ルジャンドル陪関数の規格化

ルジャンドル陪関数P(z)を微分方程式から数値計算で算出したんですよ。

wikiに書いてある方法だと、一旦zの関数P(z)として出すんですけど
(zは電子の回転軸z軸の変位みたいなもんです)

規格化するときに解析的な書き方だと、z=cosθとしてからP(cosθ)の2乗を取って
さらにsinθを掛け算して積分するんです。



どうにかしてdzかdθかどっちかに統一したくてですね

じゃあ規格化の積分のときにdθをdzに置換すればいいじゃないかってなりまして

z=cosθなので、dz/dθ=-sinθですし、
θ=0の場合はz=1、
θ=πの場合はz=-1なので


この当たり前の式たったこれだけになるんですよ。
なぜか掛け算してたsinθがきれいさっぱり消えるんです。



＝＝＝＝＝＝＝
ただ、こういうアプローチもいいんですが、
ルジャンドル陪関数を導出する微分方程式

が、z=±1で発散してしまうので、できればジワジワ近づけたいんですよね。
でも微小量を変化させるのは面倒くさいなあと。

だったらdθ使えばいいんじゃね？
ってなりましてね、
さすが人類の叡智の結晶と言いましょうか
原子の緯度の基準を赤道ではなく北極に取った神采配と言いましょうか
dθは固定のまま、θ=0,π付近ではじわじわと発散ポイントに向かってくれるわけですよ


じゃあその、ルジャンドル陪関数を求める微分方程式の
変数がzじゃなくてθのやつはどこにあんの？


探しだしましたよ昨日の寝る前に！(スクショしといてよかった～)
球面調和関数のページの「Y(θ,φ)の意義」の項目のですね
折りたたまれてる「証明」のところを開くと


(kは方位量子数lに読みかえ可能です)
っていう元々の微分方程式があるんですよ！

数値的にはこちらを解いても何の問題もないため、これを直接解くことで
発散ポイントであるz=±1(原子の北極と南極)を精度よく算出することができるはずなんです

そのあと、規格化の際にもθで規格化が可能なのです