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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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こないだ大学の図書館で見かけた「線形代数」の教科書の最初の1問

次のことを証明しなさい

A∪B⊃A、A∪B⊃B、
A∩B⊂A、A∩B⊂B、
A⊂B、B⊂CならA⊂C
A⊂BならA∪C⊂B∪C、A∩C⊂B∩C
A∩A=A、A∪A=A


さすが鬼畜だと思いましたわ。


「、」が多くて、カッコがない。
どこからどこまでが問題で、どこからどこまでが前提なのかがわからないwwww

しかも
A∪B⊃A
こんな、どこで区切ったらいいのかわからないのを最初に複数個出して、まるで入園試験ですわwww


よく考えると(A∪B)⊃Aの分配方法しかありえないことがわかってきて
A∪B⊃A
というものが1つの問題であることもわかってくるんですけど

これは一見さんお断りやろなぁ


整理すると

①(A∪B)⊃A、②(A∪B)⊃B、
③(A∩B)⊂A、④(A∩B)⊂B、
⑤{(A⊂B)なおかつ(B⊂C)}ならA⊂C
⑥(A⊂B)なら[{(A∪C)⊂(B∪C)}なおかつ、{(A∩C)⊂(B∩C)}]
⑦(A∩A)=A、⑧(A∪A)=A


という8問編成でございまーす。^^

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定性的にも定量的にも。

定義が抽象的すぎて、何をしたいのかよくわからなかったが
言ってしまえばしらみつぶしの加法標準形だ。

ランク落ちしてた場合は、1つずつ次数を低くして、
ほぼほぼ全部の組み合わせを試して
ゼロにならなかったやつのフラグを立てて、
そいつらのORを取ってゼロじゃなかったらアルゴリズム終了!

それでもゼロだったらさらに次数を下げてやり直す!それだけ!


これを、正方行列以外の、長方形の行列にも拡張できた。

これらが定性的に何を意味するのか、それは


「連立方程式が実質何本あるのか」
に尽きる。

変数が4つあって、4本連立してるように見えても
実はうち2本は同じ式で、実質3本しかなかったら解けなかろう!
そういうときのために、ランクの調査をする。
4じゃなくて3だったらこれいつまでこねくり回しても解けねーぞと、忠告しておく。

この場合は正方行列なんだけども


たとえば
変数が4つあって、3本連立してるように見えても
実はそのうち2本は同じ式で、実質2本しかなかったら

っていうのが、長方行列(m行n列:m≠n)に拡張したランク計算。

逆に、横長でなく縦長だったら、定性的には

変数が3つあって、4本連立しているように見えても
実はそのうち2本は同じ式で、実質3本しかなかったら

ということができる。

ん?あれ?この場合、解けるように「なる」ってこと?
パッと見冗長して見えた連立方程式が、案外まともな連立方程式だったってことになるのか


いいのかなそれで?
変数の縦ベクトルを右から掛け算するとは限らないじゃんか
左から横ベクトルを掛け算するかもしれないじゃんか・・・?
その場合は転置を取ってからランクを求めるから大丈夫・・・とか?

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昨日、大学の図書館で線形代数の本を読んで遊んでいたら、思わぬ収穫がありましてね
20170709のブログ「ダルいのでヘキサボナッチ備忘録の続きを。」などに書いてた数式、

ファンデルモンド行列式」って名前なんだそうです!


まあたいていの、僕がいつもやってる数式や定理の「車輪の再発明」系のものには
すでに名前がついていて当然とは思っていましたが

困るのが、式だけ知ってて名前を知らないことですよね。

ツイッターなどで盛んに議論されてても、
独学でやってたモグリの数学好きには、結構輪に入れないときがあると思うんですよ。

それも、多数のFFさんがいると、いっぺんに情報が流れ込んできて、
モグリやってる人に限って、そういうどばーっとしたのに弱いと思うんですよね。

そこで思ったのが、こういう方式

たとえばウルフラムαで

det{{1,1,1},{a,b,c},{a^2,b^2,c^2}}

とかって入力したら、

これだったら「ファンデルモンドの行列式」とかって
データベースの一部に名前情報が表示されるシステム。

どばーって情報が入ってくるのが苦手な人にも
コツコツ情報が入ってくれるスンポー。


こういうのほしいなーって思うんですよね。



名前から式は結構簡単にwikiれちゃうじゃないですか。
でもその逆、式から名前を知る際って
昔でいうところの「電話番号から電話帳で住人の名前をストーキングする」くらいの難易度があったと思うんですよね。

ある種の公開鍵暗号方式といいますか、そんな感じの一方通行感があると思うんです。

その敷居がかぱって外れれば、結構いい方向に向かうんじゃないかと思うんですけども。





あと、パフィアン行列とかってのも
なんか見おぼえある式のような気がしました。
シンプレティックはー・・・まだちょっと早いかなーって
昨日は思ったんですが、今さっき自分のブログで20170709のブログを探す際に
案外遠くないのかもって思ったりしましたね。

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昨日の「任意軸伸縮行列」をExcelに実装して遊んでみましょう。


とりあえず、伸び縮みさせたい立方体を、a,b,c列に作ってみます。

a,b,c列をそれぞれ、x,y,z軸の値とします。

右をプラスのx、上をプラスのy、奥をプラスのzと定義しますので
順番に、手前面、奥面、下面、上面、左面、右面となります。

 


これらのベクトルに伸縮のための変換行列

を作用させたいので

この図の赤枠内のように、行列を作ります。
a=1、b=c=0、H=2を例にします。つまり、x軸方向に2倍する伸縮です。

a,b,cのそれぞれのすぐ下の行には、実数何を入れてもいいのですが、
さらにその下の行では単位ベクトルのa,b,cになります。
そのために、a,b,cの右下で、√(a^2+b^2+c^2)をやっています。
厳密には、sqrt(sumsq(aからc))という計算をして、
a,b,cの2行下で
規格化前のa,b,c/[sqrt{sumsq(aからc)}]
を、複合参照を用いて計算しています。


本来ならこの式

のように、列ベクトルに左から変換行列を掛け算するべきなのですが、
Excelの仕様の都合で
行ベクトルに右から変換行列を掛け算しています。


そうやってできたベクトルたちはこの図の赤枠の中のようになります。
変換前の左のベクトルと比べると、変数xの「1」だけが「2」に変わっていることがわかるかと思います



ビューアとして、この次に遠近法のための計算を行います。
変数zに5という下駄をプラスしてzが負数になるのを回避し、
適当なズーム倍率A=1を用いて
横軸にAx/z、縦軸にAy/zを計算してグラフにプロットします。


このようになります。
右が伸縮変換前、左が変換後になります。
横つまりx軸方向に2倍に伸びていることがわかるかと思います。

同様に、x,y,z軸方向に、-2.5倍から+2.5倍までの伸縮を、gifにしたのが下の図です。


自分のやり方では
たとえば空いているセル
A3セルとかにnow()-today()を入れます。0から1までの、時刻のシリアル値をただの数値にした値が表現されます。

A4セルに動かす速さ70000とかを入れて
A5セルでA3×A4を行います。

それから、Hと書かれたD3セルの隣のE3セルに
=3*sin(A5)
といった式を入力して、動かして
テキトーなキャプチャソフトで、連写してます。


次に、
v=(a,b,c)=(1,1,0)/|v|(xy平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(0,1,1)/|v|(yz平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(1,0,1)/|v|(zx平面内での伸縮)
v=(a,b,c)=(1,1,1)/|v|(一般化伸縮)

の場合をプロットして動かしてみます。
sqrt{sumsq(aからc)}が1以外になって、2行目の単位ベクトルが1行目の値と違ってきているのがわかるかと思います。

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(a,b,c)という単位ベクトルがあったとして、そのベクトルを軸にしてH倍伸縮させるのがこの行列
(Hは負数にも対応)

ローレンツ伸縮の4次行列を生成して、3次元にトリミングすれば作れます。
元々はsinhとcoshを使っていたのですが3次元空間にはcoshしかないので負になれず
coshを、負数にもできるHに置き換えることで、反転も可能にしました。

もちろんH=0だと、軸方向に対してぺしゃんこになります。

かわいらしいです

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僕にとっての植物というものは、得体のしれない、異質なもので
しかしだからといってすべての植物を一滴たりとも残さず駆逐してやろうという意気込みのベジタリアン(やさいぶんかい)ではないのだが

僕にとっての素数というものは、得体のしれない、気持ちの悪いもので
だからこそすべての素数を一数たりとも残さず駆逐してやろうという意気込みで素数タリアン(そいんすうぶんかい)を好んでやっているのかと言われると、まったく肯定である。


これが、愛・憎=-1の線形従属(ハンヘイコウ)というものであるというのか。

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部分スーパー積分人を用いた、スーパー積分人を超えた、スーパー積分人



複素数を使ったスーパー積分人ブルー





スーパー積分人(身勝手の極意)
 

亀仙人「動きに無駄がないぞいっ!٩( 'ω' )و



ブルマ役の鶴ひろみさん、心よりご冥福をお祈りいたします

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今日は、いかにサボってそれなりのブログを書くかを努力する日です。
もう余力がありません。


4次元に手を出す前に、まず、3次元におけるロドリゲスの回転公式を
対角化からのアプローチで出してみようということになりました。


この行列指数関数を導出する際に、exp(R)のR^3=-Rになる特性を使わずに
固有値・固有ベクトル・対角化から、求めてみるというわけです。


まず、(x,y,z)がまだ規格化されていないベクトルとして
W^2=x^2+y^2+z^2

(a,b,c)W=(x,y,z)

となるようにします。

そうすると
a^2+b^2+c^2=1なので


とできますよね。
この、Wを除いた行列の固有値を求めると、少し楽ができるという寸法です。

 
なので、固有値をλ=0,±iと、簡潔に記述でき、次の固有ベクトルの計算に向けて
かなり楽ができることになります。


今日はもうこれでいいや。
続きは、余力がありしだいアップします。

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ふと思い出した。

整数なら、3の3乗が27でピーク。

じゃあ実数なら?

つうことで、

x^(6-x)のグラフを描いてみた。

だいたい、2.9の3.1乗が27.129でピーク・・・なんじゃこりゃw

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中間報告です。

3状態系の角運動量の件

x方向成分の固有状態が


これになったんですが、

ロドリゲスの回転公式


ただしx^2+y^2+z^2=1として
M=E+Rsinθ+R^2(1-cosθ)
ただしEは単位行列

に当てはめると

θ=π
-x=z=±1/2
y=±1/√2(複合同順)

に相当することがわかりました。

y方向成分の固有状態

に関しては、実数のロドリゲスの回転公式ではおそらく歯が立たないことが分かったため
3次の特殊ユニタリ群su(3)の生成子の一部を借りて、改造の目途が立ちそうです。

おそらくは、改造版ロドリゲスの回転公式

これが相当しそうだと思います。あとで右ネジになるように調整する予定です


うーんこのy軸ののけもの感、すげえパウリ行列みあるわー



追記:
この改造した「R:expの中身」でも
実数ロドリゲスと同じ式

exp(R)=M=E+R*sinθ+R^2*(1-cosθ)

が成り立つことが確認できました。

R^3=-Rになるからです。

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特殊直交かつ実対称な行列の固有値


アライ「フェネック!今日はこれの固有値を計算してみるのだ!」
 

フェネック「これはー?」

アライ「”りょうりしきがく”?に出てくる、5状態系の角運動量の固有状態なのだ!さっそくscilabにつっこんでっと・・・」

フェネック「アライさーん、急いじゃだめだってばー。この行列はなんだったかな?」

アライ「だから、固有状態なのだ!」

フェネック「固有状態ってことは、規格化されてるはずじゃないかー」

アライ「ってことは、これは直交行列なのか!?Aの転置A'からAを引いたA'-Aは・・・ふぇええええ!?ゼロ行列になったのだ!」

フェネック「アライさーん、またやってしまったねえ。それは対称行列の定義だよー」

アライ「そうなのだ!直交行列の性質は、逆行列を引いたこっちだったのだ!A'-int(A)」

フェネック「どうだったー?」

アライ「すごいのだ!こっちもゼロ行列になったのだ!!ってことは、直交行列かつ対称行列ということなのだ!」

フェネック「対称行列と直交行列は、数でいうところのどういう雰囲気だったかな?」

アライ「えっと・・・対称行列は実数で、直交行列は・・・オイラーの公式なのだ!」

フェネック「そうそう、実際、対称行列の固有値が全部実数で、直交行列の固有値は全員、複素平面の単位円周上にいるよねー。ってことはー?」

アライ「実対称行列か直交行列な行列の固有値は・・・実数かつ”絶対値が1”だから・・・、プラス1とマイナス1しかありえないのだ!やっぱりフェネックはすごいのだ!」



フェネック「アライさーん、この行列の行列式(固有値の積)を計算してみてよー」

アライ「任せるのだ!この文字をscilabにつけてっとdet(A) 1になったのだ!abs(det(A))じゃなくても1になったのだ!すごいのだ!実は特殊直交行列だったのか!?」

フェネック「そういうことになるねー。じゃあついでに、トレース(固有値の和)も計算してみてくれるー?」

アライ「簡単なのだ!対角要素の和だから、これも1なのだ!すごいのだ!いちざんまいなのだ!」

フェネック「ここから言えることは何かあるかな?」


???「待って!ここから導き出される結論は、全部お見通しよ!」

アライ「キリンさんなのだ!こんにちはなのだ。」

フェネック「こんにちはー」

キリン「こんにちはー。行列Aの固有値探しをしているのね。以上のことをまとめると

・Aは5次行列だから、固有値は5つある
・Aは対称行列だから、固有値は実数
・Aは直交行列でもあるから、固有値はプラス1かマイナス1で、5つ全部掛け算すると1になる
・Aのトレースは1だから、固有値を全部足すと1になる
・Aの行列式は1(特殊直交行列)

掛け算してプラス1になるということは、-1の固有値は偶数個
可能性としては1,-1,-1,-1,-1か1,1,1,1,1か、1,1,1,-1,-1がありえるけど
前者2つはトレース1にならないから却下。
つまり、固有値は、1,1,1,-1,-1ね!!!

アライ「おいしいところをキリンに全部持っていかれたのだ~」

フェネック「アライさんなら手計算でいいとこ魅せられるよ~」

アライ「おおー!その手があったのだ!任せるのだ!

まず、Aの中身に4で割ってるのがあるから、Aを4倍して、λを固有値として、4λ倍した単位行列で引いて、行列式を求めるのだ。

 

2列目に2列目-4列目を代入して

 

それから、2行目に2行目-4行目を代入したら、掃き出し法が楽になるのだ

 

4次の行列に次数が1つ減るから、

1列目に1列目+4列目を代入して

 
今度は、3列目に3列目から、(-4λ)/(-4)倍した4列目を引くのだ



また掃き出し法がしやすくなったから、次数を1つ減らして3次の行列になったのだ。

ここで、同類項でくくって行列式の外に放り出して、計算をしやすくするのだ。

それから、3行目に、3行目-1行目を代入して、掃き出し法を行うのだ。

 
2次の行列式まできたら、もう迷わないのだ!無敵の布陣なのだ!ちゃんと3重解と重解を出してやったのだ!」


フェネック「おおー!λの係数、マイナス4の5乗-1024がちゃんと出てるよ~すごいよアライさん!」

アライ「アライさんは、不滅なのだーーーー!そしてキリンさんも、すごい推理力なのだ!」

キリン「えっへん!アライさんも、器用だねー」

アライ「ヴェーハハハハ!!!これからはシン・アライ神と呼ぶがいいのだ!」

フェネック「アライさんがパークの危機になっちゃうのかー」

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特殊ユニタリかつエルミートな行列の固有値


アライ「フェネック!今日はこれの固有値を計算してみるのだ!」


フェネック「これはー?」

アライ「”りょうしりきがく”?に出てくる、5状態系の角運動量の固有状態なのだ!さっそくscilabにつっこんでっと・・・」

フェネック「アライさーん、急いじゃだめだってばー。この行列はなんだったかな?」

アライ「だから、固有状態なのだ!」

フェネック「固有状態ってことは、規格化されてるはずじゃないかー」

アライ「ってことは、これはユニタリなのか!?Aエルミート共役A'からAを引いたA'-Aは・・・ふぇええええ!?ゼロ行列になったのだ!」

フェネック「アライさーん、またやってしまったねえ。それはエルミート行列の定義だよー」

アライ「そうなのだ!ユニタリ行列の性質は、逆行列を引いたこっちだったのだ!A'-int(A)」

フェネック「どうだったー?」

アライ「すごいのだ!こっちもゼロ行列になったのだ!!ってことは、ユニタリかつエルミートということなのだ!」

フェネック「エルミートとユニタリは、数でいうところのどういう雰囲気だったかな?」

アライ「えっと・・・エルミートは実数で、ユニタリは・・・オイラーの公式なのだ!」

フェネック「そうそう、実際、エルミート行列の固有値が全部実数で、ユニタリ行列の固有値は全員、複素平面の単位円周上にいるよねー。ってことはー?」

アライ「エルミートかつユニタリな行列の固有値は・・・実数かつ”絶対値が1”だから・・・、プラス1とマイナス1しかありえないのだ!やっぱりフェネックはすごいのだ!」



フェネック「アライさーん、この行列の行列式(固有値の積)を計算してみてよー」

アライ「任せるのだ!この文字をscilabにつけてっとdet(A) 1になったのだ!abs(det(A))じゃなくても1になったのだ!すごいのだ!実は特殊ユニタリだったのか!?」

フェネック「そういうことになるねー。じゃあついでに、トレース(固有値の和)も計算してみてくれるー?」

アライ「簡単なのだ!対角要素の和だから、これも1なのだ!すごいのだ!いちざんまいなのだ!」

フェネック「ここから言えることは何かあるかな?」


???「待って!ここから導き出される結論は、全部お見通しよ!」

アライ「キリンさんなのだ!こんにちはなのだ。」

フェネック「こんにちはー」

キリン「こんにちはー。行列Aの固有値探しをしているのね。以上のことをまとめると

・Aは5次行列だから、固有値は5つある
・Aはエルミートだから、固有値は実数
・Aはユニタリでもあるから、固有値はプラス1かマイナス1で、5つ全部掛け算すると1になる
・Aのトレースは1だから、固有値を全部足すと1になる
・Aの行列式は1(特殊ユニタリ行列)
 
掛け算してプラス1になるということは、-1の固有値は偶数個
可能性としては1,-1,-1,-1,-1か1,1,1,1,1か、1,1,1,-1,-1がありえるけど
前者2つはトレース1にならないから却下。
つまり、固有値は、1,1,1,-1,-1ね!!!

アライ「おいしいところをキリンに全部持っていかれたのだ~」

フェネック「アライさんなら手計算でいいとこ魅せられるよ~」

アライ「おおー!その手があったのだ!任せるのだ!

まず、Aの中身に4で割ってるのがあるから、Aを4倍して、λを固有値として、4λ倍した単位行列で引いて、行列式を求めるのだ。



2列目に2列目+4列目を代入して



それから、2行目に2行目-4行目を代入したら、掃き出し法が楽になるのだ



4次の行列に次数が1つ減るから、

1列目に1列目+4列目を代入して

 
今度は、3列目に3列目に、(4λ)/(-i4)倍した4列目を足すのだ



また掃き出し法がしやすくなったから、次数を1つ減らして3次の行列になったのだ。

ここで、同類項でくくって行列式の外に放り出して、計算をしやすくするのだ。

それから、3行目に、3行目-1行目を代入して、掃き出し法を行うのだ。


2次の行列式まできたら、もう迷わないのだ!無敵の布陣なのだ!ちゃんと3重解と重解を出してやったのだ!」


フェネック「おおー!λの係数、マイナス4の5乗-1024がちゃんと出てるよ~すごいよアライさん!」

アライ「アライさんは、不滅なのだーーーー!そしてキリンさんも、すごい推理力なのだ!」

キリン「えっへん!アライさんも、器用だねー」

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こいつはいったいなんなのか、ロドリゲス的に考えて。(3列とも裏返してdet=1にしてね!)
1/2と1/√2ってことは、やっぱ三角定規だよなぁ


そして、

こいつは上のとどう対をなすのか

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もしかしたら、初等関数の網羅に似ているのかもしれない。

どうしてあれもこれも積分したら見たことのある形になるんだ!?ほかのパターンはないのか!?
とか
どうしてあれもこれもフーリエ級数で再現したらry
とか
どうしてあれもこれもテイラー展開したらry

実はみんな初等関数だからだったのです。

みたいな感じで

要は

だんだん慣れていけ

ってだけなのかもしれない

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水素原子の電子殻をLRLベクトルで表すと、4次元みが出てくるアレ

直和のところでつまずいている。

wikiを見ると物理・数学でいろんなニュアンスの直和があるっぽい。
全部同じものを指してる?直積との関係もさっぱりわからない


よくわからないので例題がほしい。
そんなわけで、大学図書館で放送大学「線形代数」の印刷教材を見つけた。

まず書店で見つけて、図書館にないかなーチラってやったんだ。
自宅から検索したんだけど、自分でも鬼畜な所業をしているかと思ったら、
借りれるということでそこまで鬼畜ではないことが証明された気がする。


とりあえず例題をいくつかやって、直和の概念を理解したい。

なんかカリキュラムが抜けて感じするんだよな。
実は九条カレンのいう正規直交基底っていうのもいまいちよく分かってない


それと、僕が見たLRLベクトルの話には
直和と書かれつつも直和の記号を用いずに単なる和の記号になってるのが意味わからないし
その下の行に足し算に対称になるように引き算の式も書かれてて

式の意味がますますわからない



放送大学の印刷教材で索引を見てみると
直和は本の中盤に出てくるのに対し
直積は最初の方に出てくる。まじで意味が分からない

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1981/04/04
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WinDOS.N臣T
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自己紹介:
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
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A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいズコー
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