備忘録：次元定理

昨晩、寝る前になんとなく放送大学をつけたら「入門線形代数」の最終回をやっていて

ちょうど対角化で締めるところだったらしいです。

2番目の例題で、具体的な数値はいまいち忘れてしまったのですが

実対称行列で、

A=[a,zeros(1,2);zeros(2,1),B]
かつ
B=[b,c;c,b]のような構造をしていて

固有値が1重根だったのは覚えてました。

たとえば

A=[-1,0,0;0,2,3;0,3,2]

それで、ジョルダン標準形にはならなかったんです。

たぶんこれが「ランク落ち」とかいうやつで

1つの固有値から2つの線形独立な固有ベクトルが作れることがわかりました。

その根拠として「次元定理」が用いられていたようで

僕の一番知りたかった情報はここにあったようです。

rankA+dim(kerA)=dim(ImA)+dim(kerA)=n


rank：階数、ランク
dim：次元
ker：カーネル、核
Im：像

だそうです。


scilabにとりあえずrankを計算する関数だけは見つけたので遊んでみたところ
少しだけわかってきました。

あと、ウルフラムαでも少しだけ、3次元アフィン変換について遊んでみてました。

今はだるいので画像を作る気力がないのですが

[a,0,0,0;0,b,0,0;0,0,c,0;x,y,z,1]
かその転置によるアフィン変換の


xとyとzを有限に保ちながらaかbかcを1にすると(排他的ではない)、2次のジョルダン標準形になるみたいで、3次以上のジョルダン細胞にはならないみたいです


また、aを1にしながらxを0にするみたいにすると、ジョルダン標準形からただの対角化に戻るみたいです。

おそらく、これはディラック行列の中にパウリ行列を入れ子にしたのと同様の理屈が通るのではないかと類推しました。


[a,0,0,0;0,b,0,0;0,0,1,0;x,y,0,1]というのは、2次行列が2次行列になって入っているマトリョーシカにできて
[A,O;X,E]
とできるのではないか。
A=[a,0;0,b]、O：2×2ゼロ行列、E：2×2単位行列、X=[0,0;x,y]

また、


[a,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;x,0,0,1]

というのも、
[A,O;X,E]
ただし、今度は
A=a(スカラー)、O：1行3列のゼロ行列(横ベクトル)、E：3次の単位行列、X=[0;0;x](縦ベクトル)

と考えられるのではないかと類推してみたのです。