差分方程式と差分法シミュレーションと、フィボナッチ数列

差分方程式を解くには、このような方法があると最近知った(半年くらい前)。

たとえばこんな式があるとして

n+1番目のxをtの2乗、n番目のxをtの1乗、n-1番目のxをtの0乗と置くことで


という2次の特性方程式にできる。
この解は一般に2つあるので、ta、tbとおくと
適当な定数をC、Dとして

このような一般式に到達できるらしい。



ためしに、フィボナッチ数列でやってみた。

なので、特性方程式はコレ

taとtbはそれぞれ


になるので、n=0でx=0、n=1でx=1の初期値を与えると
n番目のxの一般解は、


ちゃんとこのように導出できる。たぶんAとかBをほかのバリエーションで行うと、リュカ数とかトリボナッチとか、そういうのにも応用できそう




では、この差分方程式を差分法のシミュレーションに応用してみてはどうか
まず単純な単振動のモデルでやってみよう。



の微分方程式を差分化すると


こうなるので、式を整理すると

kΔ^2をαとおくとtaとtbはそれぞれ

となるが、時間刻み幅Δは一般に細かいほうがいいので、α<4となってしまい、
taとtbは複素数とみなしたほうがよい。


よってこのようになるが、
単振動の変位はもちろん古典的には実数であるため
たとえば初期位置を0、初速度を有限にとると
taとtbは複素共役の関係になっているべきである。


k=1、Δ=0.3で数値計算してみたところ
この図のように、元の微分方程式の解同様、周期が2π程度のサインカーブ状になった。

課題は、taとtbのn乗(整数乗)を、整頓された実数で解析的に表現することだと思う。


あとは、1次元だとつまらないので、2次元以上にも適用できたらいいなと思っている。

数値計算のシミュレーションを、半ば解析的に計算可能になる。それはとっても素敵なことだから。