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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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まず、xが0以上a以下でゼロ、それ以外では無限大の、1次元無限深さ井戸型ポテンシャルV(x)における波動関数Ψ(x)を考えます。

時間発展のないシュレディンガー方程式を解きます。





一般解はこうなりますが、境界条件

x=0とx=aでΨ=0を与えると、波動関数はΨ(x)=Asin(kx)となり

なおかつ、nを1以上の整数として、ka=nπでなければならないことになるので

 

こうなります。また、規格化条件も考慮すると、ブラ・ケットを用いて以下のようになります。


A=√(2/a)なので、波動関数は以下のように定まりました。



Aという物理量の演算子の期待値(平均値)を求めたい場合、
Aの演算子をブラとケットで囲めばよいので


例えば位置xの期待値を知りたい場合は以下のように記述し、計算できます。


ちゃんと、どの量子数nでも「aの半分」と算出できましたね。


次に、xの2乗の期待値も調べてみましょう。


このようになります。


位置xの演算子はxそのものでしたが、

運動量pの演算子は異なってきて


のようなベクトル微分演算子、特に一次元では

ベクトル関係ない微分演算子になるので
特に井戸型ポテンシャルにおける運動量の期待値は
 sinとcosの、少なくとも直交する2つの関数の積の積分となるので、ゼロとなります。



次に、またpの2乗の期待値について考えてみましょう。
こちらの値はちゃんと有限です。


特に井戸型ポテンシャルの場合は2階微分しているため、同じ関数同士の積の積分になって、値を持ちます。


それでは、先の<x^2>と<x>^2との間にはどのような関係があるのでしょうか。

一般の物理量Aには、平均値<>についてのような関係があるそうです。
誤差の理論なのかRMS(実効値)なのかよくわかりませんが(サンプル数が多すぎて?)、とにかくこういう関係があるそうです。
後日勉強したいと思います。


そうすると、位置についてのΔxは、以下のように算出されました。


座標軸の中央をあえて井戸の中心から外しているのは、(Δx)^2=<A^2>ではないことを意識させるためです。
もう一つの理由は、量子数の偶奇によって、sinとcosが交互にこないように、sinだけで一括表現するためでもありました。


それでは、運動量についてのΔpも見てみますと
運動量の1乗の平均値がゼロなので、こうなります。



両者を掛け算すると

こうなります。
量子数nが、1以上の整数の場合、ルートの中身は常に1以上です。
これの意味するところが、(ハイゼンベルクの)不確定性原理です。
具体的に井戸型ポテンシャルでやってみました。

やーそれにしても、こんないい例題をずっと見逃していたなんて。
井戸型ポテンシャルの、波動関数のだいたいの広がりが「(簡単に)計算できる」っていう発想がそもそもなぜかなかったんですよ。まったく貧相な想像力ですねえ。
無限深さだから、積分範囲も有限で、例題にはうってつけです。

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今日は仕事帰りにファミマで買いGUI(食いで変換しなおしてもCUIが出るのやめろ草)をして
井戸型ポテンシャルにおける不確定性原理の確認をするなどした。


なぜこんな僕に最適な例題を初めて見たような顔をするのか
そんな顔してるだろ?
なぜマジで初見なのか
それは・・・

(ニャメローン)
(アロワナノー)
(ピロピロピロピロピロ)
(ッヘーイ)

よくわからないのだーーーーヴェーハハハハ!!!!

期待値って言葉に苦手意識でもあったとかだろうか。
まあ確かに苦手意識はあった。確かあったはずだ


<Ψ|p|Ψ>
<Ψ|p^2|Ψ>
<Ψ|x|Ψ>
<Ψ|x^2|Ψ>

井戸型ポテンシャルの波動関数は実数なので、複素共役は同じもの
距離xの2乗はどこから掛け算しても構わないが
運動量pの演算子は2つの波動関数同士の間に挟めるように作用させなければいけない

そして、たとえ運動量やほかの演算子だろうと、距離xで積分することには変わりはなく
無限深さの井戸型ポテンシャルでは、-aからaまでなどと、有限の範囲で積分することが可能


ただし、xやpそのものの期待値を改めて求めるために
演習では-aからaまでではなく、0からaまでの井戸型ポテンシャルにしたほうが面白いかもしれないし

Δxと<x^2>、<x>^2との関係や<x^2>と<x>^2の違い
平均値や残差などもからめると、おそらくより有意義な問題となるような気がする上

そうしないと<x>^2=0になって理屈を間違って覚えかねない。

また、おそらくだが、
0からaまでだと、sinだけで表現可能で、cosと交代交代しなくていいんじゃないだろうか

というのを、矩形波のフーリエ級数展開を思い出しながら考えていた



しかしながら、毎日のことながらゲームやネットに夢中で今日も力尽きてしまった。
定性的なことしか書けなくてすまん

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もちろん、振動数が波数の2乗に比例する自由空間的なポテンシャルですよ

時間発展を見ると当然、崩れますよね、実空間的には

じゃあこれをフーリエ変換の向こう側の世界である波数空間で見ると・・・?
収縮する・・・?ん?どの値に?
そもそも自由空間であって束縛状態ではないから、波束を構成する波数は理論的には離散値にならないし
どうなるんだ??


もしかして、数値計算のメッシュの間隔とかにも依存するの・・・?


それとも、波数の中央値に収束するのかなあ?

変わらないという可能性は・・・?いやでも、実空間と対になるのはあくまで波数空間であって
どちらも時間発展はするはず・・・

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周期的境界条件(でもなくていい、両隣りに1つずつあれば)な調和振動子ポテンシャルの中で、
往復運動しながらもトンネル効果で少しずつ隣のポテンシャルに波動関数が漏れて
注目しているポテンシャル内の波動関数の存在確率がどんどん枯渇していく動画
を、x軸・波動関数の実部・波動関数の虚部の3Dでやりたい

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波数の違う波動関数の合成、つまり積分は

以下のように指数の肩を平方完成すると

ガウス積分が行えるので

このようになり、
規格化定数Aを定めるために、さらにガウス積分を行うと
以下のように定まる。



と、小形正男先生の「量子力学」には書いてある。
まったくエキセントリックな・・・。


平方完成慣れてないんだよなー・・・

自分のこれまでの人生、
たとえば2階の定数係数非斉次微分方程式だったら
定数変化法と未定係数法の2通りのやり方があるじゃないですか
そこを片方ばっかりひたすらやるタチだったんで
もう片方のやり方を根こそぎ忘れていたりして。

同様に、平方完成しなきゃならない問題も全部
平方完成しなくても解ける問題にすり替えてしまったから
平方完成の方法をそもそもほとんど覚えていないっていうことがあってねえ

いうなれば、インダクタンスをなるべく使わずに、抵抗とキャパシタンスだけで微分回路も積分回路も作ってしまおう的な。

たった1項加わるだけでこんなめんどくさくなるのか。

kに関するガウス積分から、kに関係しない項目を積分の外に追いやりたいとこまではわかるんだが
どういう方針で平方完成してるのかわからないから応用がきかねえ
恒等式であることしかわからんorz困ったwwww

ガウス積分もあんまわかってねえしなー


まあ、これからやるフーリエ級数にはそんな知識いらないんだろうけどさぁー
わかっときたいじゃんか




このメガネのおっさんのバージョンはないのか・・・。
どの定理?だったか忘れたけど、紹介してもらったやつがすげえ面白かったんだよ
数学は世界共通語だなって思った。

どうも最近、誰かが言ってたんだけど、数学とは確実に別に、プログラミング言語というのが存在し、どのプログラミング言語も、異なりはするが数学同様に世界共通語らしい
とかいう話を見た気がするんだよ

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大学時代、「いつもw-k特性は2乗にプロットされるんじゃないんすか!?
って質問を先生にしたときの先生の答えが意味わからんかった覚えがうっすらとあってな

こないだだよ、ついこないだ。
よく考えてみたら、E=p^2/(2m)+Vなんだから、自由粒子でもない限り、ポテンシャルに依存するじゃねーか!って。


じゃあその依存度合いをどうやってプロットすんの?
って考えて、一瞬、お、おう・・・!?ってなった。

ポテンシャルVが位置xの関数なのに、エネルギーEを運動量pの関数で表そうとしてる。なんだこれ。

でもよく考えたら、束縛状態になるってことは、エネルギーは離散値を取るんだよな
だからってわけでもないけど、数値計算してその結果をプロットしてから関係を見ても
結局解析的な結果とあんま変わんないんじゃね?とか思えてきて。離散値だからある程度しらみつぶしができるし。


っていうか、井戸型ポテンシャルだったらEは波の数kの2乗
調和振動子ポテンシャルだったらEは波数kの1乗に比例だよね

なんだたいしたことないじゃん
って思えてきたりした。


じゃあ逆に、トンネル障壁とかだったらエネルギーは離散値にならないわけだよなー
ガウスな波束ぶっこんでみてえ。



ああ、そういやトンネル障壁といえば
1次元だったらトンネルの自由度は0
2次元だったら自由度は1以下

じゃあn次元空間だったらトンネル障壁の自由度ってn-1個以下になるのかな?

たとえば平面に平面波ぶっこんで、まな板なトンネル障壁だったら実質1次元と同じだよね

2次元空間にまな板なトンネル障壁おいても、波源が線じゃなくて点だったら、そりゃぁ2次元的なトンネル効果になりますわなあ

逆に、波源が点の2次元トンネル障壁も、波源から距離が一定の円だったらこれも1次元と同じで

円状のトンネル障壁でも、波源が点じゃなくて有限の直線状だったり、あるいは円の中心じゃないところから波が出てたりしたら、いわゆる線形独立になるわけだよな


じゃあ3次元空間のトンネル障壁ってなんだ
球殻で囲った内部の、中心じゃないところが波源のトンネル障壁か?
α崩壊の中心が、障壁(原子核殻)のど真ん中じゃなかったら?みたいな感じ?

位相までは無理でも、可視化できたら面白いだろうなあ

立方体状のトンネル障壁から始めてもいいよね
波動関数の絶対値が可視化される感じかなあ
立方体の中で共振みたいのが起きてる最中に、少しずつ漏れ出すイメージ?

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流れの密度Jの定義

ってありますやんか。

なんでこうなの!?っていうか、全然覚えられなかったんです式が複雑すぎて。

でも、小形正男さんの量子力学って本に書いてあったんですけど

ブラ・ケット記法と運動量演算子p=-ih/(2π)*(∂/∂x)を使って こう定義したら
一般に測定値が複素数になるからまずいですやんか

じゃあの複素共役との平均を取って、実数化して定義しましょうや


これで僕ことDメールが覚えられる文字数まで圧縮できました!

っていうかこれこれの実部を取るってことですやんか!!!えええええええ!?


かたくなに実部とは言いたくなかったんですかね・・・?

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忙しいので、今日はこれでお茶を濁しまっす!

備忘録:データを書き変えるのが面倒なので、代わりにカメラワークをいじれば、目的の作品に効率よく近づけそうな気がする。
縦とか奥とか

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さきほどの続きです。
絶対値、位相ともにフィッティングが無事終わりました。


もう気づいている方がいるかもしれませんが、実はですね、数値解と解析解の比較のために、波動関数の代表値を決める必要は特にないんですよ。
初めてか久々で、手探りで計算しているからこそ、絶対値と位相差を別々に解析していたのですが
もし仮に、何度も同じ計算をやっていて、ものすごく自信があるのでしたら(それ研究なのか?)
数値解・解析解の波動関数が、向きや大きさは別として、同じ形をしている(相似形)のは明らかなので

もういっそのこと、複素数のまま
解析解/数値解のデータをX=imdiv(解析解,数値解)なんかで取ってしまって
Xがほとんど同じ値の複素数であることを確認したら、そのXの平均値を数値解の複素数に掛け算してやれば、絶対値・位相差ともいっぺんにフィッティングができてしまうのです。


上のような計算をしています。
下にずっと長く続くのですが、Ψ解析/Ψ数値では、
波動関数の解析解を、波動関数の数値解で、複素数のまま割り算をしています。
そうすると、だいたい同じ値の複素数になることが期待できるので、平均値を取ります。
複素数の平均値なので、関数が用意されていませんでした。
平均値=imsum(比)/counta(比)
で計算しました。文字列扱いになるので、カウントするのにcount関数ではだめで、数値以外もカウントするcounta関数が必要となります。

また、分散も計算しました。
|平均値-サンプル値|^2 (平均値に絶対参照)
をやったので、分散の値は実数です。
それから、分散について
sqrt(sum(分散)/(count(分散)-1)) (countaじゃなくていい)
を行い、標準偏差を出してみました。もちろん標準偏差も、今回の定義では実数になります。

もし、2018年4月25日のブログ

の、この図の下から2番目をΨ1={1-i(E-U)dx}Ψ0ではなくΨ1={1+i(E-U)dx}Ψ0
とやってしまって、逆巻きになっていたとしたら、標準偏差の値が大きくなるので、間違いに気が付きやすいです。

この代表の平均値を、フィッティング前の数値解に掛け算して、フィッティングを済ませています。

もし、分散や標準偏差を実数で定義するのでしたら
平均値=平均値実部+i平均値虚部
なので、

平均値実部±|標準偏差実部|+i(平均値虚部±|標準偏差虚部|)
相対誤差=標準偏差/平均値=|相対誤差実部|+i|相対誤差虚部|

のようになるのでしょうか。
でも、平均値/平均値の実部と虚部が1とゼロというなんか変な格差を生んでしまって気持ち悪いですね

そもそも複素数の誤差の理論が今のところ存在しないのでなんとも言えません。
量子力学からの要請で、少しは需要が出たりするでしょうか。(でも実験結果は実数しかないからなあ)

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日が空いてしまいました。25日のブログの続きです。


トンネル効果の数値解と解析解、振幅はフィッティングできたのですが、
位相がまだ合っていませんでした。
そこで、トンネルの出口における解析解と数値解の位相差を利用して、位相のフィッティングを行いましょう。
というのが前回のラストでしたね。

前回同様、トンネル出口のbの値は14未満に設定しているので
とりあえずx=20での位相を比較してみます。


複素数で算出された解に対して
x=20における
位相差=imargument(解析)-imargument(数値)
を計算し、位相フィッティング前(絶対値フィッティング直後)の数値解(複素数)にexp(i位相差)を掛け算してみることにしましょう

だいたい合うようになったかと思います


つづく

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前回の続きです


数値解が求まりました。しかし大きさが定まっていません。

あらすじおわり。

透過波の絶対値が距離に依存しないんだから、そこの解析解との比を使おう。

今のところ、トンネルの出口の位置bは14未満になるようにしているので
とりあえずxが20~150の間の絶対値の、数値解と解析解との比の平均値を使って、合わせてみましょう。


解析解のデータを並べ


比を取って


20≦x≦150の間で比の平均値を取り、数値解に掛け算しますと



ちょっとずれますが、だいたい合ってますよね


しかし、実部と虚部で見るように、振幅は合っているのですが、位相がまだ合っていません。

そこで、波動関数の実部を横軸、虚部を縦軸にした、以下のような図を用いて解析することにします。



電気や制御工学でいう、伝達関数のボード線図が波動関数の絶対値に相当するなら
波動関数の位相からのアプローチは、ナイキスト線図やニコルス線図に相当するような感じでしょうか


とりあえず、トンネルから出たところの波動関数の位相を揃えたほうがよさそうな気はしますね



つづく

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トンネル効果では、解析解より数値解のほうが簡単に取り扱えます。

微分方程式
Ψ''+(E-U)Ψ=0

について解くだけです。
ここで、数値解を求める際に、微分を差分に直しておきましょう。

1階微分
と表現できるため、それをさらにxで微分したものは


と、表現できます。

そうすると、微分方程式は差分方程式

となり
Ψ(n+1)の式

のような数列の漸化式に書き変えることができます。

ここで大事になってくるのが、初期値(境界値)です。

僕が知らないだけかもしれませんが、波動方程式の数値解では、進行波と後退波を分けて計算することができないようです。

そこで、僕の場合は、あらかじめ進行波しかないと解析解でわかっていた透過波のほうから計算してみました。

いうなれば、


ではなく

これを計算したわけです。どこが違うのかおわかりでしょうか。
Ψの添え字n+1とn-1が逆転しているわけです。

ここで透過波は進行波しかないため、自由粒子のように、波動関数の絶対値の2乗が常に一定になることが条件となります。

この条件を満たす初期値というのがありまして
4月19日の日記を参考にします。
Ψ0を一番端、Ψ1を端から2番目の波動関数として

Ψ1/Ψ0=1±i(E-U)dx

一番端のΨはなんでもいいのですが、(E-U)Δx^2に条件が加わり、2番目のΨがなんでもいいわけではなくなるのです。
そうしないと楕円偏光や直線偏光のようになって、波動関数の絶対値の2乗が安定してくれないのです。


実際の計算を見てみましょう

xの行数が多すぎるので、中略して表示しました。
Uが全部ゼロのように見えるのですが
中間のxに、U0の値を逐次入れてます。

一番下のΨ数値はとりあえず1として
下から2番目は
Ψ1={1±i(E-U)dx}Ψ0

を当てはめています。

波動関数の値が複素数に広がっているため、複素数アドインを用いています。
四則演算も関数として記述されるので、最初は慣れないかと思います

COMPLEX(Ψ0,-(E-U)*dx) (dxとEに絶対参照を忘れずに)

このように書いています。

COMPLEX(Ψ0,(E-U)*dx)

なぜこれではいけないのでしょうか?
(E-U)の符号が反転しています。絶対値が安定するためには、どちらでもいいはずです。

しかし、解析解のほうをexp(ikx)としているので、それに合わせないといけないわけです。
後ろから逆算しているので、螺旋を逆に巻いているのです。

下から3番目以降(以上)では

を用いています。

複素数アドインの関数で書くと

IMSUB(IMPRODUCT(IMSUB(2,(E-U)*(dx^2)),Ψ(n)),Ψ(n+1))
(Eとdxの絶対参照を忘れずに)


計算していくと、波動関数の絶対値|Ψ|は、このようになります。

ちゃんと透過波が安定しているのを確認できますが、透過波だけが安定しすぎていて
全体の大きさが定まっていませんね。

実は、トンネル効果では、解析解でも規格化ができないとされています。
なので仕方なく、トンネルに入る前の進行波を基準にしたりするのですが
先述した通り、数値解では進行波と後退波を区別して計算することができません。
それで透過波を基準に計算を始めたわけですが
本来ならこの図では、透過波が大きくなったり小さくなったりするはずなのに、
まるで透過波を基準に、入射波や反射波などが大きくなったり小さくなったりしています。
次回は、解析解を使って数値解をフィッティングする方法を書きます。

つづく

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係数が出たので、この係数を波動関数Ψにまとめていきます。

と、その前に、kとk1が、それぞれ
 (U0はxが0からbまでの間のトンネル障壁の高さです)
なので、これを当てはめていきますが、律儀にプランク定数や電子の質量、電子の電荷(エレクトロンボルトのジュール換算)などを当てはめていかなくても大丈夫です。

というより、双曲線関数の中身にそんな桁数の数値を入れたら、途中で破たんしてしまうかもしれないので、kbやk1bの掛け算として、三角関数や双曲線関数、指数関数などに入る場合に適度な大きさの数値になるように、調整します。
物理定数は無視してすべて1にし、
k=sqrt(E)、k1=sqrt(U0-E)としています。

このくらいの数値群であれば問題ありません

なお、この段階ではまだ解析解が、E>U0に対応していないので、こうならないような条件で変移させます。

そうして得られた係数と、そこまでの途中計算が、以下のようになります。  

Excelでの複素数計算は、結果が文字列扱いになるので多少見栄えが悪いです。
たとえばk1+ikだったらcomplex(k1,k)のように、
k1-ikだったらcomplex(k1,-k)のように打ち込みまして

分母のように複雑な数式になる場合は
実部と虚部を実数としてあらかじめ計算しておいてから、分母=complex(実部,虚部)などとすればいいかと思います。
また、B,C,D,Fは先に分子を計算しておくとよいでしょう。
B分子=COMPLEX(0,-(k1^2+k^2)*SINH(k1*b))
C分子=IMPRODUCT((k1+ik),k*EXP(-k1*b))
D分子=IMPRODUCT((k1-ik),k*EXP(k1*b))
F分子=IMPRODUCT(exp(-ikb),2*k*k1)
を計算しますが
exp(-ikb)もあらかじめ、IMEXP(COMPLEX(0,-k*b))

として計算しておけばよいでしょう。
検算用に、imabs(B)^2+imabs(F)^2=1となるのを確認してみるといいでしょう。
極限で自由粒子や、完全反射なども検算のネタになるかと思いますので
U0>>Eにしたり、b=0にしてみたりするのもアリです
bを大きくして、透過波がほぼゼロになるのを確認するのもいいですね。

そうしてから、B,C,D,Fそれぞれを、imdiv(B,C,D,F分子,分母)といった風に計算するとミスも減るかと思います。

そのようにして得たB,C,D,Fを、いよいよ波動関数として実装させます。

exp(ikx)では、imexp(complex(0,kx))といった計算をやっています。
隣の列の、Bexp(-ikx)ではimproduct(B,imexp(complex(0,-kx)))といった計算を行っています。
ここで、Bとkに絶対参照を施すのを忘れずに

Cexpk1xのC以外は実数なので
improduct(C,exp(k1*x)) (Cとk1に絶対参照)
とやっていて、imexpの代わりに実数のみのexpを用いて、計算を簡略化してます
Dexp(-k1x)も同様にimproduct(D,exp(-k1*x))とやっています。

Fexp(ikx)=improduct(F,imexp(complex(0,k*x)))です。

Ψ1=imsum(1列目,Bの列)
Ψ2=imsum(Cの列,Dの列)
Ψ3=Fの列

とやっています。
x=0でΨ1=Ψ2
x=bでΨ2=Ψ3となっていることを確認して

ΨではIF(x<0,Ψ1,IF(x<b,Ψ2,Ψ3))
とやっています。(bの絶対参照)


これで、解析解を得ることができました。
横軸がxで縦軸がReΨとImΨのグラフを描いて確認すると、ちゃんと連続性が保たれていることがわかるかと思います。

実部・虚部ともに、0階微分も1階微分も連続になっていますね。
ちなみに、文字列として出力された複素数の実部と虚部を取りだすには
imreal(複素数)とimaginary(複素数)を用います。

この一連の複素数用の関数群は、アドオンで追加できるんだったかと思います
ユーザー定義関数で作っているわけではありません。



つづく

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まず訂正があります。
Fの分子に2ikk1と書いてありますが、正しくは2kk1でした。


それでですね、入社粒子のエネルギーがポテンシャルの高さよりも高かった場合の解析解なんですけどね
思い出したんですよ。
k1をik1に置き換えて最初の行列方程式から計算することなくて

この結果のk1をik1に置き換えるだけでよかったんです。

昨日はびっくりドンキーで、散々計算してました。
無駄時間を過ごした気分ですが、とても居心地がよかったのでまんざらでもありませんでした。^^




正しくはこういうことなんですが、
ここで、k1をik1に置き換えてみますと、以下のようになります。

よく見ると、双曲線関数が全部三角関数に置き換えられていることが分かるかと思います。
こうすることでk1<kの状態にも拡張することができるようになりましたので
ようやくk1→0の極限を計算することができます。

しかし、k1=0にすると、分母がゼロになってしまうため
不要な項を消して整理してから、分母分子をk1で割ってみましょう。
するとこのようになります。

ここで、sink1b/k1のk1をゼロにしてしまうと、一見不定のように見えるのですが
これはsinc関数と言ってsincx=sinx/xのx→0で、sincx=1になることが知られています。

ためしにロピタルの定理を使ってみるとわかるかと思います。



結果、以下のようになります

昨日もびっくりドンキーの中で計算していて、奇妙に思っていたのですが
この式が自由粒子の解になるにはk1=0(k1<<k)の条件だけではなく
2>>kbの条件も必要なようで
そうすると晴れて

反射波0、透過波1の自由粒子の解が得られるようです。

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x軸←→f軸

ボード線図
ナイキスト線図
ニコルス線図



同じことヘキサボナッチ数列でもやりました。反省してまーすwww

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