1/zを真四角経路で積分したったｗｗｗｗ

複素解析


この複素積分をｗｗｗｗｗ


この経路でｗｗｗｗ

経路CをC1,C2,C3,C4に分けます。

C1：z=1+it
C2：z=-t+i
C3：z=-1-it
C4：z=t-i

媒介変数tは実数で、範囲は4つとも-1≦t≦1です。


2項目、3項目、4項目の分母分子にそれぞれ、-i、-1、iを掛け算すると、
4項とも同じ数式になるので、1項目の4倍になります。



定積分を行うと、このような対数になります。
しかし中身が複素数に拡張された対数なので、気を付けて計算しなければなりません。


指数やオイラーの公式に立ち戻って考えますと、以上のようになります。
複素数の場合、わりと常に多価関数を意識する必要がありますが、今回は特に意識しなくて大丈夫でした。

与式はA-Bを計算したいので、最終的に√2の対数の項が打ち消しあって、
iπ/4が2倍され、さらに4倍されるので、



積分の答えは2πiと、昨日の定理と同じ値になることが確認できました。