ロドリゲスの回転公式、対角化からのアプローチ4

昨日はついヒャッホウしてその3のタイトルを間違えてしまいました。＞＜欠番扱いです

準備が整ったので、対角化からのアプローチで、行列指数関数を使って
ロドリゲスの回転公式を導出してみましょう。

Aの行列指数関数exp(A)を計算すると、ロドリゲスの回転公式になるはずです。

対角行列Jを
として、行列指数関数はテイラー展開から、
exp(A)=Pexp(J)P†で与えられるので
Pとそのエルミート共役P†を



とすると

対角行列の行列指数関数は

このようになるため、
以下のように略記します


その上で展開しますと


このようになります。ここで、X,Y,Zはそれぞれ、複素数x,y,zの絶対値の2乗とします。

また、

この2つの複素数は、それぞれ三角関数と実部・虚部を用いて、複素共役の関係にあることがわかるため、式は以下のように展開できます。

ここで、X,Y,Zと、x'y、y'z、z'xの中身をぶちまけてみますと



このようになるため、
以下のように展開できます。



これで完成のはずなので、A^3=-Aとなる関係を用いて導出したロドリゲスの回転公式と比較してみましょう。

exp(A)=E+Asinθ+A^2*(1-cosθ)

なので


ぴったりと一致しているのがわかるかと思います。