粘性抵抗、慣性抵抗、落下運動、両方、運動方程式3

前回はc1≠0、c2=0の条件で解いたが、今度は逆にc1=0、c2≠0の条件で解いてみよう。



となるが、元の運動方程式

 

も解いてみると

 

部分分数分解を用いて

 

(A1+A2)v=0

からA1=-A2

 

 


初期条件t=0でv=0を与えるとG2=-1となって


ここで、式を整理してvの式にする
両辺にv+√(mg/c2)をかけると
 
ここで、右辺の分母分子にをかけると

これは双曲線関数ハイパボリックタンジェントなので


を得、見事に両者は一致する。


また、終端速度については

t→∞でv=√(mg/c2)になるが、

これについても元の運動方程式

mv'=mg-c2v^2のv'=0の条件で解くことで、単なる代数方程式として
終端速度v=√(mg/c2)を簡単に得ることができる。