対角化「された」行列と、対角化「するための」行列の名前

対角化「された」行列は、行列の対角線上にしか値がない行列のことをもちろん言いますが

対角化「するための」行列というのは、AP=JPのJじゃなくてPのほうです！

こいつの名前をはっきりしてほしかったんですが

ディラックさんがブラ・ケットと名付けてくれていたようです。

しかし、ディラックさんの名付けたブラとケットは、量子力学に出てくることが多いせいか
すでに規格化していることが多く

規格化する前のブラとケットの名前についてはまだ僕は知りません

でもまあ、「規格化する前のブラとケット」と呼べるだけまだましですね！


ところで、このブラとケット、規格化が済んでいるとすると
正方行列にする前の固有ベクトルの状態では
ブラ×ケットは必ず1なんです。
まあそのように規格化しているから当然なんですが


たとえば規格化する前の固有ベクトルが一般に複素数の場合
<|=(1,i)とかだったりした場合

実数の範囲ではあまり想像しなかったことが起こりまして
1の2乗とiの・・・そのまま2乗して足すのか、絶対値の2乗をして足すのか最初は戸惑うと思うんですね。

それが、ブラ×ケットを考えると、ブラはケットのエルミート共役なので<|=|>†
おのずと絶対値の2乗のほうだとわかるわけです。複素数Zとその複素共役Z*との掛け算が、Zの絶対値ですからね
<|=(1,i)だったら、t|>=(1,-i)ですね。(tは転置)


まあこんな感じで、複素行列の場合は行列式の意味合いでの||と、複素数の絶対値の意味合いでの||が両方出てくるわけですね。
ともすれば||A||なんてこともあるわけです。
おそらく、必ず内側が行列式detで、外側が必ず絶対値absだと思います。abs(det(A))



量子力学はともすると、固有ベクトルの意味合いが実に物理的に表れている、いい例なのかもしれません。
固有ベクトル同士の線形重ね合わせなんてほかの分野だとまずしないんじゃないでしょうか
|θ>cos(θ/2)|sx+>+sin(θ/2)|sx->

このθ/2も何か示唆的ですよねぇ
ブラとケットで挟むのも見たことありますし。
だんだん3DCGに用いるクォータニオンと、量子力学のパウリ行列がつながってきました＾＾


3DCGでは任意軸回転が便利ですが
これに対応する量子力学の現象となるとどういう風になるでしょうねえ

X・sx+Y・sy+Z・sz(ただしX^2+Y^2+Z^2=1)とそれに対する固有ベクトルを作って挟んで、任意軸に対するコサイン成分を求める感じでしょうか
あるいは行列指数関数による回転かな？
あ、でも忘れないようにしないといけないのは、あくまで-iσx,y,zが3つの虚数単位に相当するわけであって、σx,y,zそのものではないということですね



ああそういえば長らく言い忘れていましたが、ディラック方程式でクォータニオンと四次元時空が見事につながりましたね。