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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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昨日までの、35を13でわったあまりの判別方法

証明しようにも証明するべき式がうまく確立できなくてずっとモヤモヤしてた。

今朝さっきトイレに入って、ああそうか両辺を4倍すれば割り算入らないからいけるやん!

ってことにようやく気づいた。


m,nを整数として、
10m+n
って数があったとすると、これを13でわったあまりd1は
mod(10m+n,13)=d1

mod(4n+m,13)=4d2

のd2と等しいので、d1=d2

これを証明すればいい。
たぶんこれでかつる。


modが邪魔なので
勝手な整数L1、L2を用意して

10m+n=13*L1+d1
4n+m=13*L2+4*d2
のd1=d2である(L1=L2とは限らない)

という問題に変換できそう。


2本目の式から
m=13L2+4d2-4n
を1本目の式に代入して
10(13L2+4d2-4n)+n=13L1+d1

130L2+40d2-40n+n=13L1+d1
130L2-13L1+40d2-d1-39n=0

13(10L2-L1-3n)=d1-40d2

もしd1=d2=だったら、
13(10L2-L1-3n)=-13*3d
両辺ともに13の倍数になる


というのはやり方が強引だろうか??


もしこの証明ができたら、13や7以外の、4とか5とか17とか11とか3とか
必要だったりまったく不要な下位互換だったりの任意の数で割ったあまりの判別方法も
作りだせるんじゃないかって期待してたんだけど
うーん…これだけだとどうなのかなあ?いまいちピンとこない



今日は起きたばっかりでストレスもほとんどなかったから
整数を扱っても頭の端っこがキューっとならなかった。
どうも大学を出てから整数を扱おうとすると時々不調になる。
元々整数論みたいの好きだったと思うんだけどね、
意味もなく3や9で割ったあまりとか計算しまくってたし
でもなんかこう、あらかじめ得意だった分野をあとから学業で学ぶときの僕って
舐めプする癖があるみたいで、そういうのに限ってダメになる傾向があるような気がする

整数論とか確率とか、あるいは英語全般とかね


整数論は特に、「ああ、デジタルね~」って感じで舐めプする人が多いんじゃないかって
数学ガール読んだときに思った

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昨日は、「下1桁を4倍してそれ以外と足して13で割る」っていうのは
本来は「下1桁以外を4分の1して下1桁と足して13で割る」から派生したオマケなんだよ

っていうのを強調したくて、つい忘れていたんだけど、別アプローチがあるんだ。


というのは、「下1桁を4倍してそれ以外と足す」までは同じなんだ。

35を13で割ったあまりの例で見てみよう。

下1桁5を4倍して20
20と3を足して23

ここから事情が変わる。
ここで23を4で割ってさらに、それを13で割ったあまりを考えるんだけど

23は4の倍数じゃない。

そこで、今度は23に13の整数倍を足し引きして、4の倍数に持ってくる。
ちょうど、23+13=36が4の倍数になっている。
36÷4は9だ。

だから、元の数である35を13で割ったあまりも9
昨日の話とつじつまが合っている。


計算尺的な楽しみはこのアプローチでも相変わらず残ってくれる
4等分するときに物差しの折り紙をしたいのだ。
都合のいいことに、折り紙をした際の誤差は、整数を扱っているからという理由で
キズモノのCDをコピーするみたいにノイズを消し去ることができる。

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下1桁5を除いた3を4分の1したいが、3はそもそも偶数ですらない。

なので、3に13の整数倍を足したり引いたりして、4の倍数になるまで続ける。
3+13=16
4の倍数になった。

16を4等分して4

これに下1桁5を足して9

つまり、35を13で割ったあまりは9

35÷13=2あまり9
合ってる。


本来はこうなんだ。
でも、「あまり」じゃなくて「割り切れるかどうかの判定」だけ知りたい場合は
下1桁以外を4等分するより、下1桁を4倍するほうがはるかにたやすいので、みんな(?)こっちを使うんだ

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chouchoが舞えば気象兵器が儲かる
ローレンツ方程式
ほれ3行

'(ダッシュ・プライム)は微分を意味するので、この3行の方程式は連立微分方程式です。時間tで微分します。
なお、非線形ですので行列は帰って、どうぞ。

x,y,zが求められるべき関数で、x(t)、y(t)、z(t)らしいです。

p,r,bはパラメータです。
p=10、r=28、b=8/3っていうのが割りと注目されるらしいです。

今回数値計算でシミュレーションしましたが、初期値はx=10、y=12、z=15を参考にしました。

一度オイラー法での差分方程式によるシミュレーションを試しましたがすぐに変な値に収束してしまうので、ルンゲ・クッタ法でやり直したらExcelでもうまくいきました。陰的とかブッチャー配列とか知りません。古典的でやりました。



ルンゲクッタ法は以上のような手続きを取るそうです。
積分における短冊・台形近似をシンプソンの公式にしたやつの微分方程式版と言われて言葉ではなんとなく把握したけども、いまいち理解していません。

ですので、応用が利かず、たとえばy'=-xz+rx-yの場合任意の関数fはf=-xz+rx-yなのでf(x,z,y,t)なんでしょうが今はx,zのことは考えなくていいとして
yにxとかzとか掛け算されてたらどうしよう!?gkbrとか思ってたんですが3本の式とも杞憂に終わってしまって助かりました。
たとえば
y'=xyとかだったらどうしよう?って話でした!


(PC版ではクリックすると原寸大が見れます、スマホ?ピンチアウト(スワイプみたいなあれ)でなんとかなるんじゃないすか(適当))
 

xの構成方法と、xに関するk1~k4の計算方法を図に記述しました。
y,zも同様です

この状態で、h=0.01、n=2000くらいまで計算させました。

それからですね、

こんな感じの3次行列を用意します。
「x軸回転」のすぐ下にdegreeの角度θ、そのさらに下にradの角度θを格納し、行列の意味は

こんな感じです。これをy軸回転、z軸回転で同様に繰り返し

このような感じに並べます。
一番下の3次行列はx,y,z、3軸回転行列の積で

このような意味合いです。
=MMULT(MMULT(x軸:x軸,y軸:y軸),z軸:z軸)
という演算をやっています。配列全体に染み渡らせたいときは、演算させたい範囲を囲ってctrl+shift+エンターです。
なお、sinの符号は、片方がもう片方の逆符号であればどっちがプラスでもいいです。どうせ逆回転になるだけなんで。


そうして出来上がった3D回転行列を、
元のx,y,zに作用させましょう。
=MMULT(x:z,$合成行列)

そうして出来上がった新しいx,y,z座標のxとyだけをグラフに反映させると

このようになります。

x→y→z軸の順番で、180度ずつ回転させてますので、全部の回転が済めば元の回転角に戻ります


この図が動く仕組みを説明しましょう

まず
now()-today()
を入力します。
関数now()は時刻込み今のの日付のシリアル値を出力します。
関数today()は、時刻抜きの今日の日付のシリアル値を出力します。

シリアル値というのは、1900年1月1日の0時0分0秒を「0」とし、24時間を「1」と定義した表現方法なので、
たとえば同日の朝6時というのは0.25という数値になります。

6:00と打って、書式をシリアル値から数値に戻すと、0.25になっているはずです。
また、1900/2/1と「イコールなしで」打てば、1月1日から数えて32日目なので、書式を数値に戻すと32になるはずです。
これらを踏まえて、日付に半角スペースを入れてから時刻を入力すると、たとえば
1900/2/1 6:00:00
でしたら、32.25という数値になります。


now()はたとえば今が2019/6/4の10:57だったら
2019/6/4 10:57のシリアル値を算出するので

43620.45758

ぐらいの数値になります。

実はこの数値、一番小さい桁を見ると、ミリ秒単位ぐらいで動いています。
F4を連打するとうごめいているのがわかるかと思います。

これを動画の媒介変数に用いることができます。

たとえばnow()の値を700万倍に拡大してグラフに反映させることができれば、目に見えて動きます。
が、整数部が5桁もあるので、700万倍したらオーバーフローしてしまいます。

これを解決する手っ取り早い方法として、(色んな方法がありますが)「関数today()で関数now()を引き算する」というのがあげられると思います。

必ず1未満の数値になりますし、引き算という演算を行っているため、Excelはシリアル値ではなく数値と勝手に解釈して出力してくれます。


今回は、180度の回転を3回繰り返したいので、180×3=540°の周期が必要です。
ですので、now()-today()を700万倍した数値を540で割り算した剰余(あまり)が役に立ってくれます。
剰余の関数はモジュロ演算なので、modという関数です。
A=mod(700万*(now()-today()),540)
という演算を行います。


x,y,z軸の回転角θ1、θ2、θ3のdegreeにそれぞれ
θ1=IF(A<=180,A,180)
θ2=IF(A<=180,0,IF(A<=180*2,A-180,180))
θ3=IF(A<=180*2,0,A-180*2)

と入力すると、上のように動くグラフが作れます




バタフライ効果という名前の由来そのものが
・「蝶が舞えば気象兵器が儲かる」

・ローレンツアトラクタのグラフが蝶のように見える
の2種類あるというのがなんとも、
2つの過去が1つの未来に収束したみたいで興味深いです

シュタッL・ψ・卍=3ゲー

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この複素積分が楽しかった。

の線Cに沿って


を計算するんですけどね、まずはコーシーの積分公式を使った方法から。

 が の範囲内でごっそり正則なので、これをf(z)と置きます。

コーシーの積分公式では以下のように

積分が微分で表されてしまうので、今回の例題の場合はn=0、α=-iとすると、簡単に

解を導出できてしまいます。




========
それでは、もう一つの方法、コーシーの積分定理部分分数分解を用いた方法もやってみることにしましょう。

2つではなく3つの積になっているのですが、まずは(z+3)と(z-3)を部分分数分解して、(z+i)に分配して掛け算されるとみなします。


この式を恒等的に満たすAとBを見つけます。

A(z+3)+B(z-3)=z
(A+B)z=z
なので、A+B=1
もう1つの式が
3(B-A)=0
なのでA=B
これを1つ目の式に代入すると、A=B=1/2が出てきます。


となったので、分配して、再度部分分数分解します。



つまり元の積分は以下のようになりますが


線Cで囲まれた領域の中にz=±3はないので、1/(z±3)の積分は正則によりゼロになります。

よって元の式は以下のようになり、

結局、さきほどの積分公式(積分定理ではなく)を使った計算結果と見事一致します。



コンピュータの技術の積層のボトムアップ感と違って
複素解析のまほう!はどんどん略されていくトップダウン感がありますね

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今日は仕事が疲れたので、ファミマで複素解析の勉強しませんでした。

得た知識が曖昧なので、今日は割りと定性的なネタで日記をつぶします。

昨日の寝る前に、対数で何が得られるのか?対数という演算で何をやっているのか?

ということを考えていたら、

指数(とかオイラーの公式とか):極座標→直交座標変換

対数:直交座標→極座標変換

という意味合いを見つけました。(ちょう今更なので、デジャブってるかもしれませn)

そして、対数では、極座標に変換したデータを、実部に絶対値、虚部に偏角として出力し

足し算をしている!

ここちょっと驚きました。絶対値と偏角は、足し算できる間柄だったんですよ!!

じゃあこれを物理の現象に翻訳したらどうなる!?

僕は電気工学出身なので、一番身近なものだと、インピーダンスとかアンプのゲイン・位相とかそっちになります。量子力学はいまいちよくわかりません。

対数を取ると、電気工学的な意味合いでは、ゲインと位相を足し算していることになります。
まあ、無次元量同士なら足し算しても問題ないですし、実際無次元量として足し算しています。

ゲインとかもデシベルにしてから位相と足し算しますしね。
デシベルにする時点で、基本となる増幅率で割り算してから対数を取っているので、もちろん無次元量になってます。

興味深いのは、ゲインも位相も、周波数特性としてボード線図にすると
ゲインは両対数、位相は片対数を取って、必然的に対数(無次元)にしている点です。

おそらく、縦軸にゲイン・横軸に位相を取ったような作図があるはず…
ニコルス線図かナイキスト線図か、それともスミスチャートか。なんだったかな





ところで、複素積分するとよく出てくる2πiとかいうやつ。
なんで積分した結果に出てくる語尾みたいのが、純虚数なんすかね??

僕の中のイメージではまだ、複素平面をぐるりんと回して右ネジの法則~みたいなふわっとしたイメージしかないので
もしそれなら複素平面の紙面に垂直な成分~?って稚拙なイメージしか出てきません。

しかし、あくまで元が2つの複素数を扱っているわけだから、複素平面の外側を考えることに意味がないのもなんとなくわかって、モヤっとしますね。


この辺、ベクトル解析とかだったらどうなるんだろう?
アンペールの法則とかに相当するよね?たぶん。あるいはストークスの定理かなあ?
本にはグリーンの定理の複素版って書いてた気がするけど、グリーンの定理がいまいちわからない


線積分や面積分についてもまだまだ知らないことばかりだし、回転楕円体の積分(二重積分?)とかとの関連もまださっぱり。


で、おとといの日記だったか、1/zの積分は有限なのに、1/z^2とかのそれ以外のやつはゼロになるってやつが妙に気になりだしてて

じゃあ、周回積分で有限になるのって、逆1乗則と密接な関係でもあるの!?とか考え始めたりして。

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複素解析


この複素積分をwwwww


この経路でwwww

経路CをC1,C2,C3,C4に分けます。

C1:z=1+it
C2:z=-t+i
C3:z=-1-it
C4:z=t-i

媒介変数tは実数で、範囲は4つとも-1≦t≦1です。


2項目、3項目、4項目の分母分子にそれぞれ、-i、-1、iを掛け算すると、
4項とも同じ数式になるので、1項目の4倍になります。



定積分を行うと、このような対数になります。
しかし中身が複素数に拡張された対数なので、気を付けて計算しなければなりません。


指数やオイラーの公式に立ち戻って考えますと、以上のようになります。
複素数の場合、わりと常に多価関数を意識する必要がありますが、今回は特に意識しなくて大丈夫でした。

与式はA-Bを計算したいので、最終的に√2の対数の項が打ち消しあって、
iπ/4が2倍され、さらに4倍されるので、



積分の答えは2πiと、昨日の定理と同じ値になることが確認できました。

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ここんとこ、割りと毎日「複素解析」の演習問題に手を出せているので嬉しい。


20年前くらいにやった複素積分や留数定理をリベンジしようと本を買ったんだけど
まさか、複素積分の手前に複素微分があるのをまったく認識していなかったとは思わず
自分で呆れかえってしまった。


しかし、積分が出てくるまで、この複素微分、どう応用したらいいのか全然思い浮かばない。
だから当時は習っても簡単に忘れ去ったのかもしれない。


「領域」や「正則」、「線(経路)の媒介表現」など、よくわからずに習った部品が次々と合体していく。コイツはアツい!フルパワーグリッドマンだ!!

nを整数、aが複素定数、zを任意の複素変数とすると
aの周りにおいて(z-a)^nをzで積分した場合

n=-1でだけ積分値が2πiになり、それ以外のnでは0になるという、大変お得な定理の証明を習った。
なお、(z-a)^nは正則な関数である。(らしい)


たぶん、そのうちこれを部分分数展開とかやって、留数定理に持っていく算段だろう。
少なくともフーリエ・ラプラス逆変換には応用が利くし、
ベクトル解析とのアナロジーも結構あると思う


そいで、この証明がまた萌えるもので
まるで直交関数系みを感じてすこなのだ。


いつもファミマで数式いじってるので、書類が車の中にあってうろ覚えなんだけど


と置いて、複素数zではなく実数tについて積分するんだったっけな
置換のための準備としてzをtで微分しておくとこうで


n≠-1の場合は

n=-1だったら

な?なかなか直交関数系みあふれるじゃろ?^^



ためしに、1/zをz=0周りの正方形の経路で積分した結果も載せたかったけど明日にします

20年ぶりにようやく実体がつかめるようになりました。

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(円1)(円2)(円3)(円4)<0

ってやったんですけど、領域4つだとはっきり、排他的論理和じゃないことがわかってきますよね。
というか、円を(|z-a|-r)って表現して、それを掛け算してる時点で実数確定なんだから、プラスかマイナスしかないわけですよ。

そんなんに都合よく4つの円の排他的論理和だけを振り分けるほうが無茶ブリでしたよね


でも、この領域のイメージの仕方自体は排他的論理和
というか加法標準形なんですよね。

(円1>0&&
円2<0&&
円3<0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2>0&&
円3<0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2<0&&
円3>0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2<0&&
円3<0&&
円4>0)

||

(円1<0&&
円2>0&&
円3>0&&
円4>0)

||

(円1>0&&
円2<0&&
円3>0&&
円4>0)

||

(円1>0&&
円2>0&&
円3<0&&
円4>0)


||

(円1>0&&
円2>0&&
円3>0&&
円4<0)


ほらね、組み合わせ=領域の数が8通りあるでそ?


2つ以下の掛け算じゃないと排他的論理和にならず、
領域レイヤーの枚数が奇数毎重なってるところが条件を満たす」にしかならんのですよ
要素3つのベン図みたいの作りたかったらまるで想像と逆の領域が血塗られてしまいますわね

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Π{|z-bn|-cn}<0

n番目のn:自然数
z、bn:複素数
cn:実数

この総乗Πの掛け算の個数nを、そのまんま3より増やして大丈夫なんだろか??

n個の集合のベン図(排他的論理和XOR)みたいにできるんだろか??

>0だったらどうなるだろう?

ΠじゃなくてΣだったら?さすがにそれはないか

でもなんでORにXつくのがデフォみたいになってんだろ

そうだ、=0のときも考えてみると何かわかったりしないかな

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(|z+i|-2)(|z-i|-2)<0

{(|z+i|>2)&&|z-i|<2)}
||
{|z+i|<2)&&|z-i|>2)}

z=x+iy
(IMABS(IMSUM(COMPLEX(x,y),COMPLEX(0,1)))-2)*(IMABS(IMSUB(COMPLEX(x,y),COMPLEX(0,1)))-2)<0

たとえ明日亡くしてもあなたを失っても出来る限りの笑顔で輝きたい

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最近、ブログを書こうとするたびにログイン画面になるのでツライ。
いつも久しぶりだ。またこうして、毎日更新に戻れることを夢見ている


このガリガリ計算自体、久々だったし、この過程をたのしいと思ったのもすげえ久々だった気がする
そもそも、紙に殴り書きして字が汚すぎて計算がまとまらず
PCでやろう!ってなるいつもの流れがもう何ヶ月前の話だったか


こいつもたのしかったな。
(|z-i|-2)(|z+i|-2)<0


複素解析の本を買ったんだ。
本、というか電子書籍も含めてなんだが紙媒体の本を買うのはもっと久しぶりで
はやいとこローラン展開とか留数定理とかやりたいんだけども
途中で線の定義とか領域の定義とか出てきて
高専で一度通ったはずだから、挫折したところからやり直したいのに
どこまで読んだんだよ!?状態で困る

まあ、わかる例題・得意な例題を解いて数式にマウント取ったり優越感や成功体験に浸ったりするのは決して無駄ではないとは思うけども。

弧状連結とか初めて聞いたし
なんだよ領域って!なんで境界線を含まないんだよ!って感じ。
のちのち伏線になるところを見逃していたら嫌だから、この段階で例題を解いているが
はやく目的の部分に到着したい。

線には向きがあるとか、なんだよそれぇぇ!


a(u^2+v^2)+bu+cv+d=0
が円(半径が∞なら直線)の方程式とかさらっと出すなや!しらんがな!!!!!

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備忘録

とりあえず多項式までは自力で導出できた。ウルフラムαで検証済み。

フェラーリの方法に基づいて計算を進めると

こんな式になって、xだけでなくyも4つとも実数であることはウルフラムαで確認できた。

これをさらに解き進めるための3次方程式の係数は

さらに3-1=2次の係数を消して

にするんだけど、このp1とq1の値がそれぞれこれ。


今はまだまとまりないけど、とりあえずこんな感じ。

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3次方程式のカルダノの方法にはだいぶ慣れたんだけど
4次方程式のフェラーリの方法にはまだまだ慣れてないことが多く(自動化は成功しているが、手計算に慣れてない)

色んなタイプの4次方程式を解いたりしたいところなんだけど、
とりあえず1つの例題を解くことに集中してから、のステップのような気がする。


これの、4次行列式のほうを、手計算でやってみたい。

と思って昼間、道の駅で行列式の展開は自力でやったんだけど2次と1次の係数に自信がなく
(tr:ゼロ次とdet:3次の係数は合ってた。解と係数の関係より)
scilabなりウルフラムαなりに頼るとなるとどうしても帰ってからPCを使って計算せざるを得ないから
方程式を解くところまでに絶対に至らないジレンマに悩まされつつも


帰ってきてからは帰ってきてからで、平日と今日の運転の疲労で、実に充実した昼寝生活を送ってしまい
晩飯もやや量が多めで、逆流性食道炎持ちには食欲のコントロールがきかず
またしても眠くて仕方がない

上の図の、4次方程式、実は行列の固有値としては先日ウルフラムαにぶっ込み済みで
(4次方程式自体ぶっ込み済みだったかもしれない)
近似値の小数点でしか表してくれなかった。
(無料版の限界っぽかった)

これを、3次の係数がゼロの4次方程式に変形しておく下ごしらえをしたら、
代数的な返答をしてくれるだろうか??

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各n×n行列につき1つしか例題が作れない(5次方程式自体も難しいし、2次方程式では対称行列になってしまう)ものの
このように行列の形で与えておいて、トレースや行列式が綺麗な形であることを保証しながらも
固有値そのものはさほど綺麗ではないが、どす黒くもないことを保証してくれる。

実用的ではないかもしれないが、テストの問題に向いている。
問題を考える方も楽しいし
解く側も「おっしゃ!これ『そのまままっすぐ行け』フラグビンビンやん!うぉぉぉぉぉ!」
って気分にさせてくれる(特に2重根号を引っぺがすあたり)
両者win-winの問題を作ることができるコツはたぶん、行列に割りと多く潜んでいると思う


理屈は僕にはまだわからないものの
どうも任意の整数n次におけるこの行列式が作るn次方程式の解つまり固有値は全部実数に限られるらしい(あくまでも経験則、こういう形の行列の名前を知らないのも大きい)

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男性
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1981/04/04
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WinDOS.N臣T
趣味:
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介:
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます
例:H→7番目、XP→15(P)×26+23(X)=413番目。
A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいズコー
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