GWのハイライトは、複素解析の同じ例題が2通りできたら楽しかったです

この複素積分が楽しかった。

の線Cに沿って


を計算するんですけどね、まずはコーシーの積分公式を使った方法から。

 が の範囲内でごっそり正則なので、これをf(z)と置きます。

コーシーの積分公式では以下のように

積分が微分で表されてしまうので、今回の例題の場合はn=0、α=-iとすると、簡単に

解を導出できてしまいます。




＝＝＝＝＝＝＝＝
それでは、もう一つの方法、コーシーの積分定理と部分分数分解を用いた方法もやってみることにしましょう。

2つではなく3つの積になっているのですが、まずは(z+3)と(z-3)を部分分数分解して、(z+i)に分配して掛け算されるとみなします。


この式を恒等的に満たすAとBを見つけます。

A(z+3)+B(z-3)=z
(A+B)z=z
なので、A+B=1
もう1つの式が
3(B-A)=0
なのでA=B
これを1つ目の式に代入すると、A=B=1/2が出てきます。


となったので、分配して、再度部分分数分解します。



つまり元の積分は以下のようになりますが


線Cで囲まれた領域の中にz=±3はないので、1/(z±3)の積分は正則によりゼロになります。

よって元の式は以下のようになり、

結局、さきほどの積分公式(積分定理ではなく)を使った計算結果と見事一致します。



コンピュータの技術の積層のボトムアップ感と違って
複素解析のまほう！はどんどん略されていくトップダウン感がありますね

複素解析つれづれ

今日は仕事が疲れたので、ファミマで複素解析の勉強しませんでした。

得た知識が曖昧なので、今日は割りと定性的なネタで日記をつぶします。

昨日の寝る前に、対数で何が得られるのか？対数という演算で何をやっているのか？

ということを考えていたら、

指数(とかオイラーの公式とか)：極座標→直交座標変換

対数：直交座標→極座標変換

という意味合いを見つけました。(ちょう今更なので、デジャブってるかもしれませｎ)

そして、対数では、極座標に変換したデータを、実部に絶対値、虚部に偏角として出力し

足し算をしている！

ここちょっと驚きました。絶対値と偏角は、足し算できる間柄だったんですよ！！

じゃあこれを物理の現象に翻訳したらどうなる！？

僕は電気工学出身なので、一番身近なものだと、インピーダンスとかアンプのゲイン・位相とかそっちになります。量子力学はいまいちよくわかりません。

対数を取ると、電気工学的な意味合いでは、ゲインと位相を足し算していることになります。
まあ、無次元量同士なら足し算しても問題ないですし、実際無次元量として足し算しています。

ゲインとかもデシベルにしてから位相と足し算しますしね。
デシベルにする時点で、基本となる増幅率で割り算してから対数を取っているので、もちろん無次元量になってます。

興味深いのは、ゲインも位相も、周波数特性としてボード線図にすると
ゲインは両対数、位相は片対数を取って、必然的に対数(無次元)にしている点です。

おそらく、縦軸にゲイン・横軸に位相を取ったような作図があるはず…
ニコルス線図かナイキスト線図か、それともスミスチャートか。なんだったかな





ところで、複素積分するとよく出てくる2πiとかいうやつ。
なんで積分した結果に出てくる語尾みたいのが、純虚数なんすかね？？

僕の中のイメージではまだ、複素平面をぐるりんと回して右ネジの法則～みたいなふわっとしたイメージしかないので
もしそれなら複素平面の紙面に垂直な成分～？って稚拙なイメージしか出てきません。

しかし、あくまで元が2つの複素数を扱っているわけだから、複素平面の外側を考えることに意味がないのもなんとなくわかって、モヤっとしますね。


この辺、ベクトル解析とかだったらどうなるんだろう？
アンペールの法則とかに相当するよね？たぶん。あるいはストークスの定理かなあ？
本にはグリーンの定理の複素版って書いてた気がするけど、グリーンの定理がいまいちわからない


線積分や面積分についてもまだまだ知らないことばかりだし、回転楕円体の積分(二重積分？)とかとの関連もまださっぱり。


で、おとといの日記だったか、1/zの積分は有限なのに、1/z^2とかのそれ以外のやつはゼロになるってやつが妙に気になりだしてて

じゃあ、周回積分で有限になるのって、逆1乗則と密接な関係でもあるの！？とか考え始めたりして。

1/zを真四角経路で積分したったｗｗｗｗ

複素解析


この複素積分をｗｗｗｗｗ


この経路でｗｗｗｗ

経路CをC1,C2,C3,C4に分けます。

C1：z=1+it
C2：z=-t+i
C3：z=-1-it
C4：z=t-i

媒介変数tは実数で、範囲は4つとも-1≦t≦1です。


2項目、3項目、4項目の分母分子にそれぞれ、-i、-1、iを掛け算すると、
4項とも同じ数式になるので、1項目の4倍になります。



定積分を行うと、このような対数になります。
しかし中身が複素数に拡張された対数なので、気を付けて計算しなければなりません。


指数やオイラーの公式に立ち戻って考えますと、以上のようになります。
複素数の場合、わりと常に多価関数を意識する必要がありますが、今回は特に意識しなくて大丈夫でした。

与式はA-Bを計算したいので、最終的に√2の対数の項が打ち消しあって、
iπ/4が2倍され、さらに4倍されるので、



積分の答えは2πiと、昨日の定理と同じ値になることが確認できました。

複素積分

ここんとこ、割りと毎日「複素解析」の演習問題に手を出せているので嬉しい。


20年前くらいにやった複素積分や留数定理をリベンジしようと本を買ったんだけど
まさか、複素積分の手前に複素微分があるのをまったく認識していなかったとは思わず
自分で呆れかえってしまった。


しかし、積分が出てくるまで、この複素微分、どう応用したらいいのか全然思い浮かばない。
だから当時は習っても簡単に忘れ去ったのかもしれない。


「領域」や「正則」、「線(経路)の媒介表現」など、よくわからずに習った部品が次々と合体していく。コイツはアツい！フルパワーグリッドマンだ！！

nを整数、aが複素定数、zを任意の複素変数とすると
aの周りにおいて(z-a)^nをzで積分した場合

n=-1でだけ積分値が2πiになり、それ以外のnでは0になるという、大変お得な定理の証明を習った。
なお、(z-a)^nは正則な関数である。(らしい)


たぶん、そのうちこれを部分分数展開とかやって、留数定理に持っていく算段だろう。
少なくともフーリエ・ラプラス逆変換には応用が利くし、
ベクトル解析とのアナロジーも結構あると思う


そいで、この証明がまた萌えるもので
まるで直交関数系みを感じてすこなのだ。


いつもファミマで数式いじってるので、書類が車の中にあってうろ覚えなんだけど


と置いて、複素数zではなく実数tについて積分するんだったっけな
置換のための準備としてzをtで微分しておくとこうで


n≠-1の場合は

n=-1だったら

な？なかなか直交関数系みあふれるじゃろ？＾＾



ためしに、1/zをz=0周りの正方形の経路で積分した結果も載せたかったけど明日にします

20年ぶりにようやく実体がつかめるようになりました。

複素解析～XORでXORをつくる～

(円1)(円2)(円3)(円4)<0

ってやったんですけど、領域4つだとはっきり、排他的論理和じゃないことがわかってきますよね。
というか、円を(|z-a|-r)って表現して、それを掛け算してる時点で実数確定なんだから、プラスかマイナスしかないわけですよ。

そんなんに都合よく4つの円の排他的論理和だけを振り分けるほうが無茶ブリでしたよね


でも、この領域のイメージの仕方自体は排他的論理和
というか加法標準形なんですよね。

(円1>0&&
円2<0&&
円3<0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2>0&&
円3<0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2<0&&
円3>0&&
円4<0)

||

(円1<0&&
円2<0&&
円3<0&&
円4>0)

||

(円1<0&&
円2>0&&
円3>0&&
円4>0)

||

(円1>0&&
円2<0&&
円3>0&&
円4>0)

||

(円1>0&&
円2>0&&
円3<0&&
円4>0)


||

(円1>0&&
円2>0&&
円3>0&&
円4<0)


ほらね、組み合わせ＝領域の数が8通りあるでそ？


2つ以下の掛け算じゃないと排他的論理和にならず、
「領域レイヤーの枚数が奇数毎重なってるところが条件を満たす」にしかならんのですよ
要素3つのベン図みたいの作りたかったらまるで想像と逆の領域が血塗られてしまいますわね

Π{|z-bn|-cn}<0

Π{|z-bn|-cn}<0

n番目のn：自然数
z、bn：複素数
cn：実数

この総乗Πの掛け算の個数nを、そのまんま3より増やして大丈夫なんだろか？？

n個の集合のベン図(排他的論理和XOR)みたいにできるんだろか？？

>0だったらどうなるだろう？

ΠじゃなくてΣだったら？さすがにそれはないか

でもなんでORにXつくのがデフォみたいになってんだろ

そうだ、=0のときも考えてみると何かわかったりしないかな

忘れないで2つの月が、重なり合うときを～♪

(|z+i|-2)(|z-i|-2)<0
↓
{(|z+i|>2)&&|z-i|<2)}
||
{|z+i|<2)&&|z-i|>2)}

z=x+iy
(IMABS(IMSUM(COMPLEX(x,y),COMPLEX(0,1)))-2)*(IMABS(IMSUB(COMPLEX(x,y),COMPLEX(0,1)))-2)<0

たとえ明日亡くしてもあなたを失っても出来る限りの笑顔で輝きたい

複素解析

最近、ブログを書こうとするたびにログイン画面になるのでツライ。
いつも久しぶりだ。またこうして、毎日更新に戻れることを夢見ている


このガリガリ計算自体、久々だったし、この過程をたのしいと思ったのもすげえ久々だった気がする
そもそも、紙に殴り書きして字が汚すぎて計算がまとまらず
PCでやろう！ってなるいつもの流れがもう何ヶ月前の話だったか


こいつもたのしかったな。
(|z-i|-2)(|z+i|-2)<0


複素解析の本を買ったんだ。
本、というか電子書籍も含めてなんだが紙媒体の本を買うのはもっと久しぶりで
はやいとこローラン展開とか留数定理とかやりたいんだけども
途中で線の定義とか領域の定義とか出てきて
高専で一度通ったはずだから、挫折したところからやり直したいのに
どこまで読んだんだよ！？状態で困る

まあ、わかる例題・得意な例題を解いて数式にマウント取ったり優越感や成功体験に浸ったりするのは決して無駄ではないとは思うけども。

弧状連結とか初めて聞いたし
なんだよ領域って！なんで境界線を含まないんだよ！って感じ。
のちのち伏線になるところを見逃していたら嫌だから、この段階で例題を解いているが
はやく目的の部分に到着したい。

線には向きがあるとか、なんだよそれぇぇ！


a(u^2+v^2)+bu+cv+d=0
が円(半径が∞なら直線)の方程式とかさらっと出すなや！しらんがな！！！！！

あの4次行列式の特性多項式

備忘録

とりあえず多項式までは自力で導出できた。ウルフラムαで検証済み。

フェラーリの方法に基づいて計算を進めると

こんな式になって、xだけでなくyも4つとも実数であることはウルフラムαで確認できた。

これをさらに解き進めるための3次方程式の係数は

さらに3-1=2次の係数を消して

にするんだけど、このp1とq1の値がそれぞれこれ。


今はまだまとまりないけど、とりあえずこんな感じ。

ねむい

3次方程式のカルダノの方法にはだいぶ慣れたんだけど
4次方程式のフェラーリの方法にはまだまだ慣れてないことが多く(自動化は成功しているが、手計算に慣れてない)

色んなタイプの4次方程式を解いたりしたいところなんだけど、
とりあえず1つの例題を解くことに集中してから、のステップのような気がする。


これの、4次行列式のほうを、手計算でやってみたい。

と思って昼間、道の駅で行列式の展開は自力でやったんだけど2次と1次の係数に自信がなく
(tr：ゼロ次とdet：3次の係数は合ってた。解と係数の関係より)
scilabなりウルフラムαなりに頼るとなるとどうしても帰ってからPCを使って計算せざるを得ないから
方程式を解くところまでに絶対に至らないジレンマに悩まされつつも


帰ってきてからは帰ってきてからで、平日と今日の運転の疲労で、実に充実した昼寝生活を送ってしまい
晩飯もやや量が多めで、逆流性食道炎持ちには食欲のコントロールがきかず
またしても眠くて仕方がない

上の図の、4次方程式、実は行列の固有値としては先日ウルフラムαにぶっ込み済みで
(4次方程式自体ぶっ込み済みだったかもしれない)
近似値の小数点でしか表してくれなかった。
(無料版の限界っぽかった)

これを、3次の係数がゼロの4次方程式に変形しておく下ごしらえをしたら、
代数的な返答をしてくれるだろうか？？

量産には向いていないが、問題製造機の例

各n×n行列につき1つしか例題が作れない(5次方程式自体も難しいし、2次方程式では対称行列になってしまう)ものの
このように行列の形で与えておいて、トレースや行列式が綺麗な形であることを保証しながらも
固有値そのものはさほど綺麗ではないが、どす黒くもないことを保証してくれる。

実用的ではないかもしれないが、テストの問題に向いている。
問題を考える方も楽しいし
解く側も「おっしゃ！これ『そのまままっすぐ行け』フラグビンビンやん！うぉぉぉぉぉ！」
って気分にさせてくれる(特に2重根号を引っぺがすあたり)
両者win-winの問題を作ることができるコツはたぶん、行列に割りと多く潜んでいると思う


理屈は僕にはまだわからないものの
どうも任意の整数n次におけるこの行列式が作るn次方程式の解つまり固有値は全部実数に限られるらしい(あくまでも経験則、こういう形の行列の名前を知らないのも大きい)

備忘録

僕が、というより今回はPCが忘れないための備忘録。
ガチでデータぶっ飛びかねない最近。
なんかはるか昔のデジャヴがよみがえりそうな、Excelの致命的な不具合のせいでな。
Excelは表計算を行うことを想定したソフトなので、せめて最低限表計算っぽいしぐさを残してくれないとバグるかもよ？(オートシェイプとか数式エディタしか入ってないファイルはバックアップしないかもよー)ってか！？

5次to4次行列式の説明

前回の続きで、5次の行列式の余因子展開をして、4次の行列式にします。


この式、前回はn=3でしたが、今回はn=4をやって、nを一般化するためのコツを探ります。


まず、5行目の1列目以外を、1列目に揃えるために、5のべき乗を行列式の中身に掛け算して、その代わり全体を5のべき乗で割り、帳尻を合わせます。


それから
2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目
5列目←5列目－1列目
を行います。




5次行列から4次行列への縮小を行います。

今回のような、5次行列式から4次行列式への縮小の場合の符号は
1行1列目から数えた5行1列目が4回の移動だったため、符号反転しません。

つまり、n+1次からn次への縮小の際に、(-1)^n*n!と計算していた(-1)^nが、今回はn=4なので
(-1)^4=1なのです。
前回はn=3だったので、(-1)^3=-1だったわけです。

それでは、前回のように同類項などを整理していきましょう。
2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目
5列目←5列目－1列目
を行うと、以下のようになります。

一般に、以下のことが言え、

また、その拡張として、以下のようなことが言えます。

n、Lは1以上の整数、mはゼロ以上の整数、kは整数とします。


式をシンプルにするために、
4列目←4列目－3列目
を行って5の3乗を吐き出し

さらに、
3列目←3列目－2列目
を行って5の2乗を吐き出し

2列目←2列目－1列目
を行って5を吐き出すと、以下のようになり



前回同様、

一皮むけたやつの、階乗倍(と符号)が、元の行列式と等しくなります。


1次縮小した行列式を整理するにあたって
上述の赤い太字で書いたところがコツで
一般のn次の行列式にするにあたって

n列目←n列目－(n-1)列目
(n-1)列目←(n-1)列目－(n-2)
(n-2)列目←(n-2)列目－(n-3)
(n-3)列目←(n-3)列目－(n-4)

などと、一番右の列から順次左の列に注目して、値を操作していくとよいと考えられます。
(注目している列の1個左の列を等倍で引く)

4次to3次行列式の説明

先日までの続きです。
発端は、ツイッター上にあげられた、「月を入力するとその月の日数が算出される多項式」
の作り方でした。


これを証明するのに、まず、4次と3次の行列式の比が(-1)^3*3!になるところ(n=3)の導出を
具体的に説明したいと思います。

4行1列目を軸にした余因子展開をして分解する方針で行くのが速いと考えられるので
図のように2列目に4、3列目に4の2乗、4列目に4の3乗をそれぞれ掛け算しておきます。

なお、行列式においては、1行か1列にまとめて4倍した際、行列式そのものの値も4倍されるので
4倍して4の2乗倍して4の3乗倍した場合は、帳尻を合わせるために、
行列式全体を4*4^2*4^3で割り算しないとイコールでは結びつきません。

4行目がすべて4^3にそろったので、
2列目から1列目を引いて、2列目に代入します。
行列式において、このような操作をした際は、行列式の値は変化しないのでイコールで結ぶことができます。
同様に、3列目から1列目を引いて3列行目に代入し
4列目から1列目を引いて4列目にも代入します。

2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目

そうすると、1列目以外の4行目がすべてゼロになるため

4^3でくくりだして3次の行列式に縮めることができます。
ただし、1行1列目から1つずつ数えて3つ目という奇数番目にあるので、符号は反転します。


さて、ここで、3次行列式の同類項を整理してみましょう。

このように、1行目は4-1、2行目は4-2、3行目は4-3が共通して因数に入っていますね。
これは、先ほど、列ごとに4のべき乗を掛け算したのと同様、行列式の外に出すことができます。

以下のようになります。

これはつまり、(4-1)=3の階乗ということなので、(4-1)!=3!と書くとすっきり記述できます。


ここで、1行目の2列目と3列目の違いに注目してください。4の2乗だけが異なりますね。
では、3列目から2列目を引いて3列目に代入するとどうなるでしょうか。

3列目が全部4の2乗になってしまいました！
これをくくりださない手はありませんね。

そしたら最後に、1列目と2列目の違いに注目して、
2列目に2列目－1列目を代入してみると

これまた！そうすると今度は4が2列目に共通する因数として出てきたので、くくりだしてやります。
そうすると、-(4-1)!倍の、元の行列式の縮小版があぶり出されるわけです。

限定的証明(5次行列版)

コツはだいたいつかみました。
注目している左からn番目の列から、n-1番目の列を引いて、n番目の列に代入する
これを一番右の列から繰り返す感じです。
あと、(n^m-1)/(n-1)ってたぶん、n,mがどんな整数でも割り切れますね