ロドリゲスの回転公式、対角化からのアプローチ2

昨日はお楽しみでしたね(シン・ゴジラ)

映画が始まる直前まで、おとといの続き「ロドリゲスの回転公式の対角化からのアプローチ」をやっていて、
ギリギリで固有ベクトルのバグが取れましたが、それ以降はシンゴジラとそのツイートにエモさを感じて何もできませんでした。



固有値λがi,0,-iのときの固有ベクトルをそれぞれ求めます。

まずλ=iから

この連立方程式について、v1,v2,v3を求めるわけですが
もちろん永年方程式なので、固有ベクトルの3つのvの値は求まらず、v同士の比しか求まりません。

これが結構複雑でして、線形ではあるものの、実数とか純虚数にとどまらず、一般に複素数のベクトルになります。


こんな比になりますが、実は規格化条件という、4本目の式が隠れていまして
それを使うと4本の式になるので、結局、3つのvの値は確定できます。

v1^2+v2^2+v3^2=1

これが規格化条件です。

少し具体的に計算しますと
A^2{|-c-iab|^2+|i(1-b^2)|^2+|a-ibc|^2}=1

となるので、
A=√(2-2b^2)
となります。よって、固有値λ=iのときの固有ベクトルp1は

と、確定できます。


次に、λ=-iのときの固有ベクトルを解きますが

今度はこれを解けばいいということになり
結局、p3はp1の複素共役になります。
規格化定数も√(2-2b^2)と、同じものとなりますので

こうなります。


最後にλ=0のときの固有ベクトルを求めますが、これは簡単で
もちろんこういう式になって


固有ベクトルは

こうなります。最初から規格化条件を満たしていますね。
(実は最後まで残っていたバグがここだったなんて口が裂けても言えない)


この縦ベクトルp1,p2,p3を横に並べたものを使って、対角化するわけですが
規格化された固有ベクトルなので、この3次行列はユニタリ行列となり



行列式は-iとなって、ガウス平面の単位円周上にあることがわかるかと思います。

ユニタリなので、逆行列を求めるのも簡単です。エルミート共役(転置して複素共役)
inv(P)=P†
を取れば、逆行列になります。

掛け算PP†すると、単位行列になるはずです。


実はPもP†も、縦横どちらの2乗和を取っても、1になります。ルービックキューブみたいですね！しらんけど


これのサイコロステーキも面白そうですよね。
どうやったら「特殊」ユニタリにできるのか(detP=1)、
その焼肉の回転はとびとびなのか連続なのか