ルートの中の複素整数

あるところに、以下のような問題がありました。


x^3+ax^2+bx+15=0の解の1つはx=2+iである。

1)係数a,bを求めなさい

2)　1)で求めたa,bにおいて、残り2つの解を求めなさい


a=-1,b=-7であることはすぐにわかるので、


多項式
x^3-x^2-7x+15
を素直にx-2-iで割ったんです。ちょっとひどい目にあいました！


結果、当然割り切れて、

x^2+(1+i)x-6+3i=0

という方程式になりました。複素係数だぜヒャッホウ！

と思ったのもつかの間、この2次方程式の解が

x=(-1-i±√(24-10i))/2

とかいう、複素整数が根号の中に入る事態に・・・さっきもヒャッホウしたとおり、こういうのあんまり解いたことないんですけどォ！？


もう力技で極座標にしてやろうかと思ったそのとき、模範解答が現れ


x=-3,2±iだというのです！な、なんだってー！？
実数と複素共役双生児・・・だと！？


まずxに実整数を入れて方程式がゼロになるようなやつをてさぐれ！はぁぁぁ！？
これが試験問題というご都合主義でのセオリーだというのかあああああ！？


その後、Excelにぶち込んだところ

√(24-10i)=5-i
とかいうふざけた複素整数値を確認しましたorz


今からでも遅くはない
x^2+(1+i)x-6+3i=0
まで出しちゃった時点でもいいから
これにx=-3かx=2-iをためしに入れてさらに割り算してみなはれ・・・ちゅうんですか・・・なんてことだ・・・ｵｵｵｵ・・・



ガウス素数とか割りと最近知ったばかりなんだよ・・・見慣れてないんだよ・・・´；ω；`ﾌﾞﾜｯ



でもこういう、答えが整数に限るとかって、時々定理になるくらい強力だからねえ・・・
ゼロフラグとかキャリーフラグとかね
それこそ整数論とかがあって、化学とか量子力学に応用されるくらいだから
あながち試験のための空論と切り捨てるものでもないのかもしれない