複素行列の対角化に見出すオブジェクト指向の楽しさ

といいつつ、対角化したい行列はただの交代行列(実数)なんですけどね

これを対角化したいと思います。昨日・・・じゃなくて今日、の続きです。


この行列Aを、ユニタリ行列Pとそのエルミート共役P†で対角化しましょう。



対角化されたあとの行列をJとおくと
J=P†APとなるわけですが

せっかくなので、Pをモジュール化してみます。


こうおいてみますと、対角化行列Jは

このように表されますね。

最後の計算は長いので、要素ごとに分けて表示しますと
2行目は全部ゼロなのはいいとして、非対角成分は

このように
対角成分は

このようになりますね。

非対角成分は、計算するとすぐにゼロだということが分かると思いますので、計算してみてください。


残るは、対角成分2つです。

整理すると、J11=-J33と、ただ符号だけが逆なのだとわかるので、J11だけ計算します。
一般に、2つの複素数vとwの、このような式は、虚部を2i倍した

であることがわかるかと思いますのでJ11は


こういうことが言えます。

ここでようやく、v1、v2、v3やその複素共役の中身を思い出すわけですが

なので、虚部はc/2ですね

同様に


実部と違って虚部は一見なんのことかよくわからないように見えますが
a^2+b^2+c^2=1の規格化条件を思い出してみると
a^2+c^2=1-b^2であることがわかり、実部同様、虚部も約分できて
b/2であることがわかるでしょう。


となって、虚部がa/2であることがわかります。

よって、J11=2i(c*c/2+b*b/2+a*a/2)=i(a^2+b^2+c^2)=i
であることがわかり、J33はその逆符号である-iであることがわかります。


つまり、

と、めでたく固有値±iと0で対角化できたというわけです。

このようにモジュール化して考えることで、計算効率もよく、ミスしづらいことがわかるかと思います。
と、ここまで書いていて自分自身、これがプログラミングにもそのまんま当てはまるんだなと気づかされました。


オブジェクトシコうは概念は割りと単純なんですが
それを実装する際のルールの習得が結構面倒なんですよね。
おそらく一般相対論のテンソルの概念とも共通するところがあるんじゃないかと思います
なんというか、一言で言うと、習得までの腰が重い。


もし4次元の複雑さに生命や知性が住めると仮定すると
その4次元人にとっての紙媒体のようなものは、1つ次元の下がった3次元で
ベクトル、行列と、3階のテンソルまでが容易に想像できる数学的構造なんでしょうか・・・

とはいえ、4次元人は理論的に存在できなさそうな雰囲気なので、考えるだけ無駄かもしれません

ここでいう「理論的に存在できない」というのは2次元人にとってドーナツ構造が感覚的に理解できず、同様に腸などの内臓を「またぐ」という概念がないのなら
4次元人は逆に、複雑すぎて生命も知性も誕生しえないかもしれない、といった意味合いです