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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
以前、ご飯を食べてたら目の前のお茶碗の中に水素原子様がいらっしゃった感じがコレです。
s軌道可視化機 

皿を回すとつゆが遠心力で外側に寄ります。

皿ではなくサラダのレタスなんかを火起こしの要領で回して水切りするアレが台所にあるのですが
(装置名がわからない)
めんどくさいのでPC内に作りました。
それでもやっぱりちょっとめんどくさかったので、やる気を取り戻すまで数日~数週間かかりました。
洗濯機が覗ければいいのですが、あれ回ってる間は観測しちゃいけない気がしたんで他の候補を。


イメージ的には水位が波動関数の(絶対値の)2乗です。存在確率です。

s軌道磁場だか電場だかをかけて、縮退を解いた感じです。
クーロンポテはめんどくさそうなのでさっさと諦めて、調和振動子ポテにしましたよ。
水素原子とかのサイズの場合は右回転と左回転がデフォで重ね合わされてるんで
お茶碗が止まってる状態なんかないんですけどね
いわるゆ角運動の零点エネルギーってやつっすよ
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遠近法を使ったつもりだったのですが、図らずも右回転と左回転が同時に見える仕様になってしまいました。

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ここに水素原子があるじゃろ?
ポテンシャルがちょっと調和振動子っぽくてアレなんですが
だいたいこんなん。つゆは真ん中にいらっしゃる。
計算に疲れてぼーっとしながら飯食ってたら目の前に水素原子様がいらっしゃるのでびっくりしました。



皿を回せばn>1、l≠0も(古典的に)再現できるかなーとも思うんですが
どうしたものか。


いちおう、火起こしみたいなレタスと水分子との手動遠心分離器はありますし
もちろん洗濯機もあるんですが
どうも回してる状況が撮影しづらいんですよね。





まっちょほむ
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ここに水素原子があるじゃろ?´・ω・`



数分後の貴様の姿じゃ!!└`・ω・´┘(ムキッ

だいたい水素なんですけどね。



原子核の周りの電子が回転していると、電磁波を放出してエネルギーを失い、落下していくといいます。

じゃあ原子がなぜ潰れないのかと問われると
「回転を強いられているんだ!」

という解答がよく出ますが


方位量子数l=0の
s軌道は回転してませんよねえ・・・´・?・`


でもやっぱり回転してるんです`・ω・´!




同軸ケーブルってあるじゃないですか。
同軸ケーブル 
あれがノイズに強いのは、同心円構造だからなんですけど
同じ中心を持った、同じ大きさの電流が、外側と内側に別れて流れてたら
実質的に時計回りの磁界と反時計回りの磁界が打ち消されるじゃないですか。

水素原子のs軌道もそんな感じなんすよ。
同軸と違うのは、半径まで同じってことです。

  縮退を解いたのび太 
この図の、青とピンクが混ざってこう
宿題炉
なってるんですよ。

これだとまあ角運動量は相殺されますが
それでも角運動エネルギーは2乗同士の和だから相殺されませんよね。

量子サイズなら、いいんです。プランク定数が見なかったことにしてくれるんでまうまう
古典サイズだったら本当に回転しなくなっちゃうんですけどね
量子サイズだったら重ねあわせが有効ですから。


 これはー、ゼーマン効果とシュタルク効果のことを言っているのかな?



というわけで、お団子が2つとか4つとかついてる軌道電子カンタムがどんな風に(古典的に)動いて見えるのかイメージしたいのです
ねるとんとかいうアレで。
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波動関数一覧(the animation) wikiによりますと動径R(r)がこうで、緯度Θ(θ)がこうなんだそうで。
 

動径


動径のほうから微分方程式を差分方程式に離散化してみますとこんな感じに。
動径波動関数の離散化 
R+とR0とR-は差分化したときのフロントとセンターとバックです。
以降、変数はなるべくwikiのとおりとします。

ρが中心からの距離を規格化・無次元化したもので
dρはまあΔρと考えてください。
nは主量子数、lは方位量子数です。

境界条件の注意点


境界条件 
数値計算で解く際の注意点ですが
最初のR0とR-がまだ定まってないんですね。
そこで、以前井戸型ポテンシャルでやったとき同様、偶関数か奇関数であることを利用して

投げ落とすか投げ上げるかのイメージでやります。
回転してないと中心にいる(ような気もする) 
l=0の時はゼロ距離ρ=0でR≠0なので上の図を参照
最初のR≠0、 最初のR0-R-≠0 
初期値問題とのアナロジーだと、真横ではなく下に投げ落とすイメージです。
実際に波動関数が折れ曲がる心配はありません。動径関数なので負の距離がありませんから。


一方、l≠0の時は遠心力が働いているのでゼロ距離にRはおらず(R=0@ρ=0)
 下の図右側のような格好にします。
最初のR=0、最初のR0-R-≠0にします。
(境界値ではなく初期値問題だと、地上から投げ上げるイメージ)
回転してると中心にいない  


規格化


中心からの距離rをボーア半径a0で割ったものが0から40くらいまでをプロットできれば実際問題としては十分なので
だいたいそのあたりまでのrmsを取ります。
刻み幅は意識しなくても構いません。ただ単に離散した数値の2乗平均ルート(rms)を取ればいいので
rms=sqrt(sumsq(塊)/count(塊))で求まります。
波動関数を2乗して存在確率を一旦出してやった上で、rms=sqrt(average(存在確率の塊))でも可です。

標準偏差stdevとの違いを意識したければ、rms2=stdev2(塊) +average2(塊)
 
を使ってもいいかもしれませんが、忘れた頃に何を計算したのか思い出せるかどうかは自己責任でお願いしますwwww
stdev関数があるならrms関数もあればいいのに・・・

このrmsで、算出した個々の波動関数の値を割れば、規格化完了です。

規格化と固有値の関係

固有値(量子数)一覧 
量子数であるnやlが適正な値でないときは
遠距離での「規格化されてない」波動関数がバカでかい数値としてはじき出されます。
よって、規格化すると分母が大きいので波動関数全体がほとんどゼロになります。
つまり粒子が存在できないということです。
規格化されてない波動関数の端っこがダイバージェンス 

波動関数はnやlが本来整数のときに存在するのですが
差分法という手法や精度の粗さなどが原因なのか、シミュレーションでは整数からちょっとズレた値で波動関数が有限の値を取るようです。

nやlが変数となっている関数として波動関数のrmsを定義し、二分法(手動wwww)を用いて関数rmsがほぼ零になるポイントを割り出しています。


二分法

循環参照だゼット 
二分法は工事中です。
なんかうまく収束しなかったので井戸型ポテンシャルのときのファイルを参照してみたんですがいまいちわからず。
もしかしたらz状にトレースしてる循環参照の脆弱性が現れたのかもしれません。

「rmsを最小にする」方法と、端っこを0にする方法の2種類があると思います。
ただ、rmsは0が最小なので、微分か差分しないと二分法には使えないのです。

また、緯度関数のほうは「端っこ」で評価できないみたいです。wikiカンペしましたすんません(・ω・`;)

 



緯度



次に、緯度依存の波動関数を差分方程式に離散化するとこうなります。
 緯度波動関数の離散化
動径R同様、P+とP0とP-は差分化したときのフロントとセンターとバックです。

緯度θを変数変換してz=cosθとし、
関数もΘ(θ)からP(z)にしています。P(z)=Θ(θ)です。
要は、一度極座標にしたものを直交座標(円筒or円柱座標)に戻したような感じで、zというのは高さのことですね。(厳密には動径rで割った高さz/r)
lは先ほどと同様、方位量子数で、mは磁気量子数です。


境界条件の注意点

初期条件のような境界条件 
 緯度関数を解く際も初期値のような境界条件に注意してください。
方位量子数lと磁気量子数mとの和だか差の偶奇が、関数の偶奇に直結していますので(カンペ)

l+mを2で割ったあまりmod(l+m,2)が0のときは下図の左を(高所から真横に投げ落とす偶関数)
:最初のP0、最初のP'=0
あまりが1だった場合は(mod(l+m,2)=1)下図の右(地上から斜め上に投げ上げる奇関数)
:最初のP=0、最初のP'0

を、採用してください。

偶関数と奇関数 



負の変数での関数値

マイナス1の小数乗 
zが負のときの計算値は、zが正の計算値を、符合を変えたり変えなかったりして流用してます。
-1の整数乗を作るのに、mod(l+m,2)の小数点以下をround関数で切り捨てています。-1の整数でない実数乗は基本的に多価になりますからね。
また、緯度θは-90度から90度までの180度が範囲です。360度ではありません。


疑問


規格化の疑問「√2倍」 
規格化の際にrmsに√2をかけるとなぜかwikiと同じ値になりました。
理由はいまいちわかってませんが、360度じゃなくて半分の180度ってところと、存在確率が波動関数の2乗ってところが関係しているのかもしれません



それとDL用Excelファイルです。よかったら遊んでください
delおしっぱで再計算~the animation~シリーズです。

デフォルトでは時刻取得関数で固有値一覧表を1つずつ移動していく状態になっています。
now()-today()に速さ50000だかをかけて動きが見えるようにし
round関数で整数にしてから、表の行数である20で割ったあまりをモジュロ関数で算出し
最後に1を足すことで0~19ではなく1~20にしています。

ここに手動で1~20の整数を入れると好きに固有値が見れます。

また、連続固有値探索モードとして、n、m、lそれぞれに循環参照を入れてもいいかと思います。
スイッチが0だったら初期値を返し、スイッチが1だったら増分だけ自分自身に加えるセルを用意してます。
初期値と増分を適当に調整しながら最小のrmsを探せ!(おもちゃのCMかな?)
割りと厳密に近づけないと、規格化された波動関数が有限にならないことがわかるかと思います。(特に動径のほう)



放送大学を見ると録画した他の回も見たくなって見ただけで俄然やる気がでてきます。
たった3回で水素の説明を終えてしまわれたのでだいぶ励みになりましたwww
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すいませんタイトル間違えました緯度じゃなくて経度です。><


書く側も読む側も疲れるので、小出しにしましょう。



水素原子の波動関数なんですけどね

変数分離すると、まず緯度経度方向φの波動関数Φ(φ)が得られるじゃないですか。
微分方程式自体はすごく簡単なんです。

ですが、これ複素数として算出されるのが初心者にはなかなか解せなくてですね
どうやって実数化すんのよって話になるんですよ。


ΦとΘの表を見てください

|m|=0のときはいいのですが
|m|≠0だと、ΘとΦの積(極座標)とΘΦが微妙に違うんですよ。
m=0の緯度経度波動関数 ΦとΘ
いつの間にか√2倍されてるんです。
 m≠0の緯度経度波動関数 ΦとΘ  
これはどういうことかといいますと

exp(±imφ)をそのまま規格化した際は
 複素関数の規格化 
なので、係数は規格化係数になるのですが


m≠0だとΦをまず実数化しなきゃいけないんです。

exp(imφ)とexp(-imφ)の適切な1次結合(線形結合)の対を探すんですけど
ぶっちゃけ
sin(mφ)=(exp(imφ)-exp(-imφ))/(2i)とcos(mφ)=(exp(imφ)+exp(-imφ))/2  
ってだけなんです

 
Aexp(imφ)+Bexp(-imφ)のAとBは、BがAの共役複素数ならなんでもいいです。
実数化 
の虚部がφに対して恒等的に0であればいいので、A1=B1、A2=-B2の複素共役関係です。
これを代入すると、実部はこうなって
実数化
2A1=cosδ、2A2=sinδとおくと、加法定理より
どっち化
こう実数化されるわけです。A1,A2,C,δは任意の実数です。
(なぜか振り子の微分方程式のところで教科書のここばっかり見てて授業聞いてませんでした)


 
ところで
どうして、sinに対してcos、っていう対じゃなきゃいかんのでしょうね?
波動関数同士を直交関係にするため?


たとえばsinφとsin2φが直交するように
sinφとsin(φ+d)みたいな中途半端なdの対は認められないんでしょうか。
でもそれだったらsinφとcosφのカップリングだって認められないじゃないですか。
直交関数系カップル 
sinあるいはcosだからこの論理でいいんでしょうか

cosとsinの内積 
三角関数そのものが平行か垂直に分類されるわけっすね。


========
そのうえで、sin(mφ)かcos(mφ)の2乗を積分しようとすると

実数の規格化が複素より√2倍された
うまいぐあいに複素のときの規格化係数とは√2倍だけ違ってくれるんですよ。



あと、ここもなかなかおもしろいところでしてね
係数が微妙に違う
どうしてlも|m|も同じなのに分母が半分になってるのかといいますと

ド・モアブルの定理を使った加法定理なんですよこれ。
倍角の定理
この2の部分が効いてきてるんですね。
ΘΦ(極座標)にさりげなくcos2φとかって書いてあるのがまーた誘導的で小憎たらしいんですよねーwww

倍角同様、ド・モアブルの定理を使えば3倍角の定理も簡単に作れます。
3倍角の定理 
これが|m|=3に使われてるわけです。


あとは、極座標と直交座標の関係
x=rsinφcosθ
y=rsinφsinθ
z=rcosφ
を使って戻してやればOKです。


最初は、実部がxで虚部がyなのか?そんなばかな~パウリ行列じゃあるまいしって
思ってたんですよ~
やー見事にベクトルの直交と関数の直交がリンクしてます。全然大雑把じゃないアナロジーです。


水素原子かわいいよ水素原子
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