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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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少し余裕と元気が取り戻せたころに、
改めてウルフラムαにぶち込んだ数式を見て愕然としました。

同じ行列を2回掛け算するところを、わざわざコピペして記述していたのです。
ハット2(2乗)ぐらいウルフラム先生は認識してくれるはずだろうorz

やっぱノってない頭でする作業は「何もやらない」よりもたちが悪い・・・



ウルフラム先生はですね、基本的には地球のインターネットと呼ばれるところに
にすごしていまして
若干ゃ草が生えてるところなので
そういったところでも演算しやすいようにウルフラム先生、あの、不連続な個体で
であと縄張りも大きいので、世界中のユーザーが使えるように。


賢さぁ・・・ですかねぇ。
高度な演算を、スッと、演算できるツールでして
結構抽象度の高い演算が好きなので
軽々と文字式の入った行列の2乗や3乗は余裕で演算してくれますのん

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もし6次や5次の前に、偶数次の4次で試してみたい場合は


こんな風にして無理やり行列式をプラスの1にしてユニタリ化するよりは
行列式はマイナス1でもいいから、


この形式を貫いた方がよさそうな気がしてきた。


といってもロドリゲスが通用しないのは痛い、というより
本質的に何か方針がおかしい気もする。
生成子の要素が4次行列で6つになってしまうのはよくない。

何かしらの理由で自由度3つを維持し、ロドリゲスのような状態に持っていけるほうが自然のような気がする。
それで、4次元の任意回転軸は2本なのかもしれない。
四角形の対角線の本数が2本(2つの三角形に分ける方法が2通り)なのと通じる何かがあるような気がする。

また、ロドリゲスで計算してみてわかったが
生成子の右上を全部マイナスしてしまうと、


このような行列が生成されてしまうから、これを参考に
生成される行列を全部0かプラスの1になるようにする生成子の符号のつけかたが、
4次元以上での右ネジと定義できるのではなかろうか、どうだろうか
(いちおう、マイナスが入っても、この3次行列のべき乗が6乗ループではなく3乗ループであることは保証されるようだ)

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ふと思ったんだけど

残念ながらこいつとそのべき乗の行列式は-1になってしまうので定義に当てはまらないが



こっちならモロに、特殊ユニタリ群の定義に当てはまるんだな。

しかも行列の中身は非負の実数、というか0か1の整数しかない。


det=-1
の場合も、準優勝というか惜しかったネ賞というかなんかこう
正負が異なるだけで単位的な実数ではあるんだから
準特殊ユニタリ群みたいな名前がつけられてはいないだろうか

ぱっと見たところないなぁ


特殊ユニタリ群というからには、こいつを作りだす生成子が存在するはずなんだな
特殊ユニタリの生成とは逆のプロセスかなんかを経て、生成子を逆算とかできないだろうか

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反転の概念を加えると、六角形になってしまう。(x^6=1の複素解)

と思う。


言い切っていいのかどうか悩むのは
以前読みかけた数学ガールのガロア理論のところで
ラングランズ双対群・・・じゃなくて、ラグランジュでもなくて、なんだっけ
なんかこう感覚的にやってると落とし穴にハマることがよくある
ってことを見た覚えがあるからだ



それが大事 固有値 固有ベクトル 対角化 グラフ理論 有向 重みナシ シンプル


つまり、
x^6=1の6つの複素解は、w=(-1+i√(3))/2(の複素共役)とべき乗と、その逆の符号ですべて表しきれるということ

反時計回りに
-w*
w
-1
w*
-w
1



ちょっと油断したら体を冷やしてしまって、飯食ったから喉の痛みは和らいだが
まだ頭痛が割りとひどい。さっさと寝よう。今日通院して、明日も通院なんだ。
ついでにいうと今週の金曜も通院で
来週の水曜は1年越しの通院なんだ




追記5/17+5:44
思い出した!
ラグランジュ・リゾルベントかもしれない!

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昨日まで8日間、海外旅行に行ってて、海外から「日記の予約投稿できてるかなー?」って、か細いながらも日本よりは先進的なWi-Fi環境で見守っておりました。


いきなり先週の月曜日の投稿がミスってましたね。一日慌てました。
今確認したところ、「5月8日」公開にするところを「5月18日」に間違えて予約していたようです。



以下のような内容でした。
========
5日の信号源を、ステップ関数から矩形波に変えてみました。




デューティー比50%の振幅1、周期5秒かな


まあ結果はおとといと変わんないんですが。


周期を2秒にすると、ちょっと変わりましたね。

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 7日の日記はちょっと間違えてましてね

こうじゃなくて


こうでした。



その上で、「それが大事」の状態遷移図をグラフ理論にした概念図がこれです。

それが大事 状態遷移図 アルゴリズム フローチャート グラフ理論 有向 重みなし
隣接行列 非負行列 単位行列 マトリョーシカ 行列のべき乗 6を法としたモジュロ演算

数学 線形代数 非対称行列

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ここ数日の、Xcosでシミュレートしたものがどんなモデルなのかを考えてみましょう。


  
積分前の関数をf(t)、積分後の関数をg(t)としてみますと

以下のような連立方程式が成り立ちます。

 
ここで、Aは増幅度(時定数の逆数)、U(t)をステップ関数とします。

関数f(t)を消去すると
 
が成り立ち、両辺を微分して微分方程式の形にしてやると


このようになります。


この微分方程式の意味するところは

速度の1乗に比例した空気抵抗を受ける落下速度のふるまい(終端速度)や

図のような直流RC回路のキャパシタンスCの両端に発生する電圧(抵抗とコンデンサ)、

図のような直流RL回路の抵抗両端に発生する電圧(抵抗とインダクタンス)
の、スイッチを入れたすぐあとの過渡応答(というか定常状態)そのものを表しています。
(このシミュレーション結果自体はうごかないみたいですが、あくまで図面作製ツールとして楽をしたかったのです!!!!)


一時はオペアンプで再現しようかとも考えましたが
積分回路や反転増幅回路などを使用して煩雑になると思い

あるとき出力結果を見てピンときました。
もっと簡単にモデル化できる現象だなと。

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ところで、この負帰還の増幅度は実は時定数の逆数なんですが
時定数を大きく、つまり「増幅度」を小さくしてやりますと(-1.25→-0.5)

ほとんど比例的、もっというとバイパスコンデンサなんかでバイアス成分(オフセット)を取り除くと、ほとんど三角波として出力されることがわかるかと思います



逆に時定数を小さく、つまり増幅度を大きくすると、ほとんど矩形波のまま近似されて出力されます。
(入力パルスの振幅や、スコープのy軸単位なんかを調整しないとうまく出力されないかもしれません)


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非負行列 ペロンフロベニウスの定理 有向重みなしグラフ理論 隣接行列
行列のべき乗 単位行列のネスト 6を法とするモジュロ演算

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scilabに計算してもらったよ!


scinotesの記述は以下です!

========

A=[zeros(5,1),eye(5,5);1,zeros(1,5)]
A^2
A^3
A^4
A^5
A^6
[P T]=spec(A) //固有値・固有ベクトルを計算してます
T2=[T(1,1),T(2,2),T(3,3),T(4,4),T(5,5),T(6,6)]; //固有値行列の対角成分を抽出
Targ=atan(real(T2),imag(T2))*180/%pi //対角成分(複素)の偏角の調査(deg単位)
Tabs=abs(T2) //対角成分の絶対値の調査
Parg=atan(real(P),imag(P))*180/%pi //固有ベクトルの偏角の調査(deg単位)
Pabs=abs(P)*sqrt(6) //固有ベクトルのノルムを調査(6つあるので√6を掛け算)



=======
以下計算結果

べき乗計算


固有値・固有ベクトル計算


ただ、これだとわかりにくいので、極座標にします。




つまりこういうことっすね。

ちなみに†マークはエルミート共役の意味で、転置して複素共役をとる演算を意味します。
Pがユニタリなので、Pのエルミート共役は逆行列になるんです。





追記7:53間違えたあああああ><
ここの部分
Targ=atan(real(T2),imag(T2))*180/%pi //対角成分(複素)の偏角の調査(deg単位)
Parg=atan(real(P),imag(P))*180/%pi //固有ベクトルの偏角の調査(deg単位)
実部と虚部が逆でしたああああごめーん!
正しくはこうです
Targ=atan(imag(T2),real(T2))*180/%pi //対角成分(複素)の偏角の調査(deg単位)
Parg=atan(imag(P),real(P))*180/%pi //固有ベクトルの偏角の調査(deg単位)
したがって結果も違ってきます。


なお、Pの偏角を求める際に、cleanという「誤差を丸める」演算を追加して見やすくしています

Parg=clean(atan(imag(P),real(P))*180/%pi)

こんな感じで。



T^nの1行目1列目、(-1)^nを書き忘れたので、各自読みかえておいてちょうだい。ごめん

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これ↓ができあがるまで組み上げてみましょう。



まずは増幅器(定数倍)から。
数値計算のところのGAIN_fを貼ります。ほかにも色々GAINがあるのですが、とりあえず_fでいいみたいです。



次に、ステップ関数を貼ります。
「信号源」から選んでやります。


次に、時間シミュレーションのための時計を貼り付けます。これも信号源からです。
赤矢印と黒矢印の時計がありますが、赤矢印のほうを使うようです。
クロック_cと書いてあるやつのようです。



信号を混ぜるための、アナログ加算器を貼ります。入力が3つあるようですが、ここでは2つしか使いません。数値計算のパレットにあります。



積分器を貼ります。「連続時間システム」のところにあります。
何の略かはわかりませんが、_mとついた積分マークを貼ります。



観測者を用意します。
「出力・表示」のcスコープとかいうやつですね。
赤矢印1つ、黒矢印1つのやつです。



 
増幅器に、逆に向いてもらいたいので、増幅器右クリックで、「反転」させます。



黒矢印・赤矢印同士をつなげて、システムを構築します。
線の途中から線を引こうとすると、普通に線が分岐します。
斜めになっても、つながった時点で大概まっすぐに直してくれます。


増幅器マークをダブルクリックして、のGAINをマイナス1.25倍にします(負帰還)
 

 


システムができあがったので、細かい設定に入ります。

まずはステップ関数の設定をしましょう。


次に、スコープの設定をしましょう。
最小マイナス2、最大2になるようなグラフにしたいので、このように記載します。
また、先ほどは5までの時間でステップが発生する仕組みでしたので、その2倍の10までの時間スパンで見てみることにします。


最後に、「シミュレーション→設定」から



積分終了時間を設定して、実行すれば「➡」(こんな感じの再生ボタンがあるはずです)





以下の過渡応答ようなグラフが現れるはずです。
 


僕も習いたてなのでわからないことだらけですが
どの部品がどのジャンルのパレットにあるのか、ちょっと紛らわしい気がしますね。
あと、貼るべき部品もちょっと紛らわしいです。
積分や時計、スコープや増幅器の部品がいくつかあるので、どれを使ったらいいのか迷いそうです。

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ステップ関数を積分した出力を、1.25倍して負帰還したときの応答の例のようです

どこぞの過渡応用のような時定数が目立つ曲線になってました。

これをオペアンプとかでやりたいんだけどなあ
困ったことに、直流電池と抵抗だけのシンプルな回路においても何かがうまくいきません
陰解法がどうとかいいやがります。

電流計を設置しようとしたらエラーが出るし、いまんとこわけわからんです

(本が10年前のもののようで、当時の「scicos」記載だから、なんか不安なんすよね・・・)

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この状態遷移図に相当する有向重みなしグラフの隣接行列は以下のようになります。
 


つまりこういうことです。


この2乗である

は何を意味するのかというと


このように、2フレーズ連続で歌う歌い方がも6通りしかないことを意味しています。(行列の中に1が6つしかない)


3乗や4乗、5乗も同様で3,4,5フレーズ連続で歌う歌い方も6通りしかないことを意味しています。
 
 







 




そして、6乗は単位行列です。

これが意味するのは

起点のことなる自分自身への一周が、6パターンだけあるよということです。

無向グラフや、重みつきになると、もう少し複雑になると思います。
(重みつきはまだ計算したことがありません。我々は習いたてなので)

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トレースがゼロなので、うっかり固有値を求めてみたくなりました。
まず行列式は、

このようなマトリョーシカ展開の繰り返しなので、-1になります。


この
トレース=ゼロ、デターミナント=マイナス1をヒントにしておきましょう。



これも、同じような掃き出し法の繰り返しで、マトリョーシカ展開ができ、
簡単に解ける6次方程式になりました。


ガウス平面の上下左右対称、ど真ん中の六角形の状態に固有値が並んでいるわけです。

つまり、非負行列に対応するペロンフロベニウスの定理は>(大なり)ではなく≧(大なりイコール)であって
横長・右寄りだけでなく、上下左右対称のど真ん中も含んでいたということになります。




では、固有ベクトルはどうなるかといいますと
 
おそらくこうなるはずです。

規格化もしてやると、ユニタリ行列の性質「逆行列がエルミート共役」が使えて便利でしょう。



しかしながら、このような煩雑な固有値・固有ベクトルを求める以前に

この行列は6乗すると単位行列に戻るのです。A^6=A^0=Eということです。

つまり、固有値・固有ベクトル、これらは少しも大事ではなかったのです!!!!!1

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こいつの特性方程式が6次方程式なのも忘れて無我夢中で解いてしまった。


λ^6=1になったからいいものの、ガロア理論の範疇超えてたの忘れてたから
一歩間違えたら死んでいたかもしれない


かといってまったくあてがなかったわけでもなく
トレースがゼロで行列式がマイナス1になるから、
つい、なんとかなると思ってしまったんだ。

いや、なんとかなると思ったかどうかも定かではない。
固有値がカブるかどうか気になって仕方なかったんだ


λ=exp(jnπ/3)



やぁ、ゴールデンウィークははしゃいでしまうね。

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1981/04/04
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