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20080511～
13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。
和ァ・・・
どうも、最近目の前をやたらちらつく、ディラック方程式の解というのがスピノルで合ってるらしい
というか、もしかしたらブラかケットで表されるスピンの状態そのもののことがスピノルという数学的構造なのかもしれず、そうすると4つではなく2つでもスピノルなのかもしれない しかしわからないのは、僕にはベクトルにしか見えないと言うところだ。 なぜ1階ではなく1/2階というのか ブラとケットを合わせてようやく一人前になる的なことを言ってるのか あるいは スピノルの2回転がベクトルの1回転に相当するみたいなことを言ってるのか それとも 「ｎ階のテンソル全部作れる」役というのがベクトルからスピノルに交代しただけなのか どうもよくわからない その上、もしスピン量子数のように、整数から半整数に拡張できたという話なら 3/2階のテンソル=1.5階のテンソルとかいうのはないのか ググると全然ヒットしない。 単純にググり方が悪い可能性もある。 1.5階という小数で表現したがらないからといって、3/2階と表現すると、2階のほうがヒットしてしまうのだ だからといって2分の3階と表現してググるのもどうかと思うのだが。 半整数階のテンソルでもヒットしない。もちろん引用符「””」で囲ったらゼロ件だ 縦と横のベクトルを、順番を気にしてただ単に掛け算すると、確かにスカラー(0階)にも行列(2階)にもなれる。 じゃあやはりスカラーからは1階以上のテンソルは作れないのだろうか 行列同士の割とシンプルな積だけで、3階以上のテンソルを作れるかどうかも気になる しかし気になるのは、ベクトル同士を掛け算した行列が、使い物になるのかどうかだ 何かと線形従属気味なんじゃないかと気になってしまう。その行列のランクは一体どうなっている？行列式がゼロの行列しか作れなかったら意味ないと思うのだが、 まあそこは単なる積だけでなくいろんな積のバリエーションがあるようなので、そっちに期待してもいいかもしれない あ、そうだ。 半整数量子数と聞いて黙っちゃないのは電荷だろう。 クォークの電荷は3分のナンチャラになるらしいが この3分割とスピンの2分割にはアナロジーが成り立つのだろうか それともまったく別の理由で電荷に関しては3分割されるのだろうか もし同じようなアナロジーなら、階数を3分割したテンソルのような何か、あるいは階数ですらない何かを3分割したなにか という拡張された概念がまだ見つかっていないのかもしれない まあ、単に行列のn/2乗ではないことだけは確かだろう この計算なら、対角化を使えば簡単に行える
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差分方程式を解くには、このような方法があると最近知った(半年くらい前)。
たとえばこんな式があるとして n+1番目のxをtの2乗、n番目のxをtの1乗、n-1番目のxをtの0乗と置くことで という2次の特性方程式にできる。 この解は一般に2つあるので、ta、tbとおくと 適当な定数をC、Dとして このような一般式に到達できるらしい。 ためしに、フィボナッチ数列でやってみた。 なので、特性方程式はコレ taとtbはそれぞれ になるので、n=0でx=0、n=1でx=1の初期値を与えると n番目のxの一般解は、 ちゃんとこのように導出できる。たぶんAとかBをほかのバリエーションで行うと、リュカ数とかトリボナッチとか、そういうのにも応用できそう では、この差分方程式を差分法のシミュレーションに応用してみてはどうか まず単純な単振動のモデルでやってみよう。 の微分方程式を差分化すると こうなるので、式を整理すると kΔ^2をαとおくとtaとtbはそれぞれ となるが、時間刻み幅Δは一般に細かいほうがいいので、α<4となってしまい、 taとtbは複素数とみなしたほうがよい。 よってこのようになるが、 単振動の変位はもちろん古典的には実数であるため たとえば初期位置を0、初速度を有限にとると taとtbは複素共役の関係になっているべきである。 k=1、Δ=0.3で数値計算してみたところ この図のように、元の微分方程式の解同様、周期が2π程度のサインカーブ状になった。 課題は、taとtbのn乗(整数乗)を、整頓された実数で解析的に表現することだと思う。 あとは、1次元だとつまらないので、2次元以上にも適用できたらいいなと思っている。 数値計算のシミュレーションを、半ば解析的に計算可能になる。それはとっても素敵なことだから。
対角化「された」行列は、行列の対角線上にしか値がない行列のことをもちろん言いますが
対角化「するための」行列というのは、AP=JPのJじゃなくてPのほうです！ こいつの名前をはっきりしてほしかったんですが ディラックさんがブラ・ケットと名付けてくれていたようです。 しかし、ディラックさんの名付けたブラとケットは、量子力学に出てくることが多いせいか すでに規格化していることが多く 規格化する前のブラとケットの名前についてはまだ僕は知りません でもまあ、「規格化する前のブラとケット」と呼べるだけまだましですね！ ところで、このブラとケット、規格化が済んでいるとすると 正方行列にする前の固有ベクトルの状態では ブラ×ケットは必ず1なんです。 まあそのように規格化しているから当然なんですが たとえば規格化する前の固有ベクトルが一般に複素数の場合 <|=(1,i)とかだったりした場合 実数の範囲ではあまり想像しなかったことが起こりまして 1の2乗とiの・・・そのまま2乗して足すのか、絶対値の2乗をして足すのか最初は戸惑うと思うんですね。 それが、ブラ×ケットを考えると、ブラはケットのエルミート共役なので<|=|>† おのずと絶対値の2乗のほうだとわかるわけです。複素数Zとその複素共役Z*との掛け算が、Zの絶対値ですからね <|=(1,i)だったら、t|>=(1,-i)ですね。(tは転置) まあこんな感じで、複素行列の場合は行列式の意味合いでの||と、複素数の絶対値の意味合いでの||が両方出てくるわけですね。 ともすれば||A||なんてこともあるわけです。 おそらく、必ず内側が行列式detで、外側が必ず絶対値absだと思います。abs(det(A)) 量子力学はともすると、固有ベクトルの意味合いが実に物理的に表れている、いい例なのかもしれません。 固有ベクトル同士の線形重ね合わせなんてほかの分野だとまずしないんじゃないでしょうか |θ>cos(θ/2)|sx+>+sin(θ/2)|sx-> このθ/2も何か示唆的ですよねぇ ブラとケットで挟むのも見たことありますし。 だんだん3DCGに用いるクォータニオンと、量子力学のパウリ行列がつながってきました＾＾ 3DCGでは任意軸回転が便利ですが これに対応する量子力学の現象となるとどういう風になるでしょうねえ X・sx+Y・sy+Z・sz(ただしX^2+Y^2+Z^2=1)とそれに対する固有ベクトルを作って挟んで、任意軸に対するコサイン成分を求める感じでしょうか あるいは行列指数関数による回転かな？ あ、でも忘れないようにしないといけないのは、あくまで-iσx,y,zが3つの虚数単位に相当するわけであって、σx,y,zそのものではないということですね ああそういえば長らく言い忘れていましたが、ディラック方程式でクォータニオンと四次元時空が見事につながりましたね。
あるところに、以下のような問題がありました。
x^3+ax^2+bx+15=0の解の1つはx=2+iである。 1)係数a,bを求めなさい 2) 1)で求めたa,bにおいて、残り2つの解を求めなさい a=-1,b=-7であることはすぐにわかるので、 多項式 x^3-x^2-7x+15 を素直にx-2-iで割ったんです。ちょっとひどい目にあいました！ 結果、当然割り切れて、 x^2+(1+i)x-6+3i=0 という方程式になりました。複素係数だぜヒャッホウ！ と思ったのもつかの間、この2次方程式の解が x=(-1-i±√(24-10i))/2 とかいう、複素整数が根号の中に入る事態に・・・さっきもヒャッホウしたとおり、こういうのあんまり解いたことないんですけどォ！？ もう力技で極座標にしてやろうかと思ったそのとき、模範解答が現れ x=-3,2±iだというのです！な、なんだってー！？ 実数と複素共役双生児・・・だと！？ まずxに実整数を入れて方程式がゼロになるようなやつをてさぐれ！はぁぁぁ！？ これが試験問題というご都合主義でのセオリーだというのかあああああ！？ その後、Excelにぶち込んだところ √(24-10i)=5-i とかいうふざけた複素整数値を確認しましたorz 今からでも遅くはない x^2+(1+i)x-6+3i=0 まで出しちゃった時点でもいいから これにx=-3かx=2-iをためしに入れてさらに割り算してみなはれ・・・ちゅうんですか・・・なんてことだ・・・ｵｵｵｵ・・・ ガウス素数とか割りと最近知ったばかりなんだよ・・・見慣れてないんだよ・・・´；ω；`ﾌﾞﾜｯ でもこういう、答えが整数に限るとかって、時々定理になるくらい強力だからねえ・・・ ゼロフラグとかキャリーフラグとかね それこそ整数論とかがあって、化学とか量子力学に応用されるくらいだから あながち試験のための空論と切り捨てるものでもないのかもしれない
んなもん覚えるくらいなら、円の中心を一旦原点に置いて、
極座標表示と微分使って傾き出して、 それから円をもとの位置に戻してから切片を計算するわ！ 僕は時間の無駄よりも空間の無駄の方を減らしたいんだ！ 脳の記憶容量の無駄だ！ まあ、あるいは、一連のアルゴリズムで、接線の公式を導いたんなら、脳の代わりに手が覚えてくれるかもしんない。 大切な我が子(妻)の一員になるわけだしね。
数検1級1次試験の過去問に、こんなのがありましてね
2級1次問題15問中、好きな問題から始めて、忘れた定理とか含んでるのは飛ばして53分/60分
結果、11問正解 あー7割クリアなのかー。デフォでギリギリなのな。 でも弱点は克服したほうがいいよね、うん。 外分点と重心の定義を忘れた。2で割るのか3で割るのか あと確率にめっぽう弱い ケアレスミスっぽいのが2個 余弦定理は根性で思い出した。 あと、53分で体力が尽きた。だってもう寝る時間だし 最悪、確率はもしかしたら捨てるかもしれない いちおう解説は見よう。 1問の中に(1)(2)とかってなってるのは、両方解けてないと×って思っておいた方がいいだろうな 次に練習するときは、やっぱりBGMに文字(歌)が入る曲はやめよう、イライラするんだよ サバじゃねえ！
複素数同士の乗算が、ノルム同士の乗算と位相の足し算でできるように
行列同士の乗算も行列式同士の乗算と、何かに分解できないだろうか 同じ行列のべき乗だったら、素直に対角化やジョルダン標準形を使えば済むことなんだが 異なる行列を乗算する際に何か楽ができないだろうか 行列式同士の乗算ってところまではOKなんだがなぁ・・・両端でユニタリめいたアレを挟むのが曲者なんだよなぁ っていうか行列式同士の乗除算についてぐぐると、 おせっかい機能で「行列に除算はありません」に漂着するのやめてほしい って思ったんだけど、「””」で挟んで「”行列式同士の(乗)除算”」にしたら3件くらいしかヒットしなかったんだからおせっかい機能発動してしかるべきなのか・・・orz いやそんなニッチな需要じゃねえだろこれ・・・ おかげで、ソースどこだっけ？って5分くらい探し回ったわ LU分解のとこだった せめて、複素行列の行列式のノルム同士の乗除を、検算できるモデルを示したいなぁ (特殊)ユニタリだと簡単(当たり前？)すぎるような気がしないでもない じゃあCKM行列もどきでも使おうかな
それだ！僕の探していたのはそれ！「重み」のことだったんだ！
グルーオンの末っ子にだけ重みついとるやんか！あれやあれ！ しかし不思議なものを見た。 たまたま見たサイトの仕様だったのかもしれないが 重みをつけたとたん、行列内のコンダクタンスがレジスタンスに入れ替わったような感じに見えた。 僕の勘違いだろうか ユニタリになるってことは、一般に行列の中身は複素数になってしまう。 この状態で有向とか無向とか定義できるのだろうか。いやあるいは絶対値という手があるかもしれない 複素数になってもなお、この行列にはユニタリとかエルミートとかそういう性質を持っていてくれる もし、これが有向になってしまったらエルミート性が失われかねないが、 だとしたらどんな性質なら残ってくれるんだろうか。 ペロンフロベニウスの定理も使えそうにないし あるいはエルミートと歪エルミートとの重ね合わせという奥の手はまだ残っているのだろうか
向きがあるんなら対称行列にはならない。
でも、中身が非負なら、ペロンフロベニウスの定理が使えるのではないかとかいう妄想を抱いたり 抱いてそれで具体的にはどうするんだよｗｗｗｗお前の脳内行列フワッフワかｗｗｗｗ
アフィン変換のｎ乗は例外処理が多すぎるんだよなぁーﾒﾝﾄﾞｸｾ 等倍と、等倍＆斜め４５度平行移動と、等倍＆移動しないときに例外が生じる。なまじほぼ何もしない変換に限って例外が生じるのは悔しいのう。まあ検算は楽だけど。 かといって拡大縮小Bと、ｘだけの平行移動Bxと、ｙだけの平行移動Byを分けて考えて合体ってわけにもいかないし なんせ行列だからなあ。交換法則がなあ 一般に(BBxBy)^n≠B^n*Bx^n*By^nだから困る (Pa*Ja^n*invPa)(Pb*Jb^n*invPb)(Pc*Jc^n*invPc) だけど、invPa*Pb、invPb*Pcは一般に打ち消しあわないんよ あーでもあれか、こういう需要ってのがあるのかないのか評価しないといかんのか。 まるで需要がなければ特に困ることもないしなぁ ｘ、ｙ平行移動混合はともかく、拡大縮小と平行移動を併用するっていう需要は案外少ないかも。 ちなみに、全部同じジョルダン細胞になった。ブロック2つのやつね。 3次元でもやってみんとな。ダミー次元合わせて4次行列の逆行列と余因子展開か・・・実数ってだけﾏｼかｗ
確か、すべての正方行列はエルミート行列と歪エルミート行列の和で表すことができるんだった。
そんで、エルミート行列の偶数乗が歪エルミートで エルミートの奇数乗がエルミートで 歪エルミートの偶数乗がエルミートで 歪エルミートの奇数乗が歪エルミートなんだったら まるでシーソーじゃないか ああ、そうか。「エルミート」を「実数」、 「歪エルミート」を「純虚数」に読みかえても成立するんだったな もちろん、「エルミート」を「対称」、「歪エルミート」を「交代」に読みかえてもいい。 どおりで、いびつなグラフに見えても、 無向グラフの行列は綺麗に見えるはずだ。なんたって必然だもんな そういえば何日か前に 人間の多様性は思ったほど多様ではない という説を思いついたんだった。上の話はほとんど関係ないけどね。 追記１２：２４ アイヤー、グラフ理論やってたばっかりだったから間違えたあるよ これはな、ちゃうねん。 対称行列と交代行列がごっちゃになっててん。 お詫びにみんなの愛した数式を貼るねん ふらいんぐうぃっち＋よつばと＝ヤダモン SSを作ろうとしたら、前世紀にもうあったでござる。 あかねの天真爛漫な幼少期を描いたスピンオフ作品がもうずっと前にNHKでプロの手によって公開されていたでござる まことはあしふといな！
なんか見てたらゲルマン行列思い出して
もしかしてクォークのカラー荷やフレーバーにも使えるんじゃないかって思ってぐぐった結果 やっぱ違うのかなって思った´・ω・` でも、回線の太さを考慮したら、0から1までのbooleanな値以外だって入りそうな気がするんですよね。√3で割ったり。 あ、でも1以上ってのは存在しないか・・・うーん じゃあ2までならどうだ！？ そういえば、ゲルマン行列の末っ子を√3で割る理由って、 対角の2乗和が1じゃなくて2になるようになんだよねぇ。なんなんだろあれ。 自分ノードとの循環の往復って解釈できる？ あーなんか、状態遷移図も思い出してきましたよ 情報と状態といえば、熱力学も思い出されますねえ あ、そうだ。いつだかのモーガンフリーマン、久々に録画したいんだっけ。 いつだっけな 今週じゃなくて来週の金曜夜１０時の、「宇宙は生きているのか」でしたね。ぽちっとな
いつでもλ-1=0が3重にカブるはずで x0とy0が大概任意の時に、対角化がジョルダン標準形になるはずなんだけど こいつのランクがさっぱりわからん。困った。 とはいってもまあ2択まで絞れるのかな ウルフラムアルファを頼ってもいいのかもしれないけど なるべくならネタバレは避けたい 転置してもランクは変わらないはずだよな・・・？ は～どうやって例題を応用したもんか
誰かフィボナッチ行列の一般式(対角化)あたりでわかりやすく説明してくれｗｗｗｗｗ
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