4次to3次行列式の説明

先日までの続きです。
発端は、ツイッター上にあげられた、「月を入力するとその月の日数が算出される多項式」
の作り方でした。


これを証明するのに、まず、4次と3次の行列式の比が(-1)^3*3!になるところ(n=3)の導出を
具体的に説明したいと思います。

4行1列目を軸にした余因子展開をして分解する方針で行くのが速いと考えられるので
図のように2列目に4、3列目に4の2乗、4列目に4の3乗をそれぞれ掛け算しておきます。

なお、行列式においては、1行か1列にまとめて4倍した際、行列式そのものの値も4倍されるので
4倍して4の2乗倍して4の3乗倍した場合は、帳尻を合わせるために、
行列式全体を4*4^2*4^3で割り算しないとイコールでは結びつきません。

4行目がすべて4^3にそろったので、
2列目から1列目を引いて、2列目に代入します。
行列式において、このような操作をした際は、行列式の値は変化しないのでイコールで結ぶことができます。
同様に、3列目から1列目を引いて3列行目に代入し
4列目から1列目を引いて4列目にも代入します。

2列目←2列目－1列目
3列目←3列目－1列目
4列目←4列目－1列目

そうすると、1列目以外の4行目がすべてゼロになるため

4^3でくくりだして3次の行列式に縮めることができます。
ただし、1行1列目から1つずつ数えて3つ目という奇数番目にあるので、符号は反転します。


さて、ここで、3次行列式の同類項を整理してみましょう。

このように、1行目は4-1、2行目は4-2、3行目は4-3が共通して因数に入っていますね。
これは、先ほど、列ごとに4のべき乗を掛け算したのと同様、行列式の外に出すことができます。

以下のようになります。

これはつまり、(4-1)=3の階乗ということなので、(4-1)!=3!と書くとすっきり記述できます。


ここで、1行目の2列目と3列目の違いに注目してください。4の2乗だけが異なりますね。
では、3列目から2列目を引いて3列目に代入するとどうなるでしょうか。

3列目が全部4の2乗になってしまいました！
これをくくりださない手はありませんね。

そしたら最後に、1列目と2列目の違いに注目して、
2列目に2列目－1列目を代入してみると

これまた！そうすると今度は4が2列目に共通する因数として出てきたので、くくりだしてやります。
そうすると、-(4-1)!倍の、元の行列式の縮小版があぶり出されるわけです。