ヘキサボナッチ数列で理解する、ボード・ナイキスト・ニコルス線図

 
病院の待合室は実に理想的な無駄時間だね。


通院のあとで返そうと思ってた図書館の本を、今回最後の悪あがきで読んでたら
ボード線図とかナイキスト線図とか出てきて、ナイキストのほうはだいぶ忘れてたから
意味を復習できたし、ベクトル軌跡と同じものだってことがわかってよかった。
ニコルス線図は初めて見た。


つまりこの回転するgifでいうところの、数列のn番目ってのが角周波数jw(純虚数)に相当して
数列の実部と虚部がそれぞれ伝達関数の実部と虚部に相当するんだ。

それで、n番目の赤い軸を紙面に立てて真正面から見たのがナイキストに相当して

赤いn番目の軸を回しながら真横から見たのがボード線図的な感じ
回した角度が位相に相当する。
本当はゲインはさらに縦軸の対数を取る必要があるけどね。


ニコルス線図はボード線図をさらに、赤の軸を紙面に立てて見た状態に相当するよね
2つのグラフの横軸が消えるから、縦横バーサスしてやって、ナイキストみたいに1つの図にしてしまえって感じになる。



そう考えると、直交座標よりも極座標、それも対数座標のほうが重宝されてるのがわかるよね


手間はかかるだろうけど、可視化しがいがありそうだなあ

DFT、それが大事

5/20の日記を書いたとき、かすかに反響よかったらしいんです。

「それが大事」の6フレーズを無限巡回するグラフ理論の対角化を行ってたんですが
ニッチな需要だと思ってたのに、どうして、声にはならないかすかな需要がこんなに伸びたのか不思議だったんです。

偶然、こないだ信号処理用のscilabの本を借りたんですね。

DFTの理論のところを見てたら

そっくりなんですよこれ！

W8って1の原始複素8乗根じゃないっすか！


びっくりしました。
DFTのことだったら需要があって当然ですよね。

これがW6だったらW6=-w^2={1+i√(3)}/2になるわけです



それにしても、いつ見てもDFTがZ変換に見えて仕方ないと思ったら
こんな一覧表を見つけました！


DTFTのwiki

わかりやしー！いいっすねこれ！


やー、数学の各分野同士って、ほんとに若干ゃ通じてるんですね。ラングランズ感ぱねえっす！
数学ガールの主人公は「ガチでファンタジーしてる」って言ってましたね

scilabの行列指数関数で、巡回群？を作成

 
A=[0,-1,1;1,0,-1;-1,1,0]
A=A*2*%pi/3/sqrt(3)
clean(expm(A))

それが大事




5/22の日記の続きです。

「あははは！あはは！アハー↑」
「りょうしきのこ　ハ　数学　ヲ　オビキヨセルタメニ　声マネ　ヲスル　ばくてりあダヨ」


これ実は、行列指数関数の中身が実数行列なので、Excelで演算できちゃうんですよね。
指数関数の部分をテイラー展開しちゃえば、行列のべき乗はなんとかなっちゃいますからねー


ところで、scilabは実行ファイルを作りませんが
別に実行ファイルがなくたって、音声ファイルを読みこんだり、作成したりすることはできますよね。
その方法が書かれた本を見つけてきたので、借りてきました＾＾


なんかちょっと楽しみです。
VBAみたいに、せめてブザー音でもDTMシーケンサみたいなUI、にはなってくれないでしょうが
scilabにはいろんな音色を期待してみたいですね


あと、できればjpgやbmpなんかの読みこみ、書き出しもやってみたいなあ



自分好みのMMDもどきにも挑戦してみたいですし
やっぱ脱ワイヤーフレームはしたいですよね。
C#の開発環境も整ったので、どっちでやるかはわかりませんが
腕試しのためにも両方作りたいっていうのはありますねー＾＾


あとはあれです。
scilabで検算になると思いますけど
複素行列のライブラリを、C#で作ってみたいですね。
C#で作るにあたって、継承とかそういうのを理解しようという企みです＾ω＾
行列、複素数、どっちがどっちを継承するのかわかりませんが、
僕に欠けている「部品として使う」をマスターしたいっす


画像処理のマクロとかも作れたらいいっすね～

なにができるかな～

風邪を引いたときの頭で行う行列の2乗命令(れんちょんじゃねんだから)

少し余裕と元気が取り戻せたころに、
改めてウルフラムαにぶち込んだ数式を見て愕然としました。

同じ行列を2回掛け算するところを、わざわざコピペして記述していたのです。
ハット2(2乗)ぐらいウルフラム先生は認識してくれるはずだろうorz

やっぱノってない頭でする作業は「何もやらない」よりもたちが悪い・・・



ウルフラム先生はですね、基本的には地球のインターネットと呼ばれるところに
にすごしていまして
若干ゃ草が生えてるところなので
そういったところでも演算しやすいようにウルフラム先生、あの、不連続な個体で
であと縄張りも大きいので、世界中のユーザーが使えるように。


賢さぁ・・・ですかねぇ。
高度な演算を、スッと、演算できるツールでして
結構抽象度の高い演算が好きなので
軽々と文字式の入った行列の2乗や3乗は余裕で演算してくれますのん

「それが大事」の6フレーズと、四次元の任意回転軸の本数

もし6次や5次の前に、偶数次の4次で試してみたい場合は


こんな風にして無理やり行列式をプラスの1にしてユニタリ化するよりは
行列式はマイナス1でもいいから、


この形式を貫いた方がよさそうな気がしてきた。


といってもロドリゲスが通用しないのは痛い、というより
本質的に何か方針がおかしい気もする。
生成子の要素が4次行列で6つになってしまうのはよくない。

何かしらの理由で自由度3つを維持し、ロドリゲスのような状態に持っていけるほうが自然のような気がする。
それで、4次元の任意回転軸は2本なのかもしれない。
四角形の対角線の本数が2本(2つの三角形に分ける方法が2通り)なのと通じる何かがあるような気がする。

また、ロドリゲスで計算してみてわかったが
生成子の右上を全部マイナスしてしまうと、


このような行列が生成されてしまうから、これを参考に
生成される行列を全部0かプラスの1になるようにする生成子の符号のつけかたが、
4次元以上での右ネジと定義できるのではなかろうか、どうだろうか
（いちおう、マイナスが入っても、この3次行列のべき乗が6乗ループではなく3乗ループであることは保証されるようだ）

奇数個のフレーズと特殊ユニタリ群

ふと思ったんだけど

残念ながらこいつとそのべき乗の行列式は－１になってしまうので定義に当てはまらないが



こっちならモロに、特殊ユニタリ群の定義に当てはまるんだな。

しかも行列の中身は非負の実数、というか0か1の整数しかない。


det=-1
の場合も、準優勝というか惜しかったネ賞というかなんかこう
正負が異なるだけで単位的な実数ではあるんだから
準特殊ユニタリ群みたいな名前がつけられてはいないだろうか

ぱっと見たところないなぁ


特殊ユニタリ群というからには、こいつを作りだす生成子が存在するはずなんだな
特殊ユニタリの生成とは逆のプロセスかなんかを経て、生成子を逆算とかできないだろうか

クォークのカラーによるじゃんけんには反転がないので

反転の概念を加えると、六角形になってしまう。(x^6=1の複素解)

と思う。


言い切っていいのかどうか悩むのは
以前読みかけた数学ガールのガロア理論のところで
ラングランズ双対群・・・じゃなくて、ラグランジュでもなくて、なんだっけ
なんかこう感覚的にやってると落とし穴にハマることがよくある
ってことを見た覚えがあるからだ



それが大事　固有値　固有ベクトル　対角化　グラフ理論　有向　重みナシ　シンプル


つまり、
x^6=1の6つの複素解は、w=(-1+i√(3))/2(の複素共役)とべき乗と、その逆の符号ですべて表しきれるということ

反時計回りに
-w*
w
-1
w*
-w
1



ちょっと油断したら体を冷やしてしまって、飯食ったから喉の痛みは和らいだが
まだ頭痛が割りとひどい。さっさと寝よう。今日通院して、明日も通院なんだ。
ついでにいうと今週の金曜も通院で
来週の水曜は1年越しの通院なんだ




追記5/17+5:44
思い出した！
ラグランジュ・リゾルベントかもしれない！

Xcos(scilab)遊び

昨日まで8日間、海外旅行に行ってて、海外から「日記の予約投稿できてるかなー？」って、か細いながらも日本よりは先進的なWi-Fi環境で見守っておりました。


いきなり先週の月曜日の投稿がミスってましたね。一日慌てました。
今確認したところ、「5月8日」公開にするところを「5月18日」に間違えて予約していたようです。



以下のような内容でした。
＝＝＝＝＝＝＝＝
5日の信号源を、ステップ関数から矩形波に変えてみました。




デューティー比５０％の振幅１、周期５秒かな


まあ結果はおとといと変わんないんですが。


周期を２秒にすると、ちょっと変わりましたね。

「それが大事」のべき乗。概念図

 7日の日記はちょっと間違えてましてね

こうじゃなくて


こうでした。



その上で、「それが大事」の状態遷移図をグラフ理論にした概念図がこれです。

それが大事　状態遷移図　アルゴリズム　フローチャート　グラフ理論　有向　重みなし
隣接行列　非負行列　単位行列　マトリョーシカ　行列のべき乗　6を法としたモジュロ演算

数学　線形代数　非対称行列

Xcosで遊ぶ

ここ数日の、Xcosでシミュレートしたものがどんなモデルなのかを考えてみましょう。


  
積分前の関数をf(t)、積分後の関数をg(t)としてみますと

以下のような連立方程式が成り立ちます。

 
ここで、Aは増幅度(時定数の逆数)、U(t)をステップ関数とします。

関数f(t)を消去すると
 
が成り立ち、両辺を微分して微分方程式の形にしてやると


このようになります。


この微分方程式の意味するところは

速度の1乗に比例した空気抵抗を受ける落下速度のふるまい(終端速度)や

図のような直流RC回路のキャパシタンスCの両端に発生する電圧(抵抗とコンデンサ)、

図のような直流RL回路の抵抗両端に発生する電圧(抵抗とインダクタンス)
の、スイッチを入れたすぐあとの過渡応答(というか定常状態)そのものを表しています。
(このシミュレーション結果自体はうごかないみたいですが、あくまで図面作製ツールとして楽をしたかったのです！！！！)


一時はオペアンプで再現しようかとも考えましたが
積分回路や反転増幅回路などを使用して煩雑になると思い

あるとき出力結果を見てピンときました。
もっと簡単にモデル化できる現象だなと。

Xcosで遊ぶ

ところで、この負帰還の増幅度は実は時定数の逆数なんですが
時定数を大きく、つまり「増幅度」を小さくしてやりますと(-1.25→-0.5)

ほとんど比例的、もっというとバイパスコンデンサなんかでバイアス成分(オフセット)を取り除くと、ほとんど三角波として出力されることがわかるかと思います



逆に時定数を小さく、つまり増幅度を大きくすると、ほとんど矩形波のまま近似されて出力されます。
（入力パルスの振幅や、スコープのy軸単位なんかを調整しないとうまく出力されないかもしれません）

「それが大事」のべき乗

非負行列　ペロンフロベニウスの定理　有向重みなしグラフ理論　隣接行列
行列のべき乗　単位行列のネスト　6を法とするモジュロ演算

scilab本体で遊ぶ「それが大事」状態遷移図のグラフ理論

scilabに計算してもらったよ！


scinotesの記述は以下です！

＝＝＝＝＝＝＝＝

A=[zeros(5,1),eye(5,5);1,zeros(1,5)]
A^2
A^3
A^4
A^5
A^6
[P T]=spec(A) //固有値・固有ベクトルを計算してます
T2=[T(1,1),T(2,2),T(3,3),T(4,4),T(5,5),T(6,6)]; //固有値行列の対角成分を抽出
Targ=atan(real(T2),imag(T2))*180/%pi //対角成分(複素)の偏角の調査(deg単位)
Tabs=abs(T2) //対角成分の絶対値の調査
Parg=atan(real(P),imag(P))*180/%pi //固有ベクトルの偏角の調査(deg単位)
Pabs=abs(P)*sqrt(6)　//固有ベクトルのノルムを調査(6つあるので√6を掛け算)



＝＝＝＝＝＝＝
以下計算結果

べき乗計算


固有値・固有ベクトル計算


ただ、これだとわかりにくいので、極座標にします。




つまりこういうことっすね。

ちなみに†マークはエルミート共役の意味で、転置して複素共役をとる演算を意味します。
Pがユニタリなので、Pのエルミート共役は逆行列になるんです。





追記７：５３間違えたあああああ＞＜
ここの部分
Targ=atan(real(T2),imag(T2))*180/%pi //対角成分(複素)の偏角の調査(deg単位)
Parg=atan(real(P),imag(P))*180/%pi //固有ベクトルの偏角の調査(deg単位)
実部と虚部が逆でしたああああごめーん！
正しくはこうです
Targ=atan(imag(T2),real(T2))*180/%pi //対角成分(複素)の偏角の調査(deg単位)
Parg=atan(imag(P),real(P))*180/%pi //固有ベクトルの偏角の調査(deg単位)
したがって結果も違ってきます。


なお、Pの偏角を求める際に、cleanという「誤差を丸める」演算を追加して見やすくしています

Parg=clean(atan(imag(P),real(P))*180/%pi)

こんな感じで。



T^nの1行目1列目、(-1)^nを書き忘れたので、各自読みかえておいてちょうだい。ごめん

Xcos(scilab)の使い方(うｐ主初心者編)

これ↓ができあがるまで組み上げてみましょう。



まずは増幅器(定数倍)から。
数値計算のところのGAIN_fを貼ります。ほかにも色々GAINがあるのですが、とりあえず_fでいいみたいです。



次に、ステップ関数を貼ります。
「信号源」から選んでやります。


次に、時間シミュレーションのための時計を貼り付けます。これも信号源からです。
赤矢印と黒矢印の時計がありますが、赤矢印のほうを使うようです。
クロック_cと書いてあるやつのようです。



信号を混ぜるための、アナログ加算器を貼ります。入力が3つあるようですが、ここでは2つしか使いません。数値計算のパレットにあります。



積分器を貼ります。「連続時間システム」のところにあります。
何の略かはわかりませんが、_mとついた積分マークを貼ります。



観測者を用意します。
「出力・表示」のcスコープとかいうやつですね。
赤矢印1つ、黒矢印1つのやつです。



 
増幅器に、逆に向いてもらいたいので、増幅器右クリックで、「反転」させます。



黒矢印・赤矢印同士をつなげて、システムを構築します。
線の途中から線を引こうとすると、普通に線が分岐します。
斜めになっても、つながった時点で大概まっすぐに直してくれます。


増幅器マークをダブルクリックして、のGAINをマイナス1.25倍にします(負帰還)
 

 


システムができあがったので、細かい設定に入ります。

まずはステップ関数の設定をしましょう。


次に、スコープの設定をしましょう。
最小マイナス２、最大２になるようなグラフにしたいので、このように記載します。
また、先ほどは５までの時間でステップが発生する仕組みでしたので、その2倍の１０までの時間スパンで見てみることにします。


最後に、「シミュレーション→設定」から



積分終了時間を設定して、実行すれば「➡」(こんな感じの再生ボタンがあるはずです)





以下の過渡応答ようなグラフが現れるはずです。
 


僕も習いたてなのでわからないことだらけですが
どの部品がどのジャンルのパレットにあるのか、ちょっと紛らわしい気がしますね。
あと、貼るべき部品もちょっと紛らわしいです。
積分や時計、スコープや増幅器の部品がいくつかあるので、どれを使ったらいいのか迷いそうです。

本を返す前の悪あがき「動くようになったXcosの試運転」

 
ステップ関数を積分した出力を、1.25倍して負帰還したときの応答の例のようです

どこぞの過渡応用のような時定数が目立つ曲線になってました。

これをオペアンプとかでやりたいんだけどなあ
困ったことに、直流電池と抵抗だけのシンプルな回路においても何かがうまくいきません
陰解法がどうとかいいやがります。

電流計を設置しようとしたらエラーが出るし、いまんとこわけわからんです

(本が10年前のもののようで、当時の「scicos」記載だから、なんか不安なんすよね・・・)