ベクトル解析「クォータニオン？誰よその女！」

量子力学に関しては、大学生のころに半年間だけ波動力学っぽいのを習ったのと
放送大学で行列力学の具体的な例を習った以外独学だから
体系的な学習ができてなくて順番もぐちゃぐちゃで、あとから「そういうことだったのか～」ってなることがしばしばある。


行列力学についても同様で
放送大学で習った具体例が角運動量(磁気量子数)とスピンのみだったから

「どうしてy軸だけ複素平面の虚軸にいらっしゃるんですか？」
とか
「なんでいつの間にか物理学はベクトル解析という彼女を捨ててクォータニオンと不倫し始めたんですか？」
とか
「結局虚軸ってなに？なんなのよその女！」

っていうのをずっと感じてた。

天下り的に上昇演算子L+と下降演算子L-の定義を

って習ったのに関してだけは、放送大学への不信感はあったかな。
それ以外は優秀な教材だった。ありがとう。


なんなんだこのいきなり現れた異世界へのゲートみたいな定義は！？
って思ったもん。最近行列力学を学び始めるまで。



大学図書館から本を借りたり、wikiを見たりネット上の演習問題を見たり、AIに聞いたりして
手探りで行列力学への理解を少しずつ高めていったんだけど

まずは昇降演算子つながりで、調和振動子の昇降演算子を参考にしてみたんですわ。
波動力学ではすでに知識を得ていたから、行列力学の知識を得たわけ。


そしたらさ、いわゆるハイゼンベルクの不確定性関係みたいな位置と運動量に関する昇降演算子が波動力学同様に出てきて(調和振動子のね)

位置と運動量の行列としての演算子も、昇降演算子から作ることができることがわかったわけよ

それで気づいたんだけど
交換関係[x,y]=〇
が定義できるやつはなんかこうなんでも昇降演算子が定義できて
まず昇降演算子ありきで位置と運動量の演算子ってのも導出できるのがわかって
交換関係さえ成り立てば、位置と運動量に限らず昇降演算子が定義でき、そっからいろんな物理量の演算子を求めることができて

調和振動子に限らず井戸型ポテンシャルでも似たようなアプローチで定義が可能なのがわかってきて。


それでわかったんだけど

調和振動子の位置xと運動量p

から昇降演算子

が求められたのと


角運動量Lのx成分Lxとy成分Ly

から昇降演算子

が求められたのって同じプロセスなんだ！

って気づいたんだよ。(Lzは角運動量のz成分)


じゃあなんで、

と

は出番がないんだよ？


っていうと、たぶん変数分離と極座標のせい

極座標って直交座標と違って動径rと角度θ(緯度)とφが平等ではなくて
角度(地球儀でいう経度)φに関する微分方程式がめちゃくちゃ楽にできてて
Lzの演算子を波動関数に掛け算するだけですぐに固有値が求まっちゃうわけ。
で、なんでLzだけ特別なのかっていうと、たぶんスピンや角運動の主な回転軸だから。


で、ここも俺の勘違いだったんだけど
物理が突然ベクトル解析の彼女を捨ててクォータニオンを愛人にしたんじゃなくて
ここで単にアナロジーができたほうが先で
こっからパウリあたりが、「この(ヒルベルト空間の)ベクトル、なんか(ベクトル解析の)ベクトルみたいじゃね？」
って気づいて、クォータニオンに(再度)注目が集まって、CGの回転に使われるようになったってのが本来の道順なんだと思う。


だから、虚数単位は相変わらずどうしてそうなのかは人類は知らなくて
突然3次元空間のy軸を担当するようになったわけでもない
やっぱり物理は相変わらずwhyではなくhowを問う学問なんだと思う
数式がそうなっているとしか言えない。
未来の人類がまだ「数式がそうなってるからとしか言えない」かどうかはわからないけども