分散の値は実数です。
それから、分散について
sqrt(sum(分散)/(count(分散)-1)) (countaじゃなくていい)
を行い、標準偏差を出してみました。もちろん標準偏差も、今回の定義では実数になります。

もし、2018年4月25日のブログ

の、この図の下から2番目をΨ1={1-i(E-U)dx}Ψ0ではなくΨ1={1+i(E-U)dx}Ψ0
とやってしまって、逆巻きになっていたとしたら、標準偏差の値が大きくなるので、間違いに気が付きやすいです。

この代表の平均値を、フィッティング前の数値解に掛け算して、フィッティングを済ませています。

もし、分散や標準偏差を実数で定義するのでしたら
平均値=平均値実部+i平均値虚部
なので、

平均値実部±|標準偏差実部|+i(平均値虚部±|標準偏差虚部|)
相対誤差=標準偏差/平均値=|相対誤差実部|+i|相対誤差虚部|

のようになるのでしょうか。
でも、平均値/平均値の実部と虚部が1とゼロというなんか変な格差を生んでしまって気持ち悪いですね

そもそも複素数の誤差の理論が今のところ存在しないのでなんとも言えません。
量子力学からの要請で、少しは需要が出たりするでしょうか。(でも実験結果は実数しかないからなあ)

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日が空いてしまいました。25日のブログの続きです。


トンネル効果の数値解と解析解、振幅はフィッティングできたのですが、
位相がまだ合っていませんでした。
そこで、トンネルの出口における解析解と数値解の位相差を利用して、位相のフィッティングを行いましょう。
というのが前回のラストでしたね。

前回同様、トンネル出口のbの値は14未満に設定しているので
とりあえずx=20での位相を比較してみます。


複素数で算出された解に対して
x=20における
位相差=imargument(解析)-imargument(数値)
を計算し、位相フィッティング前(絶対値フィッティング直後)の数値解(複素数)にexp(i位相差)を掛け算してみることにしましょう

だいたい合うようになったかと思います


つづく

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前回の続きです


数値解が求まりました。しかし大きさが定まっていません。

あらすじおわり。

透過波の絶対値が距離に依存しないんだから、そこの解析解との比を使おう。

今のところ、トンネルの出口の位置bは14未満になるようにしているので
とりあえずxが20~150の間の絶対値の、数値解と解析解との比の平均値を使って、合わせてみましょう。


解析解のデータを並べ


比を取って


20≦x≦150の間で比の平均値を取り、数値解に掛け算しますと



ちょっとずれますが、だいたい合ってますよね


しかし、実部と虚部で見るように、振幅は合っているのですが、位相がまだ合っていません。

そこで、波動関数の実部を横軸、虚部を縦軸にした、以下のような図を用いて解析することにします。



電気や制御工学でいう、伝達関数のボード線図が波動関数の絶対値に相当するなら
波動関数の位相からのアプローチは、ナイキスト線図やニコルス線図に相当するような感じでしょうか


とりあえず、トンネルから出たところの波動関数の位相を揃えたほうがよさそうな気はしますね



つづく

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トンネル効果では、解析解より数値解のほうが簡単に取り扱えます。

微分方程式
Ψ''+(E-U)Ψ=0

について解くだけです。
ここで、数値解を求める際に、微分を差分に直しておきましょう。

1階微分
と表現できるため、それをさらにxで微分したものは


と、表現できます。

そうすると、微分方程式は差分方程式

となり
Ψ(n+1)の式

のような数列の漸化式に書き変えることができます。

ここで大事になってくるのが、初期値(境界値)です。

僕が知らないだけかもしれませんが、波動方程式の数値解では、進行波と後退波を分けて計算することができないようです。

そこで、僕の場合は、あらかじめ進行波しかないと解析解でわかっていた透過波のほうから計算してみました。

いうなれば、


ではなく

これを計算したわけです。どこが違うのかおわかりでしょうか。
Ψの添え字n+1とn-1が逆転しているわけです。

ここで透過波は進行波しかないため、自由粒子のように、波動関数の絶対値の2乗が常に一定になることが条件となります。

この条件を満たす初期値というのがありまして
4月19日の日記を参考にします。
Ψ0を一番端、Ψ1を端から2番目の波動関数として

Ψ1/Ψ0=1±i(E-U)dx

一番端のΨはなんでもいいのですが、(E-U)Δx^2に条件が加わり、2番目のΨがなんでもいいわけではなくなるのです。
そうしないと楕円偏光や直線偏光のようになって、波動関数の絶対値の2乗が安定してくれないのです。


実際の計算を見てみましょう

xの行数が多すぎるので、中略して表示しました。
Uが全部ゼロのように見えるのですが
中間のxに、U0の値を逐次入れてます。

一番下のΨ数値はとりあえず1として
下から2番目は
Ψ1={1±i(E-U)dx}Ψ0

を当てはめています。

波動関数の値が複素数に広がっているため、複素数アドインを用いています。
四則演算も関数として記述されるので、最初は慣れないかと思います

COMPLEX(Ψ0,-(E-U)*dx) (dxとEに絶対参照を忘れずに)

このように書いています。

COMPLEX(Ψ0,(E-U)*dx)

なぜこれではいけないのでしょうか?
(E-U)の符号が反転しています。絶対値が安定するためには、どちらでもいいはずです。

しかし、解析解のほうをexp(ikx)としているので、それに合わせないといけないわけです。
後ろから逆算しているので、螺旋を逆に巻いているのです。

下から3番目以降(以上)では

を用いています。

複素数アドインの関数で書くと

IMSUB(IMPRODUCT(IMSUB(2,(E-U)*(dx^2)),Ψ(n)),Ψ(n+1))
(Eとdxの絶対参照を忘れずに)


計算していくと、波動関数の絶対値|Ψ|は、このようになります。

ちゃんと透過波が安定しているのを確認できますが、透過波だけが安定しすぎていて
全体の大きさが定まっていませんね。

実は、トンネル効果では、解析解でも規格化ができないとされています。
なので仕方なく、トンネルに入る前の進行波を基準にしたりするのですが
先述した通り、数値解では進行波と後退波を区別して計算することができません。
それで透過波を基準に計算を始めたわけですが
本来ならこの図では、透過波が大きくなったり小さくなったりするはずなのに、
まるで透過波を基準に、入射波や反射波などが大きくなったり小さくなったりしています。
次回は、解析解を使って数値解をフィッティングする方法を書きます。

つづく

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係数が出たので、この係数を波動関数Ψにまとめていきます。

と、その前に、kとk1が、それぞれ
 (U0はxが0からbまでの間のトンネル障壁の高さです)
なので、これを当てはめていきますが、律儀にプランク定数や電子の質量、電子の電荷(エレクトロンボルトのジュール換算)などを当てはめていかなくても大丈夫です。

というより、双曲線関数の中身にそんな桁数の数値を入れたら、途中で破たんしてしまうかもしれないので、kbやk1bの掛け算として、三角関数や双曲線関数、指数関数などに入る場合に適度な大きさの数値になるように、調整します。
物理定数は無視してすべて1にし、
k=sqrt(E)、k1=sqrt(U0-E)としています。

このくらいの数値群であれば問題ありません

なお、この段階ではまだ解析解が、E>U0に対応していないので、こうならないような条件で変移させます。

そうして得られた係数と、そこまでの途中計算が、以下のようになります。  

Excelでの複素数計算は、結果が文字列扱いになるので多少見栄えが悪いです。
たとえばk1+ikだったらcomplex(k1,k)のように、
k1-ikだったらcomplex(k1,-k)のように打ち込みまして

分母のように複雑な数式になる場合は
実部と虚部を実数としてあらかじめ計算しておいてから、分母=complex(実部,虚部)などとすればいいかと思います。
また、B,C,D,Fは先に分子を計算しておくとよいでしょう。
B分子=COMPLEX(0,-(k1^2+k^2)*SINH(k1*b))
C分子=IMPRODUCT((k1+ik),k*EXP(-k1*b))
D分子=IMPRODUCT((k1-ik),k*EXP(k1*b))
F分子=IMPRODUCT(exp(-ikb),2*k*k1)
を計算しますが
exp(-ikb)もあらかじめ、IMEXP(COMPLEX(0,-k*b))

として計算しておけばよいでしょう。
検算用に、imabs(B)^2+imabs(F)^2=1となるのを確認してみるといいでしょう。
極限で自由粒子や、完全反射なども検算のネタになるかと思いますので
U0>>Eにしたり、b=0にしてみたりするのもアリです
bを大きくして、透過波がほぼゼロになるのを確認するのもいいですね。

そうしてから、B,C,D,Fそれぞれを、imdiv(B,C,D,F分子,分母)といった風に計算するとミスも減るかと思います。

そのようにして得たB,C,D,Fを、いよいよ波動関数として実装させます。

exp(ikx)では、imexp(complex(0,kx))といった計算をやっています。
隣の列の、Bexp(-ikx)ではimproduct(B,imexp(complex(0,-kx)))といった計算を行っています。
ここで、Bとkに絶対参照を施すのを忘れずに

Cexpk1xのC以外は実数なので
improduct(C,exp(k1*x)) (Cとk1に絶対参照)
とやっていて、imexpの代わりに実数のみのexpを用いて、計算を簡略化してます
Dexp(-k1x)も同様にimproduct(D,exp(-k1*x))とやっています。

Fexp(ikx)=improduct(F,imexp(complex(0,k*x)))です。

Ψ1=imsum(1列目,Bの列)
Ψ2=imsum(Cの列,Dの列)
Ψ3=Fの列

とやっています。
x=0でΨ1=Ψ2
x=bでΨ2=Ψ3となっていることを確認して

ΨではIF(x<0,Ψ1,IF(x<b,Ψ2,Ψ3))
とやっています。(bの絶対参照)


これで、解析解を得ることができました。
横軸がxで縦軸がReΨとImΨのグラフを描いて確認すると、ちゃんと連続性が保たれていることがわかるかと思います。

実部・虚部ともに、0階微分も1階微分も連続になっていますね。
ちなみに、文字列として出力された複素数の実部と虚部を取りだすには
imreal(複素数)とimaginary(複素数)を用います。

この一連の複素数用の関数群は、アドオンで追加できるんだったかと思います
ユーザー定義関数で作っているわけではありません。



つづく

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まず訂正があります。
Fの分子に2ikk1と書いてありますが、正しくは2kk1でした。


それでですね、入社粒子のエネルギーがポテンシャルの高さよりも高かった場合の解析解なんですけどね
思い出したんですよ。
k1をik1に置き換えて最初の行列方程式から計算することなくて

この結果のk1をik1に置き換えるだけでよかったんです。

昨日はびっくりドンキーで、散々計算してました。
無駄時間を過ごした気分ですが、とても居心地がよかったのでまんざらでもありませんでした。^^




正しくはこういうことなんですが、
ここで、k1をik1に置き換えてみますと、以下のようになります。

よく見ると、双曲線関数が全部三角関数に置き換えられていることが分かるかと思います。
こうすることでk1<kの状態にも拡張することができるようになりましたので
ようやくk1→0の極限を計算することができます。

しかし、k1=0にすると、分母がゼロになってしまうため
不要な項を消して整理してから、分母分子をk1で割ってみましょう。
するとこのようになります。

ここで、sink1b/k1のk1をゼロにしてしまうと、一見不定のように見えるのですが
これはsinc関数と言ってsincx=sinx/xのx→0で、sincx=1になることが知られています。

ためしにロピタルの定理を使ってみるとわかるかと思います。



結果、以下のようになります

昨日もびっくりドンキーの中で計算していて、奇妙に思っていたのですが
この式が自由粒子の解になるにはk1=0(k1<<k)の条件だけではなく
2>>kbの条件も必要なようで
そうすると晴れて

反射波0、透過波1の自由粒子の解が得られるようです。

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x軸←→f軸

ボード線図
ナイキスト線図
ニコルス線図



同じことヘキサボナッチ数列でもやりました。反省してまーすwww

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大変充実した時間を過ごさせてもらいました!
時間感覚ぐっちゃぐちゃです!!


pixivのほうにも上げたので、一時停止して見たかったりしたらそちらで。
こっちは昔からDL用です。まあ、ほしいという方がいればですが^^;

やけに一日が長いなと思ったらこういう充実したことをやっているからですよ!
じゃあこういうことやってない日は何やってるってたいていは寝てますよ!
そんなに体力ないもん!年齢からくるものだもん!
それじゃなかったらこんな楽しい時間が長く続いて、一日が短くなくて逆に長くなったりするわけないじゃん!(血涙)

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拡大縮小だろうが回転だろうが、一括で複素数割る複素数でやってしまって、
その算出された複素数の平均値を取り、
ボード線図やナイキスト線図の代わりとする。
自信があればな!!!


誤差の理論を複素数に拡張したい需要なんてほとんどないだろうけど
あるとしたら、平均値は複素数で、標準偏差や残差なんかは実数なんじゃないかとふと思った
まあ、Excelには案の定imaverageないんですけどね
IMSUM(A1:A100)がちゃんと動いてよかった

|平均値-サンプル値|^2を全部足す。これは実数でいい。たぶん





Ψ:算出した波動関数
An=imdiv(Ψ解析(複素数),Ψ数値(複素数))
こいつらを
avg=imsum(An)/counta(An)


Bn=abs(imsub(avg,An))^2

sqrt(sum(Bn))/count(Bn)とかそんなんで標準偏差を求める
(この式は二乗和平均だから少し間違ってる)

どうも順向き螺旋よりも逆向き螺旋の標準偏差?のほうが大きく出せたっぽい

まだテスト

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昨日、トンネル効果の壁の幅や高さについていろんな極限を取ったのはですね
久々の計算だったので、検算のかたわら、というのがあったんですよ。

壁がない状態にして自由粒子状態にしたり
右側しかない井戸型ポテンシャルみたいにしたりして
定性的に納得できるところまで落とし込んでみたんです。

もちろん、その中には、透過波+反射波=1というのも常に含まれます。


複素行列の計算なので
Excelでできなくはないのですが大変ですし
scilabは使ってました。
(Excelにある複素数と行列は、複素行列として合体できる仕様にはなっていないのです)


MATLABに似たコマンドたちがうごめく、あの数値計算に特化したプログラミング言語?です
ただし現在のMATLABとは違ってscilabはフリーです。
また、MATLABとは似てるんですが、互換性はないといわれているそうです。
あと、有志のみなさんが作ったものなので、バグや冗長性がまだ潜んでいることがあるようです。
まあフリーツールなので大目に見てね、みんな自由に生きているって感じですね。



さて、scilabの画面を見ると、閉じていないので、一見、プログラミング言語のように見えないかもしれません。

しかし、SCINOTESという、閉じたファイルにすることもでき
そういう見方をすればだんだんプログラミング言語っぽく見えてくるかもしれません。

ただし、実行ファイルが作られるわけではありません。
(作ったファイルからデータを出したり入れたりすることはできそうな気はします)



この式はscilabで、kやk1、aやbに適当な数値を入れて検算しました。



==========
k=2,k1=4,a=2,b=5
a11=exp(-%i*k*a)
a21=-%i*k*exp(-%i*k*a)
a31=0
a41=0
a12=-exp(k1*a)
a22=-k1*exp(k1*a)
a32=exp(k1*b)
a42=k1*exp(k1*b)
a13=-exp(-k1*a)
a23=k1*exp(-k1*a)
a33=exp(-k1*b)
a43=-k1*exp(-k1*b)
a14=0
a24=0
a34=-exp(%i*k*b)
a44=-%i*k*exp(%i*k*b)
a15=-exp(%i*k*a)
a25=-%i*k*exp(%i*k*a)
a35=0
a45=0
a1=[a11;a21;a31;a41]
a2=[a12;a22;a32;a42]
a3=[a13;a23;a33;a43]
a4=[a14;a24;a34;a44]
a5=[a15;a25;a35;a45]
B=det([a5,a2,a3,a4])
C=det([a1,a5,a3,a4])
D=det([a1,a2,a5,a4])
F=det([a1,a2,a3,a5])
G=det([a1,a2,a3,a4])
===========
このように、scinotesに書いてます。

横ではなく、縦に並べているのも、可視化のためで

上2行のexpにはa、下2行のexpにはb
奇数行目の次元は無次元、偶数行目の次元は波束kの次元

1列目と4列目と5列目にはexpにkが、
2列目と3列目にはexpにk1が入り

2行目、4行目、5行目のexpの中身はプラス
1行目、3行目のexpの中身はマイナス

2,3列目の係数は4つのうち2つがプラスでもう半分がマイナス

という対称性みたいのを割りとあてにしてました。

B,C,D,Fは列ベクトルとして
[a1,a2,a3,a4]の逆行列をa5の列ベクトルに左から掛け算すればそれはそれで計算結果は出るのですが
解析計算での4次行列の逆行列は面倒で

クラメルの公式を使っていたため分子と分母それぞれで確かめておきたく
scilabでもそのようにしてました。
{()^(-1)(B;C;D;F)にdet([a1,a2,a3,a4])を掛け算するという方法もありっちゃありでしたけどね}
そのために、一旦列ベクトルとして縦に並べてから、その列ベクトルを
[a1,a2,a3,a4]などとあとから横に並べて行列にするネスト形式を取っていました。
(横から縦、ではなく縦から横にボトムアップした)

C=det([a1,a5,a3,a4])
G=det([a1,a2,a3,a4])
C=C/G
のようなことが簡単に行えますからね。


この段階で、解析計算とscilabの結果が無矛盾となっても、
前提がそもそも間違っている可能性が否定できなかったので、
ちゃんと波動関数としてつながるのを確認するまで、掲載は控えていました。

それでトンネル障壁の極限を取りつつ、楽なほうから検算を行っていたのです。

また、k=2、k1=4、a=2、b=5などというパラメータも、決して褒められたものではなく
大きな数値が出てしまうため丸め誤差などが気になっていました。
exp(+)とexp(-)を加減算するわけですからね、一見合っているように見えても
微妙に間違っているかもしれません



つづく

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昨日はここまでやりました。


ここで、b=0の極限でどうなるのか試してみますと
B=0、F=1という、自由粒子の解が出てきます。


では逆に、b→∞の極限ではどうなるでしょうか。
そのために、分母分子をcosh(ハイパボリックコサイン)で割ってみましょう。
そうすると以下のようになります。

その上で、b→∞にもっていきますと、tanh(ハイパボリックタンジェント)が1になり
ハイパボリックコセカント(cosech)はゼロになります。
が、Dについてはexp(k1b)との掛け算があるので油断は禁物です。

検証していきますと、以下のようにちゃんと有限の値に収束することがわかりました。


ですので、

こうなります。
|B|^2=1になることはよかったら各自計算してみてください。
反射波がまったくなくなっていますね。
ただ、障壁の高さが有限なので、少しだけ壁の中に波動関数がしみ込んでいるのがわかるかと思います。

いわば、右半分だけの有限深さ井戸型ポテンシャルというわけです。


では、このトンネル障壁の高さを無限にしたら、ちゃんとしみ込まないようになるのでしょうか

k1→∞の極限を取りたいので、分母分子をk1の2乗で割ります。

このようにしてからk1→∞の極限をとると

このように、逆位相の反射波だけが生き残ることがわかるかと思います。


実は、bが有限のまま、k1→∞の極限でも同じ結果になります。


この状態から、k1の2乗で分母分子を割ってみましょう。

ここでk1→∞にすると
またしてもDが怪しいですが、先ほどと同じ計算で、expとcosecの掛け算は2に収束してくれるので
B=-1以外全部ゼロになり
bが有限でも無限でも関係なく

の結果になることがわかります。


つまり領域ⅡにもⅢにも波動関数はないのですが
領域Ⅰには波動関数があり

Ψ1=exp(ikx)+Bexp(-ikx)
のB=-1なので
Ψ1=exp(ikx)-exp(-ikx)=2isin(kx)
ということになります。

虚部に関しては、固定端反射の「節」と同じ結果になり
実部に関してはゼロなので、固定端反射の「節」でありながら自由端反射の「腹」でもある、という、なんとなーくだけどもコーシー条件っぽさが残る結果になりました

つづく




追記

トンネル障壁の高さをゼロにした極限は、今の状態のままだと実は解けなくて
粒子のエネルギーが障壁よりも高い状態にも拡張した式を構築する必要があるため
また今度ということで^^;
領域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲともに指数関数の中身が実数ではなく純虚数になりますからねえ・・・
数値計算だと、井戸型ポテンシャルでもやったんですが、あふれ出る貞子たんのように汎用性高いんですけどねえ

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昨日のブログ末尾に「つづく」と書いたな?あれは嘘だ。

「量子きのこのトンネル」改めて配信決定!

先日な「トンネル効果 数式」で画像検索かけたんよ。そしたらエゴサになってしまって
当時の自分に愕然としたんだよ。
2015年3月8日のブログだ。

トンネルの入り口をx=0としてやがる!!!!
つまりx=bって値だけが必要で、x=aなんていらんかったんや!!!
自分のセンスの劣化にorzしたわ


頭にきたので、解析計算のaを0に置き換えるだけで飽き足らず、
たーのしー行列式の掃き出し法からやり直したんだよ!

聞いてください。トンネル効果。

まず連立方程式はこうなる


それから分母はこうなった!





B(ack)の分子はこうなった!!!






F(orward)の分子はこうなった!



以上あらすじおわり!


CとDを出そう。
Cは「2行目」なので、「2列目」を置き変える。

②←②+ik①







Dは「3行目」なので、「3列目」を置き変える。

②←②+ik①





まとめるとこうなります。


2を約分して

さらにiを約分して


exp(ikb)でも約分できることがわかったので

ユーリカするともっと綺麗になりそうですね!

以上です。つづく

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とりあえず無矛盾なだけでなく、波動関数もちゃんとつながって大丈夫そうなので、掲載します。


x=aからx=bまで、ポテンシャルU=U0で、そのほかはU=0のトンネル障壁があったとして
そこにE<U0のエネルギーでやってくる自由粒子のトンネル効果の反射と侵入と透過について書きます。


波動関数Ψは、x<aをⅠ、a<x<bをⅡ、b<xをⅢとして
Ψ1とΨ2とΨ3に分けることができます。

このΨ1とΨ2が、x=aでΨの0階と1階微分両方が連続
また
Ψ2とΨ3もx=bでΨの0階と1階微分両方が連続

というコーシー境界条件を満たしている必要があるそうなので

この条件を解きます。

領域ⅠではE>Uなので、Ψ''+Ψ=0の形の微分方程式を解くことになります。

Ψ1=Aexp(ikx)+Bexp(-ikx)

です。

領域ⅡではE<Uなので、Ψ''-Ψ=0の形となるので、指数の肩は純虚数ではなく実数となり
Ψ2=Cexp(k1x)+Dexp(-k1x)

です。
ここでAとCは進行波、BとDは反射波を意味しています。

領域Ⅲでは反射を考慮する必要がないため、進行波

Ψ3=Fexp(ikx)

のみの自由粒子となります。

x=aにおいて

0階微分
Ψ1(a)=Aexp(ika)+Bexp(-ika)=Cexp(k1a)+Dexp(-k1a)=Ψ2(a)

と、1階微分
Ψ'1(a)=ikAexp(ika)-ikBexp(-ika)=k1Cexp(k1a)-k1Dexp(-k1a)=Ψ'2(a)

が成り立っていなければなりませんし

x=bにおいても

0階微分
Ψ2(b)=Cexp(k1b)+Dexp(-k1b)=Fexp(ikb)=Ψ3(b)

と、1階微分
Ψ'2(b)=k1Cexp(k1b)-k1Dexp(-k1b)=ikFexp(ikb)=Ψ'3(b)

が成り立っていなければいけません。


4本の式に対して、A、B、C、D、Fの5つの変数になってしまいました。
そこで、4本の式全部をAで割り算し
B/Aを新しいB
C/Aを新しいC
D/Aを新しいD
F/Aを新しいFと定義しましょう

そうすると、以下のような連立方程式もとい行列方程式が成り立ちます。


この左辺の4行4列の行列の逆行列を、両辺に左から掛け算すれば、ただちにB、C、D、Fは求まるのですが
解析的な計算だと大変なので、クラメルの公式を使いましょう。

まず、4変数に共通する分母を求めます。

先ほど左から逆行列を掛け算しようとした行列の行列式そのものなので

こうなります。
2行1列目を消せば、掃き出し法がつかえそうなので、
2行目に、ikを掛け算した1行目を足して、2行目に代入しましょう。

②←②+ik①



そうするとこうなるので、
今度は3行3列目を消したら掃き出し法がつかえそうです。
なので、3行目から、ikを掛け算した2行目を引いて、3行目に代入しましょう。

③←③-ik②



そうすると結局、分母はこのようになります。
分母=exp{ik(b-a)}[2(k^2-k1^2)sinh{k1(b-a)}+4ikk1cosh{k1(b-a)}]



それでは次はBの分子を求めます。
Bは「1行目」なので、4行4列の「1列目」を、右辺の縦ベクトルと置き換えると、求めることができます。


先ほどの分母同様、
②←②ik①
をしたあと、
③←③+ik②
をしていき


B→2exp{ik(a+b)}(k1^2+k^2)sinh{k1(b-a)}

を得ます。


次に、諸事情でFから計算していきましょう。

Fは「4行目」なので4行4列の「4列目」を置き換えます。



F→4ikk1
となりました。

実はこのBとF、ただ順番に文字を当てはめて、エネルギーであるEを抜かしただけなのですが
偶然にもBack(反射波)とForward(透過波)というダジャレになっておりまして

反射波の絶対値の2乗と透過波の絶対値の2乗を足すと、必ず1になるので、検算に向いているのです。
入射した波は反射するか透過するかどちらかしかないからです。

|B|^2+|F|^2=1


なので、分子は

exp(iなんちゃら)は無視して


分母もexp(iなんちゃら)は無視して、
せっかく分けた実部と虚部の2乗同士を足しましょう



この、上から下を引いてゼロになっていればいいわけですから
k1^2とk^2をそれぞれX、Y
双曲線関数の中身は全部同じなので、chとshに略記しますと

これの上から下を引きますと、第1項がまず消えます。


残りがこうなるので、4で割ってしまいますと

ch^2-1-sh^2

となります。これは、双曲線関数バージョンのオイラーの公式がありまして
ch^2-sh^2=1

となっているので、恒等的にゼロだとわかりました。

つまり、|B|^2+|F|^2=1が証明されました。


つづく

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トンネル効果の条件として、トンネル障壁の高さをゼロにするのはめんどくさいので
幅をゼロの極限に取ったら、自由粒子と同じ結果になることがわかりました。


じゃあ逆に、幅を無限大の極限に取ってみたらどうだろう?

と思ったんですが、これはどうも、普通にトンネル効果を解いてから極限を取った方が楽かもしれません。
久々に解いているので、手計算ミスが多く、今の状態では検算のための極限としてはどうも使えないみたいです


しかし十分に興味深いとは思います。
深さが有限なのか無限なのかはおいといて
井戸型ポテンシャルの左半分の絶壁<まな板>がごっそり消えているので
左側は少なくとも束縛されておらず
実数にされる必要もないかもしれない。複素数の螺旋を描かせてもらえるかもしれない
そんな状態で、右側の絶壁<かなりまな板だよこれ!>ではディリクレとノイマンの両方である
コーシー境界条件を課せられるわけで(無限深さだったらコーシーじゃないかも)
これって古典で言うところの反射じゃないですか完全に。

しかもそれが粒子としてではなく波動として描かれるわけだから
自由端になるのか固定端になるのか、とても興味があるんです

ポテンシャルの深さ次第でロビン境界条件に・・・いや違うか・・・




ところで、そんなことを考えながら運転していたら
「観測とはなにか」というテーマを思い出しまして
「観測された瞬間、井戸型ポテンシャルに入るのではないか」
という解釈が生まれましたが、まあこんな発想どこにでも落ちてますよね

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