「スピン角運動量」のwikipediaが素晴らしい件

特に、「その他の状態」の項目が素晴らしいです！



から

が導き出せるよね

って言ってるだけなんですが、これがかなり奥深くて

興味のある人にとっては、この角度は何に対する何の角度なんだ！？って疑問がふつう湧くじゃないですか！


で、その計算のための道具が、上に全部まとめられてるんですよ！


とりあえずθを、θxとθyとθzの3タイプ用意しましょう。

ケットベクトルはこのたった1つの例をもとに、このように組み立てられるはずです。


そして、ケットに対するブラも、ただエルミート共役を取るだけなので、以下のようにできるはずです。




そうして、期待値を求めますと
<θx|sx|θx>、<θx|sy|θx>、<θx|sz|θx>
<θy|sx|θy>、<θy|sy|θy>、<θy|sz|θy>
<θz|sx|θz>、<θz|sy|θz>、<θz|sz|θz>
の9通りが考えられるわけですが。興味のある人はぜひ計算してみてください。
sx、sy、szの定義もちゃんとwikiにそろってます。

そうすると、
 

となるはずで、これが何を意味しているかというと、こういうことです。


軸からどのくらい傾いているのかの角度によるコサイン成分を知りたければ、軸と同じsをθで挟めばいい
たとえばcosθx=<θx|sx|θx>、cosθy=<θy|sy|θy>、cosθz=<θz|sz|θz>のような感じです。

ただし、サイン成分を必ずしも算出できる組み合わせとは限らない
といったところが、z軸＞x軸＞y軸のような不平等さの表れとしてでているみたいです。

まあ仕方ないですよね。自由度が奇数個の3軸で、2項演算を考えようとすると必ずハブられがちな軸は出てきますよ。やっぱりy軸なんですね
z軸優遇なのは球座標系が前提にあるからなのかなと思います




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こういう議論をですね、たった2行の式を書くだけで、興味のある人には自力で全部理解させる
まったくクドくないwikipediaのこのページの書き方は教育者として素晴らしいなあ！って思ったんです