Π{|z-bn|-cn}<0

Π{|z-bn|-cn}<0

n番目のn：自然数
z、bn：複素数
cn：実数

この総乗Πの掛け算の個数nを、そのまんま3より増やして大丈夫なんだろか？？

n個の集合のベン図(排他的論理和XOR)みたいにできるんだろか？？

>0だったらどうなるだろう？

ΠじゃなくてΣだったら？さすがにそれはないか

でもなんでORにXつくのがデフォみたいになってんだろ

そうだ、=0のときも考えてみると何かわかったりしないかな

忘れないで2つの月が、重なり合うときを～♪

(|z+i|-2)(|z-i|-2)<0
↓
{(|z+i|>2)&&|z-i|<2)}
||
{|z+i|<2)&&|z-i|>2)}

z=x+iy
(IMABS(IMSUM(COMPLEX(x,y),COMPLEX(0,1)))-2)*(IMABS(IMSUB(COMPLEX(x,y),COMPLEX(0,1)))-2)<0

たとえ明日亡くしてもあなたを失っても出来る限りの笑顔で輝きたい

複素解析

最近、ブログを書こうとするたびにログイン画面になるのでツライ。
いつも久しぶりだ。またこうして、毎日更新に戻れることを夢見ている


このガリガリ計算自体、久々だったし、この過程をたのしいと思ったのもすげえ久々だった気がする
そもそも、紙に殴り書きして字が汚すぎて計算がまとまらず
PCでやろう！ってなるいつもの流れがもう何ヶ月前の話だったか


こいつもたのしかったな。
(|z-i|-2)(|z+i|-2)<0


複素解析の本を買ったんだ。
本、というか電子書籍も含めてなんだが紙媒体の本を買うのはもっと久しぶりで
はやいとこローラン展開とか留数定理とかやりたいんだけども
途中で線の定義とか領域の定義とか出てきて
高専で一度通ったはずだから、挫折したところからやり直したいのに
どこまで読んだんだよ！？状態で困る

まあ、わかる例題・得意な例題を解いて数式にマウント取ったり優越感や成功体験に浸ったりするのは決して無駄ではないとは思うけども。

弧状連結とか初めて聞いたし
なんだよ領域って！なんで境界線を含まないんだよ！って感じ。
のちのち伏線になるところを見逃していたら嫌だから、この段階で例題を解いているが
はやく目的の部分に到着したい。

線には向きがあるとか、なんだよそれぇぇ！


a(u^2+v^2)+bu+cv+d=0
が円(半径が∞なら直線)の方程式とかさらっと出すなや！しらんがな！！！！！

あの4次行列式の特性多項式

備忘録

とりあえず多項式までは自力で導出できた。ウルフラムαで検証済み。

フェラーリの方法に基づいて計算を進めると

こんな式になって、xだけでなくyも4つとも実数であることはウルフラムαで確認できた。

これをさらに解き進めるための3次方程式の係数は

さらに3-1=2次の係数を消して

にするんだけど、このp1とq1の値がそれぞれこれ。


今はまだまとまりないけど、とりあえずこんな感じ。

ねむい

3次方程式のカルダノの方法にはだいぶ慣れたんだけど
4次方程式のフェラーリの方法にはまだまだ慣れてないことが多く(自動化は成功しているが、手計算に慣れてない)

色んなタイプの4次方程式を解いたりしたいところなんだけど、
とりあえず1つの例題を解くことに集中してから、のステップのような気がする。


これの、4次行列式のほうを、手計算でやってみたい。

と思って昼間、道の駅で行列式の展開は自力でやったんだけど2次と1次の係数に自信がなく
(tr：ゼロ次とdet：3次の係数は合ってた。解と係数の関係より)
scilabなりウルフラムαなりに頼るとなるとどうしても帰ってからPCを使って計算せざるを得ないから
方程式を解くところまでに絶対に至らないジレンマに悩まされつつも


帰ってきてからは帰ってきてからで、平日と今日の運転の疲労で、実に充実した昼寝生活を送ってしまい
晩飯もやや量が多めで、逆流性食道炎持ちには食欲のコントロールがきかず
またしても眠くて仕方がない

上の図の、4次方程式、実は行列の固有値としては先日ウルフラムαにぶっ込み済みで
(4次方程式自体ぶっ込み済みだったかもしれない)
近似値の小数点でしか表してくれなかった。
(無料版の限界っぽかった)

これを、3次の係数がゼロの4次方程式に変形しておく下ごしらえをしたら、
代数的な返答をしてくれるだろうか？？

量産には向いていないが、問題製造機の例

各n×n行列につき1つしか例題が作れない(5次方程式自体も難しいし、2次方程式では対称行列になってしまう)ものの
このように行列の形で与えておいて、トレースや行列式が綺麗な形であることを保証しながらも
固有値そのものはさほど綺麗ではないが、どす黒くもないことを保証してくれる。

実用的ではないかもしれないが、テストの問題に向いている。
問題を考える方も楽しいし
解く側も「おっしゃ！これ『そのまままっすぐ行け』フラグビンビンやん！うぉぉぉぉぉ！」
って気分にさせてくれる(特に2重根号を引っぺがすあたり)
両者win-winの問題を作ることができるコツはたぶん、行列に割りと多く潜んでいると思う


理屈は僕にはまだわからないものの
どうも任意の整数n次におけるこの行列式が作るn次方程式の解つまり固有値は全部実数に限られるらしい(あくまでも経験則、こういう形の行列の名前を知らないのも大きい)

備忘録

僕が、というより今回はPCが忘れないための備忘録。
ガチでデータぶっ飛びかねない最近。
なんかはるか昔のデジャヴがよみがえりそうな、Excelの致命的な不具合のせいでな。
Excelは表計算を行うことを想定したソフトなので、せめて最低限表計算っぽいしぐさを残してくれないとバグるかもよ？(オートシェイプとか数式エディタしか入ってないファイルはバックアップしないかもよー)ってか！？

5次to4次行列式の説明

前回の続きで、5次の行列式の余因子展開をして、4次の行列式にします。


この式、前回はn=3でしたが、今回はn=4をやって、nを一般化するためのコツを探ります。


まず、5行目の1列目以外を、1列目に揃えるために、5のべき乗を行列式の中身に掛け算して、その代わり全体を5のべき乗で割り、帳尻を合わせます。


それから
2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目
5列目←5列目－1列目
を行います。




5次行列から4次行列への縮小を行います。

今回のような、5次行列式から4次行列式への縮小の場合の符号は
1行1列目から数えた5行1列目が4回の移動だったため、符号反転しません。

つまり、n+1次からn次への縮小の際に、(-1)^n*n!と計算していた(-1)^nが、今回はn=4なので
(-1)^4=1なのです。
前回はn=3だったので、(-1)^3=-1だったわけです。

それでは、前回のように同類項などを整理していきましょう。
2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目
5列目←5列目－1列目
を行うと、以下のようになります。

一般に、以下のことが言え、

また、その拡張として、以下のようなことが言えます。

n、Lは1以上の整数、mはゼロ以上の整数、kは整数とします。


式をシンプルにするために、
4列目←4列目－3列目
を行って5の3乗を吐き出し

さらに、
3列目←3列目－2列目
を行って5の2乗を吐き出し

2列目←2列目－1列目
を行って5を吐き出すと、以下のようになり



前回同様、

一皮むけたやつの、階乗倍(と符号)が、元の行列式と等しくなります。


1次縮小した行列式を整理するにあたって
上述の赤い太字で書いたところがコツで
一般のn次の行列式にするにあたって

n列目←n列目－(n-1)列目
(n-1)列目←(n-1)列目－(n-2)
(n-2)列目←(n-2)列目－(n-3)
(n-3)列目←(n-3)列目－(n-4)

などと、一番右の列から順次左の列に注目して、値を操作していくとよいと考えられます。
(注目している列の1個左の列を等倍で引く)

4次to3次行列式の説明

先日までの続きです。
発端は、ツイッター上にあげられた、「月を入力するとその月の日数が算出される多項式」
の作り方でした。


これを証明するのに、まず、4次と3次の行列式の比が(-1)^3*3!になるところ(n=3)の導出を
具体的に説明したいと思います。

4行1列目を軸にした余因子展開をして分解する方針で行くのが速いと考えられるので
図のように2列目に4、3列目に4の2乗、4列目に4の3乗をそれぞれ掛け算しておきます。

なお、行列式においては、1行か1列にまとめて4倍した際、行列式そのものの値も4倍されるので
4倍して4の2乗倍して4の3乗倍した場合は、帳尻を合わせるために、
行列式全体を4*4^2*4^3で割り算しないとイコールでは結びつきません。

4行目がすべて4^3にそろったので、
2列目から1列目を引いて、2列目に代入します。
行列式において、このような操作をした際は、行列式の値は変化しないのでイコールで結ぶことができます。
同様に、3列目から1列目を引いて3列行目に代入し
4列目から1列目を引いて4列目にも代入します。

2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目

そうすると、1列目以外の4行目がすべてゼロになるため

4^3でくくりだして3次の行列式に縮めることができます。
ただし、1行1列目から1つずつ数えて3つ目という奇数番目にあるので、符号は反転します。


さて、ここで、3次行列式の同類項を整理してみましょう。

このように、1行目は4-1、2行目は4-2、3行目は4-3が共通して因数に入っていますね。
これは、先ほど、列ごとに4のべき乗を掛け算したのと同様、行列式の外に出すことができます。

以下のようになります。

これはつまり、(4-1)=3の階乗ということなので、(4-1)!=3!と書くとすっきり記述できます。


ここで、1行目の2列目と3列目の違いに注目してください。4の2乗だけが異なりますね。
では、3列目から2列目を引いて3列目に代入するとどうなるでしょうか。

3列目が全部4の2乗になってしまいました！
これをくくりださない手はありませんね。

そしたら最後に、1列目と2列目の違いに注目して、
2列目に2列目－1列目を代入してみると

これまた！そうすると今度は4が2列目に共通する因数として出てきたので、くくりだしてやります。
そうすると、-(4-1)!倍の、元の行列式の縮小版があぶり出されるわけです。

限定的証明(5次行列版)

コツはだいたいつかみました。
注目している左からn番目の列から、n-1番目の列を引いて、n番目の列に代入する
これを一番右の列から繰り返す感じです。
あと、(n^m-1)/(n-1)ってたぶん、n,mがどんな整数でも割り切れますね

限定的証明

やった！証明できた！＼(^o^)／
全然一般的じゃなくて4次行列式限定だけど、手がかりはつかんだぞ！
次は5次行列式でコツを、つかむぜ宇宙！フォッフォフォッフォフォー！(V)◎￥◎(V)

たぶん、これが証明できればいいんだと思う

分子の左下を軸にした、余因子展開だと思うんだよなぁ

月xを入力したら、その月の日数を出力する関数f(x)の作り方

x=1だったら31
x=2だったら28
x=3だったら31
x=4だったら30
x=5だったら31
x=6だったら30
x=7だったら31
x=8だったら31
x=9だったら30
x=10だったら31
x=11だったら30
x=12だったら31

を出力する多項式を生成するには、自由度が12個必要なので、
xのゼロ乗から11乗までの、11次多項式が必要になります。


という話を耳にしまして

どうやったらこの式が導出できるのでしょうか。


まず、以下のような式を仮定します。

このxに1～12を入れた際に、先ほどのような日数が出るように
係数Anを定めていくわけです。


などといったように、1～12月までの12本の式を、12元連立方程式にします。
これを行列で表すと、以下のようになるので

これをXA=Bと定義して
両辺左側から、Xの逆行列を掛け算すると、係数A0～A11までが求まります。

おそらく、クラメルの方法を用いてもよいでしょう。
(行ベクトルバージョンのクラメルも試してみたい)


昨日の行列式の意味はこれです。


ツェラーとは何の関係もないことがわかりました。

ついでに、gifアニメも載せておきます。(分母と分子が逆になってました)

ちょっと興味深い行列式を見つけたので

この行列式は、nを整数とすると、f(n)のようになるようです。

|f(n+1)|/|f(n)|=n!
と
n≡2,n≡3　(mod　4)のときf(n)<0
n≡0,n≡1　(mod　4)のときf(n)>0
であることがわかりました。


まだ導出はできませんでした。できる見通しがあるかどうかもわかりません
途中まで証明しようとして、行き止まりに詰まった感じがしました

偶奇置換とレヴィ・チヴィタ記号

3個の要素を持つ列v1に置換操作σを施してv2にする演算を

v2=σ×v1

としたとき

ε(v2)=sgn(σ)ε(v1)

となるのは、要素数が少なかったからしらみつぶしが楽だったが

n個の要素一般に言えるのかどうかは確かめようがあるのか？

と思っていた。

しかし、4つ以上の足を持つレヴィ・チヴィタ記号(エディントンのイプシロン)の定義が
要素3つのときとは趣がちょっと違っていて
定義からモロに偶置換と奇置換(sgn(σ))だったので

任意の個数nについても同様に

ε(v2)=sgn(σ)ε(v1)

が言えそうだ。



というのも置換操作の例題を見て
列の左から作用させるのに、僕は勝手に右から作用させてしまって
例題の時点で答えと違っていて先が思いやられると一瞬嘆いたりして戸惑ったのだったが

3つの要素の置換を見て左右どちらかというのに気づいたきっかけが
置換したあとの列が、左から作用させても右から作用させてもイプシロンが不変というところからだった。


こうなったらただでは起きないぞと思い
行列の行列式やベクトルのノルムのように
置換に対しても何らかの固有の(数の集合体を代表する単一の)数があるのではないかと思って、

εとsgn(σ)の関係に相当するものがないかと考えてみた次第だった。






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添え字が3つのイプシロンは順方向とか逆方向とかで定義できたが
添え字が4つ以上となるとそうはいかず
別のアプローチが必要となる。

たとえば
ε1234=1のとき
ε1234の1ペアだけを入れ替えて、
ε2134とかε1243とかにした場合はε=-1となる。

これは要素が3つだけの
ε123=1のときも
ε213=-1
について、「逆方向」のアプローチのほかにも
「2と1だけを入れ替えた」と見なすことができる



また、置換σは、2つだけを入れ替える置換に分解することができ、
その分解した置換の個数の偶奇で色々なことが評価できるらしい