ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチその他あらすじ

ここ1週間ほどブログ更新しなくてすみません。
僕も描けなくて欲求不満気味でした。自分に謝罪と賠償を要求します。


先日の「ローレンツの伸縮公式」シリーズ
完成させる予定の行列指数関数が実対称ではなくエルミートにしかならないからおかしいなーって思って
過去ブログ参照したら盛大に勘違いしていまして

生成子が
 
これ

(ただし、a^2+b^2+c^2=1とする)

じゃなくて

これ

(ただし、a^2+b^2=1とする)


だったんですよ！！！！！
(自由度が3つから2つに減ってるのは諸事情あります。そのうち述べます)

つまり、完成させたい行列指数関数も

これ

じゃなくて

これ！！！！

「歪エルミートじゃなくてエルミートをexpの中に入れるんだよね？」
ってところ以降全部間違い！！！！＞＜あばばばばあああああーーーごめんねええええ



まあそりゃぁ生成子だけじゃなく行列指数関数も実対称行列になるわーって感じですわ。
ちょっと今日はあらすじを書いておきたいので細かい話はあとでしますが

対角化からのアプローチを、「3乗が1乗に戻るアプローチ」に照らし合わせてみたんです。答え合わせです
そしたら、

またしても
ロドリゲスの回転公式の
exp(A)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)
なのか
exp(A)=E+A*sinθ+A^2*(cosθ-1)
なのかわからなくなりましてね


テイラー展開して解析してたら、ある当たり前のことに気づきまして

ある条件(規格化絡みの)で

Aを交代行列とすると

exp(Aθ)=E+A*sinθ+A^2*(1-cosθ)

これはロドリゲスの回転公式ですよね。

じゃあ、実対称行列になるBを定義して

exp(Bθ)

これは？
ってのが今回のテーマ「ローレンツの伸縮公式」でして

exp(Bθ)=E+B*sinhθ+B^2*(coshθ-1)

逆になるんですよ！ハイパボリックコサインのところの符号が！

でもよく考えてみると、これ当たり前の話で
iB=Aだとしたうえで、AもBも実数行列となるAとBの集合を仮定すれば
(もしかしたら実対称→エルミート、交代→歪エルミートに一般化できるかもしれません)

exp(iBθ)=E+i*B*sinθ+(iB)^2*(1-cosθ)
exp(Bθ)=E+B*sinhθ+*B^2(coshθ-1)

これ、ただのオイラーの公式の行列バージョンじゃないですか！

スカラーでたとえるとこうなります。

exp(iθ)=1+i*sinθ+i^2*(1-cosθ)=cosθ+i*sinθ
exp(θ)=1+sinhθ+(coshθ-1)=coshθ+sinhθ

ね？当たり前の指数関数の公式でしょ？

当たり前だったんですよ・・・


ただ、これが行列にも当てはまるための条件が、
「行列AやBが規格化されている」というものだったんです。
(トレース＝０の条件も必要かもしれませんね)
 
上の例でいくと
a^2+b^2+c^2=1
や
a^2+b^2=1
がこの条件に相当します。

つづく