1次元無限深井戸型ポテンシャルにおける不確定性原理

まず、xが0以上a以下でゼロ、それ以外では無限大の、1次元無限深さ井戸型ポテンシャルV(x)における波動関数Ψ(x)を考えます。

時間発展のないシュレディンガー方程式を解きます。





一般解はこうなりますが、境界条件

x=0とx=aでΨ=0を与えると、波動関数はΨ(x)=Asin(kx)となり

なおかつ、nを1以上の整数として、ka=nπでなければならないことになるので

 

こうなります。また、規格化条件も考慮すると、ブラ・ケットを用いて以下のようになります。


A=√(2/a)なので、波動関数は以下のように定まりました。



Aという物理量の演算子の期待値(平均値)を求めたい場合、
Aの演算子をブラとケットで囲めばよいので


例えば位置xの期待値を知りたい場合は以下のように記述し、計算できます。


ちゃんと、どの量子数nでも「aの半分」と算出できましたね。


次に、xの2乗の期待値も調べてみましょう。


このようになります。


位置xの演算子はxそのものでしたが、

運動量pの演算子は異なってきて


のようなベクトル微分演算子、特に一次元では

ベクトル関係ない微分演算子になるので
特に井戸型ポテンシャルにおける運動量の期待値は
 sinとcosの、少なくとも直交する2つの関数の積の積分となるので、ゼロとなります。



次に、またpの2乗の期待値について考えてみましょう。
こちらの値はちゃんと有限です。


特に井戸型ポテンシャルの場合は2階微分しているため、同じ関数同士の積の積分になって、値を持ちます。


それでは、先の<x^2>と<x>^2との間にはどのような関係があるのでしょうか。

一般の物理量Aには、平均値<>についてのような関係があるそうです。
誤差の理論なのかRMS(実効値)なのかよくわかりませんが(サンプル数が多すぎて？)、とにかくこういう関係があるそうです。
後日勉強したいと思います。


そうすると、位置についてのΔxは、以下のように算出されました。


座標軸の中央をあえて井戸の中心から外しているのは、(Δx)^2=<A^2>ではないことを意識させるためです。
もう一つの理由は、量子数の偶奇によって、sinとcosが交互にこないように、sinだけで一括表現するためでもありました。


それでは、運動量についてのΔpも見てみますと
運動量の1乗の平均値がゼロなので、こうなります。



両者を掛け算すると

こうなります。
量子数nが、1以上の整数の場合、ルートの中身は常に1以上です。
これの意味するところが、(ハイゼンベルクの)不確定性原理です。
具体的に井戸型ポテンシャルでやってみました。

やーそれにしても、こんないい例題をずっと見逃していたなんて。
井戸型ポテンシャルの、波動関数のだいたいの広がりが「(簡単に)計算できる」っていう発想がそもそもなぜかなかったんですよ。まったく貧相な想像力ですねえ。
無限深さだから、積分範囲も有限で、例題にはうってつけです。