5次to4次行列式の説明

前回の続きで、5次の行列式の余因子展開をして、4次の行列式にします。


この式、前回はn=3でしたが、今回はn=4をやって、nを一般化するためのコツを探ります。


まず、5行目の1列目以外を、1列目に揃えるために、5のべき乗を行列式の中身に掛け算して、その代わり全体を5のべき乗で割り、帳尻を合わせます。


それから
2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目
5列目←5列目－1列目
を行います。




5次行列から4次行列への縮小を行います。

今回のような、5次行列式から4次行列式への縮小の場合の符号は
1行1列目から数えた5行1列目が4回の移動だったため、符号反転しません。

つまり、n+1次からn次への縮小の際に、(-1)^n*n!と計算していた(-1)^nが、今回はn=4なので
(-1)^4=1なのです。
前回はn=3だったので、(-1)^3=-1だったわけです。

それでは、前回のように同類項などを整理していきましょう。
2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目
5列目←5列目－1列目
を行うと、以下のようになります。

一般に、以下のことが言え、

また、その拡張として、以下のようなことが言えます。

n、Lは1以上の整数、mはゼロ以上の整数、kは整数とします。


式をシンプルにするために、
4列目←4列目－3列目
を行って5の3乗を吐き出し

さらに、
3列目←3列目－2列目
を行って5の2乗を吐き出し

2列目←2列目－1列目
を行って5を吐き出すと、以下のようになり



前回同様、

一皮むけたやつの、階乗倍(と符号)が、元の行列式と等しくなります。


1次縮小した行列式を整理するにあたって
上述の赤い太字で書いたところがコツで
一般のn次の行列式にするにあたって

n列目←n列目－(n-1)列目
(n-1)列目←(n-1)列目－(n-2)
(n-2)列目←(n-2)列目－(n-3)
(n-3)列目←(n-3)列目－(n-4)

などと、一番右の列から順次左の列に注目して、値を操作していくとよいと考えられます。
(注目している列の1個左の列を等倍で引く)