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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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3次元時空のローレンツの伸縮公式のための生成子

こいつは固有値がカブらないからすんなり対角化できんだけど


4次元時空のやつがなー

固有値カブるから固有ベクトルどうなんのっていまいち自信ないんだよ

いっそのことウルフラム先生にネタバレ食らってしまおうか

別にユニタリじゃなくていいなら対角化のためのPは求まったんだけど
ユニタリじゃないから逆行列がめんどくさいんだよ

ユニタリにできるならできるだけユニタリにしたいよ。

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さっきのブログで、

ロドリゲスの回転公式
exp(Aθ)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)

が成立する行列は少なくとも2種類以上

 これや
 これ(ただしa^2+b^2+c^2=1)
などが挙げられますが
 これ(ただしΣ(an^2)=1)
はどうも成り立たないらしく、おそらくそれ以降も成り立たないみたいです。

もしかしたら、4次行列以上でも、要素が3つ以内(3つか1つ)なら成り立つのかもしれません。

こういうのや

こういうのみたいに

2次元配列中に1次元配列みたいな感じで配置されれば、次数や要素数がいくつでも成り立ちそうな気はしますけどね


同様に、ローレンツの伸縮公式のほうも

こういうのや

こういうのだったら
次数や自由度がいくつでも
行列指数関数の行列式が特殊ユニタリのように常に1になる実対称行列
(exp(A)の固有値がうごうご実軸上を移動してても、detは結局1になるやつ)
det(exp(A))=1 ユニタリじゃないのでabs云々の議論は無意味ーと知るよね
いわば特殊エルミート行列とでもいうべき?行列が作れそうですが
行と列入り乱れてるのは

こいつの、中身の3乗すらすっきり1乗に戻らないので
次数の一般化は不可能でしょうね
(a,b,cつのうちbだけ符号を反転してもたぶん無駄)


なんでしょうかね、マジックナンバー3?
我々が生きていける空間が3次元なのと、サラスの公式が3次までしか有効じゃないのって
深い因縁でもあるんでしょうか

わりとつづく

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ここ1週間ほどブログ更新しなくてすみません。
僕も描けなくて欲求不満気味でした。自分に謝罪と賠償を要求します。


先日の「ローレンツの伸縮公式」シリーズ
完成させる予定の行列指数関数が実対称ではなくエルミートにしかならないからおかしいなーって思って
過去ブログ参照したら盛大に勘違いしていまして

生成子が
 
これ

(ただし、a^2+b^2+c^2=1とする)

じゃなくて

これ

(ただし、a^2+b^2=1とする)


だったんですよ!!!!!
(自由度が3つから2つに減ってるのは諸事情あります。そのうち述べます)

つまり、完成させたい行列指数関数も

これ

じゃなくて

これ!!!!

「歪エルミートじゃなくてエルミートをexpの中に入れるんだよね?」
ってところ以降全部間違い!!!!><あばばばばあああああーーーごめんねええええ



まあそりゃぁ生成子だけじゃなく行列指数関数も実対称行列になるわーって感じですわ。
ちょっと今日はあらすじを書いておきたいので細かい話はあとでしますが

対角化からのアプローチを、「3乗が1乗に戻るアプローチ」に照らし合わせてみたんです。答え合わせです
そしたら、

またしても
ロドリゲスの回転公式の
exp(A)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)
なのか
exp(A)=E+A*sinθ+A^2*(cosθ-1)
なのかわからなくなりましてね


テイラー展開して解析してたら、ある当たり前のことに気づきまして

ある条件(規格化絡みの)で

Aを交代行列とすると

exp(Aθ)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)

これはロドリゲスの回転公式ですよね。

じゃあ、実対称行列になるBを定義して

exp(Bθ)

これは?
ってのが今回のテーマ「ローレンツの伸縮公式」でして

exp(Bθ)=E+B*sinhθ+B^2*(coshθ-1)

逆になるんですよ!ハイパボリックコサインのところの符号が!

でもよく考えてみると、これ当たり前の話で
iB=Aだとしたうえで、AもBも実数行列となるAとBの集合を仮定すれば
(もしかしたら実対称→エルミート、交代→歪エルミートに一般化できるかもしれません)

exp(iBθ)=E+i*B*sinθ+(iB)^2*(1-cosθ)
exp(Bθ)=E+B*sinhθ+*B^2(coshθ-1)

これ、ただのオイラーの公式の行列バージョンじゃないですか!

スカラーでたとえるとこうなります。

exp(iθ)=1+i*sinθ+i^2*(1-cosθ)=cosθ+i*sinθ
exp(θ)=1+sinhθ+(coshθ-1)=coshθ+sinhθ

ね?当たり前の指数関数の公式でしょ?

当たり前だったんですよ・・・


ただ、これが行列にも当てはまるための条件が、
「行列AやBが規格化されている」というものだったんです。
(トレース=0の条件も必要かもしれませんね)
 
上の例でいくと
a^2+b^2+c^2=1

a^2+b^2=1
がこの条件に相当します。

つづく

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昨日・・・じゃなくて今日、の続きです。

 
この行列Aを、ユニタリ行列Pとそのエルミート共役P†で対角化しましょう。

 
 

対角化されたあとの行列をJとおくと
J=P†APとなるわけですが

せっかくなので、Pをモジュール化してみます。


 
こうおいてみますと、対角化行列Jは
 
 
このように表されますね。

最後の計算は長いので、要素ごとに分けて表示しますと
2行目が全部ゼロなのはいいとして、非対角成分は
 

このように
対角成分は
 
 
このようになりますね。

非対角成分は、計算するとすぐにゼロだということが分かると思いますので、計算してみてください。


残るは、対角成分2つです。
 
整理すると、J11=-J33と、ただ符号だけが逆なのだとわかるので、J11だけ計算します。
一般に、2つの複素数vとwの、複素共役を交えた交換関係のような式は、虚部をi2倍した
 
であることがわかるかと思いますのでJ11は
 
 
こういうことが言えます。

ここでようやく、v1、v2、v3やその複素共役の中身を思い出すわけですが
 
なので、虚部はc/2ですね

同様に

 
実部と違って虚部は一見なんのことかよくわからないように見えますが
a^2+b^2+c^2=1の規格化条件を思い出してみると
a^2+c^2=1-b^2であることがわかり、実部同様、虚部も約分できて
b/2であることがわかるでしょう。

さらに

 
となって、虚部がa/2であることがわかります。

よって、J11=2(c*c/2+b*b/2+a*a/2)=(a^2+b^2+c^2)=1
であることがわかり、J33はその逆符号である-1であることがわかります。


つまり、
 
と、めでたく固有値±1と0で対角化できたというわけです。

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さっきの続き



固有値λが1,0,-1のときの固有ベクトルをそれぞれ求めます。

まずλ=1から
 
この連立方程式について、v1,v2,v3を求めるわけですが
もちろん永年方程式なので、固有ベクトルの3つのvの値は求まらず、v同士の比しか求まりません。

これが結構複雑でして、線形ではあるものの、実数とか純虚数にとどまらず、一般に複素数のベクトルになります。

 
こんな比になりますが、実は規格化条件という、4本目の式が隠れていまして
それを使うと4本の式になるので、結局、3つのvの値は確定できます。

v1^2+v2^2+v3^2=1

これが規格化条件です。

少し具体的に計算しますと
A^2{|-ab-ic|^2+|(1-b^2)|^2+|-bc+ia|^2}=1

となるので、
A=√(2-2b^2)
となります。よって、固有値λ=1のときの固有ベクトルp1は
 
と、確定できます。


次に、λ=-1のときの固有ベクトルを解きますが
 
今度はこれを解けばいいということになり
結局、p3はp1の複素共役になります。
規格化定数も√(2-2b^2)と、同じものとなりますので
 
こうなります。


最後にλ=0のときの固有ベクトルを求めますが、これは簡単で
もちろんこういう式になって
 

固有ベクトルは
 
こうなります。最初から規格化条件を満たしていますね。


この縦ベクトルp1,p2,p3を横に並べたものを使って、対角化するわけですが
規格化された固有ベクトルなので、この3次行列はユニタリ行列となり

 

行列式は-iとなって、ガウス平面の単位円周上にあることがわかるかと思います。

ユニタリなので、逆行列を求めるのも簡単です。エルミート共役(転置して複素共役)
inv(P)=P†
を取れば、逆行列になります。
 
掛け算PP†すると、単位行列になるはずです。


実はPもP†も、縦横どちらの2乗和を取っても、1になります。ルービックキューブみたいですね!しらんけど


 

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ふはははは!ノーイベントグッドライフでエンドレスエイトな、ゆゆ式ループの開幕だぁ!


今日は、いかにサボってそれなりのブログを書くかを努力する日です。
風邪にかかって1週間、とうの昔に余力がありません。


ロドリゲスの回転公式をアレンジして、ローレンツの伸縮公式にしてみます。
これを、対角化からアプローチします。


まず、(x,y,z)がまだ規格化されていないベクトルとして
W^2=x^2+y^2+z^2

(a,b,c)W=(x,y,z)

となるようにします。

そうすると
a^2+b^2+c^2=1なので

 
とできますよね。
この、Wを除いた行列の固有値を求めると、少し楽ができるという寸法です。

 
なので、固有値をλ=0,±1と、簡潔に記述でき、次の固有ベクトルの計算に向けて
かなり楽ができることになります。


今日はもうこれでいいや。
続きは、余力がありしだいアップします。

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昨日はついヒャッホウしてその3のタイトルを間違えてしまいました。><欠番扱いです

準備が整ったので、対角化からのアプローチで、行列指数関数を使って
ロドリゲスの回転公式を導出してみましょう。

Aの行列指数関数exp(A)を計算すると、ロドリゲスの回転公式になるはずです。

対角行列Jを
として、行列指数関数はテイラー展開から、
exp(A)=Pexp(J)P†で与えられるので
Pとそのエルミート共役P†を



とすると

対角行列の行列指数関数は

このようになるため、
以下のように略記します


その上で展開しますと


このようになります。ここで、X,Y,Zはそれぞれ、複素数x,y,zの絶対値の2乗とします。

また、

この2つの複素数は、それぞれ三角関数と実部・虚部を用いて、複素共役の関係にあることがわかるため、式は以下のように展開できます。

ここで、X,Y,Zと、x'y、y'z、z'xの中身をぶちまけてみますと



このようになるため、
以下のように展開できます。



これで完成のはずなので、A^3=-Aとなる関係を用いて導出したロドリゲスの回転公式と比較してみましょう。

exp(A)=E+Asinθ+A^2*(1-cosθ)

なので


ぴったりと一致しているのがわかるかと思います。

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といいつつ、対角化したい行列はただの交代行列(実数)なんですけどね

これを対角化したいと思います。昨日・・・じゃなくて今日、の続きです。


この行列Aを、ユニタリ行列Pとそのエルミート共役P†で対角化しましょう。



対角化されたあとの行列をJとおくと
J=P†APとなるわけですが

せっかくなので、Pをモジュール化してみます。


こうおいてみますと、対角化行列Jは

このように表されますね。

最後の計算は長いので、要素ごとに分けて表示しますと
2行目は全部ゼロなのはいいとして、非対角成分は

このように
対角成分は

このようになりますね。

非対角成分は、計算するとすぐにゼロだということが分かると思いますので、計算してみてください。


残るは、対角成分2つです。

整理すると、J11=-J33と、ただ符号だけが逆なのだとわかるので、J11だけ計算します。
一般に、2つの複素数vとwの、このような式は、虚部を2i倍した

であることがわかるかと思いますのでJ11は


こういうことが言えます。

ここでようやく、v1、v2、v3やその複素共役の中身を思い出すわけですが

なので、虚部はc/2ですね

同様に


実部と違って虚部は一見なんのことかよくわからないように見えますが
a^2+b^2+c^2=1の規格化条件を思い出してみると
a^2+c^2=1-b^2であることがわかり、実部同様、虚部も約分できて
b/2であることがわかるでしょう。


となって、虚部がa/2であることがわかります。

よって、J11=2i(c*c/2+b*b/2+a*a/2)=i(a^2+b^2+c^2)=i
であることがわかり、J33はその逆符号である-iであることがわかります。


つまり、

と、めでたく固有値±iと0で対角化できたというわけです。

このようにモジュール化して考えることで、計算効率もよく、ミスしづらいことがわかるかと思います。
と、ここまで書いていて自分自身、これがプログラミングにもそのまんま当てはまるんだなと気づかされました。


オブジェクトシコうは概念は割りと単純なんですが
それを実装する際のルールの習得が結構面倒なんですよね。
おそらく一般相対論のテンソルの概念とも共通するところがあるんじゃないかと思います
なんというか、一言で言うと、習得までの腰が重い


もし4次元の複雑さに生命や知性が住めると仮定すると
その4次元人にとっての紙媒体のようなものは、1つ次元の下がった3次元で
ベクトル、行列と、3階のテンソルまでが容易に想像できる数学的構造なんでしょうか・・・

とはいえ、4次元人は理論的に存在できなさそうな雰囲気なので、考えるだけ無駄かもしれません

ここでいう「理論的に存在できない」というのは2次元人にとってドーナツ構造が感覚的に理解できず、同様に腸などの内臓を「またぐ」という概念がないのなら
4次元人は逆に、複雑すぎて生命も知性も誕生しえないかもしれない、といった意味合いです

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昨日はお楽しみでしたね(シン・ゴジラ)

映画が始まる直前まで、おとといの続き「ロドリゲスの回転公式の対角化からのアプローチ」をやっていて、
ギリギリで固有ベクトルのバグが取れましたが、それ以降はシンゴジラとそのツイートにエモさを感じて何もできませんでした。



固有値λがi,0,-iのときの固有ベクトルをそれぞれ求めます。

まずλ=iから

この連立方程式について、v1,v2,v3を求めるわけですが
もちろん永年方程式なので、固有ベクトルの3つのvの値は求まらず、v同士の比しか求まりません。

これが結構複雑でして、線形ではあるものの、実数とか純虚数にとどまらず、一般に複素数のベクトルになります。


こんな比になりますが、実は規格化条件という、4本目の式が隠れていまして
それを使うと4本の式になるので、結局、3つのvの値は確定できます。

v1^2+v2^2+v3^2=1

これが規格化条件です。

少し具体的に計算しますと
A^2{|-c-iab|^2+|i(1-b^2)|^2+|a-ibc|^2}=1

となるので、
A=√(2-2b^2)
となります。よって、固有値λ=iのときの固有ベクトルp1は

と、確定できます。


次に、λ=-iのときの固有ベクトルを解きますが

今度はこれを解けばいいということになり
結局、p3はp1の複素共役になります。
規格化定数も√(2-2b^2)と、同じものとなりますので

こうなります。


最後にλ=0のときの固有ベクトルを求めますが、これは簡単で
もちろんこういう式になって


固有ベクトルは

こうなります。最初から規格化条件を満たしていますね。
(実は最後まで残っていたバグがここだったなんて口が裂けても言えない)


この縦ベクトルp1,p2,p3を横に並べたものを使って、対角化するわけですが
規格化された固有ベクトルなので、この3次行列はユニタリ行列となり



行列式は-iとなって、ガウス平面の単位円周上にあることがわかるかと思います。

ユニタリなので、逆行列を求めるのも簡単です。エルミート共役(転置して複素共役)
inv(P)=P†
を取れば、逆行列になります。

掛け算PP†すると、単位行列になるはずです。


実はPもP†も、縦横どちらの2乗和を取っても、1になります。ルービックキューブみたいですね!しらんけど


これのサイコロステーキも面白そうですよね。
どうやったら「特殊」ユニタリにできるのか(detP=1)、
その焼肉の回転はとびとびなのか連続なのか

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これの続きです。


 


この余因子展開の具体例は、q31とq41だけ計算しておきますので
残りは読者さんへのプレゼントにしますね。




  


 





しいて似てるとすれば、テトラナッチ数列の一般式の、βとγの項の分母がこれに相当しますね



約分のイメージはこんな感じです

6角形から5角形の辺(と対角線)を抜き取った、補グラフ?が分母をとったら、ちょうど手の指のような感じになった。そんなイメージです

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前回の続きです。


かばん「ヘキサボナッチ数列を具体的に言ってみよう!」

サーバル「・・・うーん」

かばん「・・・あ、それじゃあサーバルちゃん、フィボナッチ数列の具体例から始めてみようか」

サーバル「3番目が1つ目と2つ目の合計だから・・・1つ目と2つ目っていくつだっけ?」

かばん「0と1だよ」

サーバル「なんで?」

かばん「なんていったらいいかなあ。1つ目が0、2つ目が1っていうのは「初期値」っていうんだけどこの組み合わせ以外だと、3番目以降が全然違ってきちゃうでしょ。こういう数列は別の名前があって、「リュカ数」って呼ばれてるんだ」

サーバル「そうなんだ。」

かばん「「まずはなるべくシンプルに」っていう理念が数学の根っこにあるんだよ」

サーバル「じゃあ、トリボナッチだと初期値は0,0,1で、テトラナッチだと0,0,0,1ってこと?」

かばん「その通り!やったねサーバルちゃん!」

サーバル「やったぁ!」

かばん「じゃあヘキサボナッチの場合はどうなると思う?」

サーバル「ヘキサが6だから、6つ合わせた合計を7つ目にするから、0,0,0,0,0,1が初期値で、その6つの合計1が7つ目?」

かばん「すごいねサーバルちゃん!」

サーバル「えっへん!サーバルの技だよ!」

かばん(そうなのかなあ^^;)「じゃあ、100個目はわかる?」

サーバル「え・えー!?」

かばん「結構大変だよね。前回「漸化式」って言ったのはこういうことで、100個目の芋を掘りだすには、それまでの99個の芋を掘り当ててないとたどり着けないっていう弱点が、漸化式にはあるんだ。これを、いきなり「100個目はいくつですって言えるようにしたのが「一般式」って呼ばれるんだよ」

サーバル「一般式、すごいねー!」

かばん「ところで、「行列」って知ってる?」

サーバル「知ってる!PPPのチケットをもらうために並ぶフレンズのことでしょ?」

かばん「ま、まあ、それも行列、というか、行だけの行列だね^^;数学には別の意味の「行列」があって、1行や1列とは限らないんだ。たとえば、PPPを見てるフレンズさんたちが、縦4列、横10列に規則正しく並んでるとしても、それも行列なんだよ」



サーバル「なんだかラジオ体操みたいだね」

かばん「フレンズさんたちもラジオ体操って、するの?」

サーバル「夜起きてすぐのラジオ体操は気持ちいよね!ウェルカムtoようこそジャパリパーク~!今日もどったんばったんおおさわぎ!♪元気元気!

かばん(やっぱりその歌なんだ^^)

サーバル「ラジオ体操とヘキサボナッチ数列って関係あるの?そういえば数列と行列って似てるかも!」

かばん「ヘキサボナッチ数列を行列表現すると、まるで漸化式が一般式で表されてるかのような錯覚を受けるんだ。今地面に数式を書くから、見ててね」

 


サーバル「なにこれー!?」

かばん「これが、「行列」っていう数学だよ。数が行と列になって並んでるでしょ。元々は連立方程式を解くために考案されたもの、みたい。僕の宿主の記憶ではそういうことになってる。」

サーバル「れんりつほーてーしき?」

かばん「この行列方程式は、3本の連立方程式からできているんだ。」

x=1x+2y+3z
y=5x+4y+6z
z=9x+7y+8z
 
サーバル「これを行列で表すと、こうなるの?」





かばん「そういうこと」

サーバル「でも、なんか変なの~」

かばん「やっぱりサーバルちゃんもなんか変だと思うでしょ^^実は、行列っていうのは行列Aと行列Bの掛け算を入れ替えると、同じ行列cになるとは限らないんだ」

サーバル「そっか!私そこが引っかかってたんだ!積の交換法則っていうんだよね?」

かばん「サーバルちゃんよく覚えてたね!よしよし、いい子いい子」

サーバル「かばんちゃんの毛づくろいは気持ちいいなぁ。ぐるぐるぐるぐる・・・もっと撫でて~」

かばん「え、そこも撫でていいの?」

サーバル「かばんちゃんにだったらどこを撫でられても安心だよ」

かばん「えー?もう、サーバルちゃんったら~〃∇〃


ご起立ください
(中略)
座れ


かばん「はっ!それはさておき」

サーバル「積の交換法則が乱れちゃうなんて、そんなの数として大丈夫なの?」

かばん「やっぱりそこ、気になるよね。実は大丈夫なんだ。数の3大法則、覚えてる?」

サーバル「交換法則、分配法則、結合法則、だったっけ?」

かばん「そうそう。8元数っていう数学では、この3つのうちまともに機能してるのは1つだけらしいしね」

サーバル「あ、そういえばベクトル!あれも交換法則がいまいちだったよね」

かばん「ベクトル積のことだね。大きさは同じだったけど、向きが逆だったね。そうそう。数っていうのはね、必ずしもこの3大法則を守らなくてもいいんだよ」




かばん「話をヘキサボナッチに戻すと、この行列は結局、こういう風に表すこともできるよね」

サーバル「うんうん。」

かばん「その先はどうなると思う?」

サーバル「うーん・・・あ!そうか!漸化式か!芋づる式にずーっと連なって・・・!!初期値までさかのぼれるね!」




かばん「そう。n番目の数列を、行列の積で、しかも初期値までさかのぼって表現することができたね。」

サーバル「この、「同じ行列をn回掛け算する」っていう表現はなんとかならないのかなあ?」



かばん「サーバルちゃん、いいところに気が付いたね!掛け算が足し算の重ね合わせだったように、掛け算を重ね合わせた何かがあってもおかしくないって思うのは自然なことで、これを「べき乗」って呼んで、たとえばaって行列をn回掛け算するっていうのは、aのn乗って言って、a^nって表現するんだよ。nをaの右肩に乗せて表現する方法もあるんだ。」

サーバル「ほんとだぁ、漸化式だと思ってた式が、行列のべき乗のおかげで、いつの間にか一般式みたいになってる。すごーい!」

かばん「これはダジャレって言ってね」

サーバル「そうなの?」

パシャ

かばん「いい顔いただき!」

サーバル「え!?冗談!?ひどいよかばんちゃーん。ボスも私の変な顔の写真消して?」

かばん「きゃー消さないでくださーいv

ボス「(やれやれ)サーバルはお客様じゃないので要求には答えられないよ





かばん「行列のべき乗は、さっき言った通り、積の交換法則が通用するとは限らないことから、複雑になることが多いんだ。そこで、「対角化」という方法を使うんだけどね

A、P、Jっていう行列があったとして

A=P×A×inv(P)

っていう変換をすることで、Aのべき乗を計算しやすくするんだ。」

サーバル「inv(P)ってなに?」

かばん「Pの逆行列って意味だよ。P×inv(P)もinv(P)×Pも、単位行列Iになる、そんな行列のことを言うんだ。」

サーバル「単位行列?」

かばん「数字で言うところの「1」みたいなものだね。1にaを掛け算すると、aそのものになるでしょ?そういうのを「単位なんとか」って呼ぶんだ。行列の場合は



これが単位行列」

サーバル「こんなのが単位行列なの?なんか変なのー」

かばん「連立方程式に戻して考えてみよう。



この式は、
a=1×a+0×b+0×c+0×x+0×y+0×z
b=0×a+1×b+0×c+0×x+0×y+0×z
c=0×a+0×b+1×c+0×x+0×y+0×z
x=0×a+0×b+0×c+1×x+0×y+0×z
y=0×a+0×b+0×c+0×x+1×y+0×z
z=0×a+0×b+0×c+0×x+0×y+1×z

こういうことになる。」

サーバル「当たり前の式だね!」

かばん「つまりA=IA」

サーバル「あ、ほんとだ。Aが行列じゃなくて数字だと考えると、確かに当たり前だし、単位行列Iにaをかけると、Aそのものになってるね。」

かばん「同様に、Pに右側からinv(P)をかけても、Pの左からinv(P)をかけても、単位行列Iになるものを、逆行列って呼ぶんだよ。」

サーバル「そっか。逆数みたいなものだね!」

かばん「そゆこと!」

サーバル「でも逆行列の中の人はどうやって計算して出せばいいの?」

かばん「inv(P)=Q/|P|って方法が知られてるよ」

サーバル「|P|ってなに?」

かばん「|P|はdet(P)とも書くんだけど、Pの行列式。行列式は計算していくと、ただの数になるから、割り算ができるんだよ。あとで詳しく教えるね。」

サーバル「じゃあQは?」

かばん「QってのはPの余因子だね。たとえばPの中身がこうなってたら

 



こんな風に表現できるよ。」

サーバル「じゃあここのtは?」

かばん「転置行列、つまり、行と列を入れ替える意味の記号だね。」

サーバル「余因子を求めるときにも、行列式を使うの?」

かばん「うん。元の行列Pより1行1列だけ小さくした行列の行列式を計算するんだよ」

サーバル「大変なんだねー」

かばん「そうだね^^;ちょっと大変だね。でもこのひと手間のおかげで、行列のべき乗がすっごくおいしく料理されるんだ。さっきのA=P×J×inv(P)って式に、Jってのが出てきたでしょ?」

サーバル「うんうん。」

かばん「Jっていうのは対角化された行列のことなんだ。



たとえばこんな感じ。」

サーバル「ちょっとだけ単位行列に似てるね!」

かばん「当然です。対角化された行列は、普通の行列が単位行列化したものと言われているのですよ

サーバル「マーゲイ!?

かばん「ちょっとやってみたかったんだ^^;まあ今のは冗談として」

サーバル「え?」

かばん「対角化された行列っていうのは単位行列みたいに、すごくべき乗がしやすい構造になっているんだ。」

サーバル「うみゃみゃみゃみゃみゃー!

行列のべき乗(右クリックで等身大)

ほんとだ!簡単になってる!すごーい!」


かばん「こんなことのために、JとPの中身をわざわざ考えるんだよ。これが理性開放の技の1つ。「固有値(J)」と「固有ベクトル(P)」だね。これを使って、Aのべき乗を考えてみよう」

サーバル「A^n=PJinv(P)×PJinv(P)×・・・×PJinv(P)×PJinv(P)。あ!隣り合うPとinv(P)が単位行列になって消えるよ!」

かばん「よく気が付いたね!結局、A^n=P×J^n×inv(P)ってなって、Jのべき乗は楽にできるから、行列Aのn乗A^nも楽に計算できることになるんだ。」

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じかんねえええええ!




追記

項は全部で15本。奇数だから、15個の引き算を全部入れ替えると、全体の符号は反転する


こういう、解けることと解き方をあらかじめ知っておいてから
完全に予定調和なパズルゲームに挑む姿勢が僕は好きだ。
人はそれを「ゲーム性がない」という・・・なんでや。こんなに楽しいのに

パズルゲーム大会で何度もリハーサルしたら楽しいだろうが・・・!
マリオだってシーケンサー痛快でたのしかろう!?(よくしらんけども)

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行列のべき乗 固有ベクトル 固有値 対角化 複素行列 非負行列 ペロン・フロベニウスの定理 グラフ理論 有向 重みなし 隣接行列 それが大事 ノルム 規格化 エルミート共役 ユニタリ行列 複素共役 転置


これの


この行列の、固有値と固有ベクトルを計算してみましょう。

scilabでも求まるんですが、勝手に固有値の順番を 指定されてしまうので
手計算でやってみました。


そんな計算を海外旅行のホテルや機内でも淡々と行う、相変わらずのきのこですこんにちは


det(A-λE)=0 (Eは単位行列)
から、固有値λを求めてみます。


このように、
1行目-(2行目×λのべき乗)
の繰り返しで、どんどん行列の次数が小さくなってくれますので
最終的には

λ^6=1

という式になって

 λ=λ1^n
という、1の原始複素6乗根のべき乗で、すべての固有値を表すことができます。


では、固有ベクトルはどうなるかといいますと

nを0から5までいっぺんに計算させますと、以下のような関係を導出することができます。


また、6乗したら1に戻る性質を利用して、見やすくした上
すべての固有値の絶対値が1であることを利用して、√6で割り算することで、規格化も可能です。


ということは、対角化のためのブラ・ケットの片方はこのようになります。

規格化しているのでこのPはユニタリ行列です。
expを何度も描くのが煩わしいので、肩の部分だけ取って、便宜的に下部分のように表現することにします。


Pがブラだとすると、ケットはブラのエルミート共役
つまり
複素共役を取って転置したものなので、以下のようになります。

6乗して元に戻るので、冗長な書き方かもしれませんが、
規則性を表すためにあえてこのように書いています。

複素共役を取ったものが対称行列なので、その転置は同じものとなり
エルミート共役は以下で表されます。
 



ケットがこのようにシンプルに表せたので、ついでにブラのほうもシンプルに表してみましょう。


このようになりました。
まあつまり、expの指数部分においての複素共役は、マイナスを取るだけでいいのです。



まとめると、対角化のためのブラとケットと、対角化された行列は、このように表されます。

具体例は以下のようになりますが


実は、1の複素6乗根はいずれも、1の複素原始3乗根
ω={-1+j√(3)}/2
とそのべき乗、あるいは複素共役か符号を反転したものだけで構成できることがわかります。

また、対角化された行列のべき乗は、以下のように簡潔に表すことができます。


これらを使って、元の行列Aのべき乗を表してみましょう。

A^L=P×(λ^L)×P†

なので

その過程をExcelにぶち込んで表現してみたのがこちらです。

原寸大はこっち
ソースファイルはこっちからー!

黄色部分(左上)が対角化のための行列ブラP、青部分(右上)が逆行列=エルミート共役のケットP†、
緑部分(左下)が対角化された行列λのべき乗
それらの複素行列を掛け算したのが赤(右下)の部分で、一番左には計算して得られた行列Aの実整数を出力させてます。

行列の中身が複素数になるため、Excelの行列ライブラリは使えません。
そこで、複合参照と複素数ライブラリを用いて計算してます。


空白セルを指定して、そこでdel押しまくるなり再計算しまくるなりすると、動くと思います。
少なくともPCでは動きますが、タブレットではどうなるかわかりませふんせふん

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大変遅くなってしまい申し訳ありません

2017/02/17の日記のDL用Excelファイルを改造します。


シート1から10までを選択した状態にして、セルも全選択し、

枠線を外します。

それから、右側の表も消します。


準備が整ったところで、5行目のa2の行を、
A5からO13まで選択し、Q4にコピペではなくカットアンドペーストします。
コピペでは絶対参照にしてない場合に、コピー元がずれるからです。


同様に、Q5からAE12までをAG4にカッペーします。


あとは、aなんとかとついているシリーズの2段目を、一連の表の最後尾まで選択し、
表の右側の、さらに1列空けてカッペーします。

これをa10の行まで繰り返します。

最後尾がFC列になってれば作業はOKだと思います。

それから、A列を選択して、列の挿入を行い、P1セルの42とか書いてる数字を
A4セルにカッペーします。

O1のnと書いてあるラベルも、A3セルにカッペーしておきましょう。

今度は、imdivのあるP列を切り取って
FF列目指して、切り取ったセルの挿入を行いましょう。
これと同様のことを、a2ならAE列をFF列に列カッペーといったように、a10まで繰り返します。

これで、
EV列からFE列まで、imdivの式が揃いました。


ここで、

EV3の数式に注目してください。
コロンの指示で区別している複数のセルは、コピペーではもちろん、カッペーでもうまく移動されません。
これまでの一連の作業は、グラフにしやすいようにと見やすさのほかに、imsumのコロン参照をうまくいかせるためでもあったのです。


縦参照合計ではなく、横参照合計にしてやると、ちゃんと数列の値が出ることがわかります。

×4244727807.02364-2.37723717217999E-07i
○4244727806.99991-2.37723717222155E-07i

それでは、EV3セルの値をFH4セルにカッペーし
FG4セルにA4セルの値を参照して代入しましょう。


これで1つの番号が、1つの行にまとめられました。

あとは、A列を好きなようにいじるだけです。

とりあえずA4セルを0にして、
A5をA4+1にしてみましょう。

それから、FHセルの字の色を黒に戻し太字でもなくして、
imreal関数で数列の実部だけ取りだして、文字型から数値型に変えましょう。


A1にdn、A2に1を代入して

A5=A4+$A$1

としておきます。
そして、結構行コピペしますと

あ、忘れ物がありました。
O、AD、AS、BH、BW、CL、DA、DP、EE、ET列でのnの参照が絶対参照でした。
列だけ絶対参照の複合参照に直します。

O列にある$A$4を、$A5に変更し、これを残りの9列にコピペーします。

それから、D4~FE4の行を下までコピペーします。

そうした上で、デカボナッチ数列を見てみると、以下のようになります。


・・・あーなんか煩雑になってきましたね。
とりあえず出来上がったExcelファイルを置いておきます。
モノボナッチからデカボナッチまでの。


とにかく、n番目1つを1行にまとめたかったんです。
それで、nの刻み幅を整数から実数にしてみたり、nの初期値をゼロ未満にしてみたりすると
たとえばヘキサボナッチだったらこんな風に、

4番目まで整数だけ見るとゼロのまま静まり返ってますが、nを整数から実数に拡張してみると、数列は実は複素数の範囲で結構ダイナミックにうごめいているし
nが負の場合にも拡張できて、負の実数のnだとこんな風になってるよーってのを
ここ何日かずっと、言いたかったんだけど余裕がなかったんです!今もない!


なんつーか、真空の量子ゆらぎやビッグバウンスを彷彿とさせるかなーなんつって!

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昨晩、寝る前になんとなく放送大学をつけたら「入門線形代数」の最終回をやっていて

ちょうど対角化で締めるところだったらしいです。

2番目の例題で、具体的な数値はいまいち忘れてしまったのですが

実対称行列で、

A=[a,zeros(1,2);zeros(2,1),B]
かつ
B=[b,c;c,b]のような構造をしていて

固有値が1重根だったのは覚えてました。

たとえば

A=[-1,0,0;0,2,3;0,3,2]

それで、ジョルダン標準形にはならなかったんです。

たぶんこれが「ランク落ち」とかいうやつで

1つの固有値から2つの線形独立な固有ベクトルが作れることがわかりました。

その根拠として「次元定理」が用いられていたようで

僕の一番知りたかった情報はここにあったようです。

rankA+dim(kerA)=dim(ImA)+dim(kerA)=n


rank:階数、ランク
dim:次元
ker:カーネル、核
Im:像

だそうです。


scilabにとりあえずrankを計算する関数だけは見つけたので遊んでみたところ
少しだけわかってきました。

あと、ウルフラムαでも少しだけ、3次元アフィン変換について遊んでみてました。

今はだるいので画像を作る気力がないのですが

[a,0,0,0;0,b,0,0;0,0,c,0;x,y,z,1]
かその転置によるアフィン変換の


xとyとzを有限に保ちながらaかbかcを1にすると(排他的ではない)、2次のジョルダン標準形になるみたいで、3次以上のジョルダン細胞にはならないみたいです


また、aを1にしながらxを0にするみたいにすると、ジョルダン標準形からただの対角化に戻るみたいです。

おそらく、これはディラック行列の中にパウリ行列を入れ子にしたのと同様の理屈が通るのではないかと類推しました。


[a,0,0,0;0,b,0,0;0,0,1,0;x,y,0,1]というのは、2次行列が2次行列になって入っているマトリョーシカにできて
[A,O;X,E]
とできるのではないか。
A=[a,0;0,b]、O:2×2ゼロ行列、E:2×2単位行列、X=[0,0;x,y]

また、


[a,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;x,0,0,1]

というのも、
[A,O;X,E]
ただし、今度は
A=a(スカラー)、O:1行3列のゼロ行列(横ベクトル)、E:3次の単位行列、X=[0;0;x](縦ベクトル)

と考えられるのではないかと類推してみたのです。

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1981/04/04
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