ローレンツの伸縮公式、対角化からのアプローチ2

さっきの続き



固有値λが1,0,-1のときの固有ベクトルをそれぞれ求めます。

まずλ=1から
 
この連立方程式について、v1,v2,v3を求めるわけですが
もちろん永年方程式なので、固有ベクトルの3つのvの値は求まらず、v同士の比しか求まりません。

これが結構複雑でして、線形ではあるものの、実数とか純虚数にとどまらず、一般に複素数のベクトルになります。

 
こんな比になりますが、実は規格化条件という、4本目の式が隠れていまして
それを使うと4本の式になるので、結局、3つのvの値は確定できます。

v1^2+v2^2+v3^2=1

これが規格化条件です。

少し具体的に計算しますと
A^2{|-ab-ic|^2+|(1-b^2)|^2+|-bc+ia|^2}=1

となるので、
A=√(2-2b^2)
となります。よって、固有値λ=1のときの固有ベクトルp1は
 
と、確定できます。


次に、λ=-1のときの固有ベクトルを解きますが
 
今度はこれを解けばいいということになり
結局、p3はp1の複素共役になります。
規格化定数も√(2-2b^2)と、同じものとなりますので
 
こうなります。


最後にλ=0のときの固有ベクトルを求めますが、これは簡単で
もちろんこういう式になって
 

固有ベクトルは
 
こうなります。最初から規格化条件を満たしていますね。


この縦ベクトルp1,p2,p3を横に並べたものを使って、対角化するわけですが
規格化された固有ベクトルなので、この3次行列はユニタリ行列となり

 

行列式は-iとなって、ガウス平面の単位円周上にあることがわかるかと思います。

ユニタリなので、逆行列を求めるのも簡単です。エルミート共役(転置して複素共役)
inv(P)=P†
を取れば、逆行列になります。
 
掛け算PP†すると、単位行列になるはずです。


実はPもP†も、縦横どちらの2乗和を取っても、1になります。ルービックキューブみたいですね！しらんけど