複素解析つれづれ

今日は仕事が疲れたので、ファミマで複素解析の勉強しませんでした。

得た知識が曖昧なので、今日は割りと定性的なネタで日記をつぶします。

昨日の寝る前に、対数で何が得られるのか？対数という演算で何をやっているのか？

ということを考えていたら、

指数(とかオイラーの公式とか)：極座標→直交座標変換

対数：直交座標→極座標変換

という意味合いを見つけました。(ちょう今更なので、デジャブってるかもしれませｎ)

そして、対数では、極座標に変換したデータを、実部に絶対値、虚部に偏角として出力し

足し算をしている！

ここちょっと驚きました。絶対値と偏角は、足し算できる間柄だったんですよ！！

じゃあこれを物理の現象に翻訳したらどうなる！？

僕は電気工学出身なので、一番身近なものだと、インピーダンスとかアンプのゲイン・位相とかそっちになります。量子力学はいまいちよくわかりません。

対数を取ると、電気工学的な意味合いでは、ゲインと位相を足し算していることになります。
まあ、無次元量同士なら足し算しても問題ないですし、実際無次元量として足し算しています。

ゲインとかもデシベルにしてから位相と足し算しますしね。
デシベルにする時点で、基本となる増幅率で割り算してから対数を取っているので、もちろん無次元量になってます。

興味深いのは、ゲインも位相も、周波数特性としてボード線図にすると
ゲインは両対数、位相は片対数を取って、必然的に対数(無次元)にしている点です。

おそらく、縦軸にゲイン・横軸に位相を取ったような作図があるはず…
ニコルス線図かナイキスト線図か、それともスミスチャートか。なんだったかな





ところで、複素積分するとよく出てくる2πiとかいうやつ。
なんで積分した結果に出てくる語尾みたいのが、純虚数なんすかね？？

僕の中のイメージではまだ、複素平面をぐるりんと回して右ネジの法則～みたいなふわっとしたイメージしかないので
もしそれなら複素平面の紙面に垂直な成分～？って稚拙なイメージしか出てきません。

しかし、あくまで元が2つの複素数を扱っているわけだから、複素平面の外側を考えることに意味がないのもなんとなくわかって、モヤっとしますね。


この辺、ベクトル解析とかだったらどうなるんだろう？
アンペールの法則とかに相当するよね？たぶん。あるいはストークスの定理かなあ？
本にはグリーンの定理の複素版って書いてた気がするけど、グリーンの定理がいまいちわからない


線積分や面積分についてもまだまだ知らないことばかりだし、回転楕円体の積分(二重積分？)とかとの関連もまださっぱり。


で、おとといの日記だったか、1/zの積分は有限なのに、1/z^2とかのそれ以外のやつはゼロになるってやつが妙に気になりだしてて

じゃあ、周回積分で有限になるのって、逆1乗則と密接な関係でもあるの！？とか考え始めたりして。