色々総動員

数検1級1次試験の過去問に、こんなのがありましてね



の固有値を求めよっていうｗｗｗｗ化け物みたいなｗｗｗｗ


でもよく見ると、結構ヒントがあるんです。
非負行列だし、実対称行列ですからね、固有値が実数に限られるのはもちろん
ペロンフロベニウスの定理を知っていれば、ガウス平面で右寄り横長になるのは予想できるわけです。限りなく扁平な横長。


そのうえ、これ自体の行列式、何か気になりませんか
行列式を求めよって問題を作ったことがある方ならピンとくるかもしれません

ゼロになりそうですよね？

実際ゼロになるんです。

ということは、4つの固有値のうち、少なくとも1つはゼロなんですよ。


それとトレース。トレースが1+4+4+1=10なので、固有値の和も10でなければいけません。

もし、ここで勘が働いて、「そのまんま10じゃね？」って思って


これの行列式を計算してみたとしましょう。
実際ゼロなんです。


ってことは、残りは±なんとかに限るじゃないですか。それも
なんとか＜10ですよ。ペロンフロベニウスの定理から。


答え見たら±√10なんだそうです。


でも、この±√10を求める際の手順ってどうするんでしょうね？

やっぱり固有値方程式をガチで解くんでしょうか？

いや、解くのは大したことないんです。

4次方程式なんですが、ゼロと10が分かってるんで、固有値をλとすると、多項式を
λとλ-10で割ればいいんですから。というかλが単体で因数分解できる時点で実質3次方程式からのスタートになりますね


問題は、サラスの方法がまだ使えない4次の行列式から掃き出し法を使って、
どうやって多項式を速く正確に導き出せるか、それとも何かほかの方法があるのか、ですよ。


なんせ、制限時間がねえ・・・


ほかの問題は手も足も出ないと思ったのでやってませんｗｗｗ



あ、そうだ。あらかじめ

これを展開した式を仮定して、これを目指すって手もありかもしれませんね。






 手計算ではｗｗｗｗｗ無理ｗｗｗｗｗ



いや、しかし、もしかしたら、行列式の性質を利用して、練り方を工夫すれば
 展開しないまま因数分解して、こんな感じに持っていくことが可能かもしれない
だったら制限時間内に解けるかもなぁ

数検過去問いきなりやってみた

2級1次問題15問中、好きな問題から始めて、忘れた定理とか含んでるのは飛ばして53分/60分
結果、11問正解

あー7割クリアなのかー。デフォでギリギリなのな。

でも弱点は克服したほうがいいよね、うん。

外分点と重心の定義を忘れた。2で割るのか3で割るのか
あと確率にめっぽう弱い
ケアレスミスっぽいのが2個

余弦定理は根性で思い出した。


あと、53分で体力が尽きた。だってもう寝る時間だし


最悪、確率はもしかしたら捨てるかもしれない
いちおう解説は見よう。

1問の中に(1)(2)とかってなってるのは、両方解けてないと×って思っておいた方がいいだろうな


次に練習するときは、やっぱりBGMに文字(歌)が入る曲はやめよう、イライラするんだよ

サバじゃねえ！

複素行列の行列式のノルム同士の乗除

複素数同士の乗算が、ノルム同士の乗算と位相の足し算でできるように
行列同士の乗算も行列式同士の乗算と、何かに分解できないだろうか

同じ行列のべき乗だったら、素直に対角化やジョルダン標準形を使えば済むことなんだが

異なる行列を乗算する際に何か楽ができないだろうか

行列式同士の乗算ってところまではOKなんだがなぁ・・・両端でユニタリめいたアレを挟むのが曲者なんだよなぁ


っていうか行列式同士の乗除算についてぐぐると、
おせっかい機能で「行列に除算はありません」に漂着するのやめてほしい

って思ったんだけど、「””」で挟んで「”行列式同士の(乗)除算”」にしたら3件くらいしかヒットしなかったんだからおせっかい機能発動してしかるべきなのか・・・orz
いやそんなニッチな需要じゃねえだろこれ・・・


おかげで、ソースどこだっけ？って5分くらい探し回ったわ
LU分解のとこだった



せめて、複素行列の行列式のノルム同士の乗除を、検算できるモデルを示したいなぁ
(特殊)ユニタリだと簡単(当たり前？)すぎるような気がしないでもない

じゃあCKM行列もどきでも使おうかな

SU(3)と重みつき隣接行列

それだ！僕の探していたのはそれ！「重み」のことだったんだ！
グルーオンの末っ子にだけ重みついとるやんか！あれやあれ！


しかし不思議なものを見た。
たまたま見たサイトの仕様だったのかもしれないが
重みをつけたとたん、行列内のコンダクタンスがレジスタンスに入れ替わったような感じに見えた。
僕の勘違いだろうか



ユニタリになるってことは、一般に行列の中身は複素数になってしまう。
この状態で有向とか無向とか定義できるのだろうか。いやあるいは絶対値という手があるかもしれない
複素数になってもなお、この行列にはユニタリとかエルミートとかそういう性質を持っていてくれる
もし、これが有向になってしまったらエルミート性が失われかねないが、
だとしたらどんな性質なら残ってくれるんだろうか。
ペロンフロベニウスの定理も使えそうにないし

あるいはエルミートと歪エルミートとの重ね合わせという奥の手はまだ残っているのだろうか

有向グラフと非負行列

向きがあるんなら対称行列にはならない。
でも、中身が非負なら、ペロンフロベニウスの定理が使えるのではないかとかいう妄想を抱いたり


抱いてそれで具体的にはどうするんだよｗｗｗｗお前の脳内行列フワッフワかｗｗｗｗ

ｎ回繰り返したアフィン変換

アフィン変換のｎ乗は例外処理が多すぎるんだよなぁーﾒﾝﾄﾞｸｾ
等倍と、等倍＆斜め４５度平行移動と、等倍＆移動しないときに例外が生じる。なまじほぼ何もしない変換に限って例外が生じるのは悔しいのう。まあ検算は楽だけど。


かといって拡大縮小Bと、ｘだけの平行移動Bxと、ｙだけの平行移動Byを分けて考えて合体ってわけにもいかないし
なんせ行列だからなあ。交換法則がなあ


一般に(BBxBy)^n≠B^n*Bx^n*By^nだから困る

(Pa*Ja^n*invPa)(Pb*Jb^n*invPb)(Pc*Jc^n*invPc)
だけど、invPa*Pb、invPb*Pcは一般に打ち消しあわないんよ


あーでもあれか、こういう需要ってのがあるのかないのか評価しないといかんのか。
まるで需要がなければ特に困ることもないしなぁ


ｘ、ｙ平行移動混合はともかく、拡大縮小と平行移動を併用するっていう需要は案外少ないかも。



ちなみに、全部同じジョルダン細胞になった。ブロック2つのやつね。
3次元でもやってみんとな。ダミー次元合わせて4次行列の逆行列と余因子展開か・・・実数ってだけﾏｼかｗ

エルミート行列と歪エルミート行列の和の２乗

確か、すべての正方行列はエルミート行列と歪エルミート行列の和で表すことができるんだった。

そんで、エルミート行列の偶数乗が歪エルミートで
エルミートの奇数乗がエルミートで
歪エルミートの偶数乗がエルミートで
歪エルミートの奇数乗が歪エルミートなんだったら

まるでシーソーじゃないか


ああ、そうか。「エルミート」を「実数」、
「歪エルミート」を「純虚数」に読みかえても成立するんだったな

もちろん、「エルミート」を「対称」、「歪エルミート」を「交代」に読みかえてもいい。


どおりで、いびつなグラフに見えても、
無向グラフの行列は綺麗に見えるはずだ。なんたって必然だもんな




そういえば何日か前に
人間の多様性は思ったほど多様ではない
という説を思いついたんだった。上の話はほとんど関係ないけどね。




追記１２：２４
アイヤー、グラフ理論やってたばっかりだったから間違えたあるよ
これはな、ちゃうねん。
対称行列と交代行列がごっちゃになっててん。

お詫びにみんなの愛した数式を貼るねん

ふらいんぐうぃっち＋よつばと＝ヤダモン


SSを作ろうとしたら、前世紀にもうあったでござる。

あかねの天真爛漫な幼少期を描いたスピンオフ作品がもうずっと前にNHKでプロの手によって公開されていたでござる

まことはあしふといな！

グラフ理論でも行列使うんですって。

なんか見てたらゲルマン行列思い出して
もしかしてクォークのカラー荷やフレーバーにも使えるんじゃないかって思ってぐぐった結果
やっぱ違うのかなって思った´・ω・`


でも、回線の太さを考慮したら、0から1までのbooleanな値以外だって入りそうな気がするんですよね。√3で割ったり。

あ、でも1以上ってのは存在しないか・・・うーん
じゃあ2までならどうだ！？


そういえば、ゲルマン行列の末っ子を√3で割る理由って、
対角の2乗和が1じゃなくて2になるようになんだよねぇ。なんなんだろあれ。
自分ノードとの循環の往復って解釈できる？




あーなんか、状態遷移図も思い出してきましたよ
情報と状態といえば、熱力学も思い出されますねえ



あ、そうだ。いつだかのモーガンフリーマン、久々に録画したいんだっけ。
いつだっけな
今週じゃなくて来週の金曜夜１０時の、「宇宙は生きているのか」でしたね。ぽちっとな

アフィン変換「平行移動」行列のランクがわからねえええ

いつでもλ-1=0が3重にカブるはずで
x0とy0が大概任意の時に、対角化がジョルダン標準形になるはずなんだけど
こいつのランクがさっぱりわからん。困った。


とはいってもまあ2択まで絞れるのかな


ウルフラムアルファを頼ってもいいのかもしれないけど
なるべくならネタバレは避けたい


転置してもランクは変わらないはずだよな・・・？

は～どうやって例題を応用したもんか

真に再帰的なアルゴリズムのボトムアップとトップダウンがわけわからんので

誰かフィボナッチ行列の一般式(対角化)あたりでわかりやすく説明してくれｗｗｗｗｗ

wolfram alphaすげー！

そしてこええええええ！


ためしにコレぶち込んでみたんだ



まだこの領域はポンコツでほっとした。
なんかよーわからん表示になってた。
でも当たらずとも遠からずって感じで
とりあえずノルムは出せてたから怖い。
√(-x^2-y^2-z^2)だってよｗｗｗ

ひっそりと有料版ではしっかり整式されてたらと思うとぞっとするね


日本語版はまだないみたいだけど、
英語版でもだいたいなんとかなるようにできてる。

メニューのところにいくつか質問の例があって
たとえばmatrixって部分だったら

文字じゃなくて具体的な数だけど、2次の行列が配列みたいに書いてあって
固有値と固有ベクトルを計算しなさい的な意識高い系命令が書いてある(笑)
意識たけーなぁー

ちなみにexp(行列)だと、行列の各要素を独立に指数関数に入れてしまうから
「行列指数関数」を明示するのにmatrixexpって入力するらしいね

具体的な数だとよう知らんけど
文字を入れた行列の固有ベクトルは、規格化はされてなかったね。

ただ、どっかのサイトで、ジョルダン標準形は出せたとか言ってた。
おっかねー
これが俺たちのリアルかよこえーなー
趣味まで奪われるｗｗｗｗやべえｗｗｗ人類は皆おパンツを研究するだけの存在になるんだろうかｗｗｗｗ


ってか、パウリ行列入れた時点で、x,y,zは勝手に実数って定義されるんだろかｗ

スキュー(せん断)変換のn乗でイメージするジョルダン標準形の練習

図のように、平面や立体図形をプラスx軸方向(やy軸方向)のみに傾ける変換をスキュー(せん断)
といいます。

傾ける角度をθとすると

変換はこのような行列で定義できます。



この変換行列の固有値λは、角度に依存せずにλ=1が2重にダブるため、

この変換を例に、ジョルダン標準形の練習をやってみましょう。



ジョルダン細胞が図のような形になるように、
AP=PJ
の関係式から
固有ベクトルのペアPを定めます。(Aは変換行列のことです)


つまり
 
このような条件の永年方程式を解くことになります。


tanθ・v2y=v1x

tanθ・v1y=0

v2xはなんでもいいのでとりあえずv1とv2が線形従属にならないように、v2x=1

ここから、

と、ちゃんとJが導出できてちゃんと辻褄も合いました。


そしたら今度は、スキュー変換のn乗を計算してみましょう。


と求まることがわかるかと思います。

ためしに、逆変換を-1乗と逆行列で検算してみるとよいでしょう。


イメージがあると得体の知れないものでも多少はやりやすくなるかと思います。
検算もしやすいですしね


ところで
回転・平行移動・拡大縮小を合わせて、アフィン変換と呼ぶらしいですが
平面図形にダミー次元を1つ付け加えて平行移動に対応させた
任意のθ、A、x0、y0を用いた変換も、2重か3重に固有値がダブるので
例題としてはいいかもしれません。



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スキューでジョルダンの練習

あーかろうじてできたっぽいわ。
スキューのn乗を一般式にしてみた。やっぱ実体あると分かりやすいしおもろいなこれ。
スキューの逆行列もちゃんと出せた。
今はまだ平面だけど、立体バージョンもやってみよう



ジョルダン細胞が上三角っぽかなきゃいかんってのは人間による約束事だねたぶん

片対数への変換行列？

たとえば、リニア方眼紙を、片対数方眼紙に変換させる行列なんてのは存在するだろうか

もし存在するのであれば、スキューと組み合わせることで、行列を使って相対論的なダイヤグラムに変換できるんだけども。



うっかりしてた。相対論の目盛りは対数じゃねえや。何を考えてるんだ

スキューとジョルダン

言われてみれば、スキュー変換の固有値って被るよね
こいつをジョルダンの例題にしてみるのはどうか。