アークタンジェントの中身が行列

現実がつまらなかったんで、ムシャクシャしてやった。
テイラー展開できるならだれでもよかった


指数関数の中に行列が入れられるなら、ほかの関数だっていいじゃない。

ただ、三角関数には興味ありません。だって指数の影でしかないもん。

ということでアークタンジェント。
▼まあ三角(逆)関数なんですけどね。▼

五芒星の面積の考え方

数日前からハマっている、星型多角形の面積
たとえば五芒星は5/3かっけーや5/2かっけー。

整数かっけーの面積は、sinc関数に素直にぶち込めばよかったが
有理数かっけーの面積はそうもいかないようだ。


正五角形の面積は、以下の図のような考え方で、sinc関数に行きつく。
この赤い三角形が5枚あるわけだ。θもπラジアンを2倍して5等分しているので、ちょうどsinc関数になる。


次に、五芒星と呼ばれる形の面積
今度は、頂点を1つか2つ飛ばして線を結ぶので、角度が360°を5等分してから2倍や3倍することから、5/2かっけーや5/3かっけーと呼ばれる。


この面積は、素直に5/2や5/3をsincにぶち込んでも出ない。
以下のように考える。例は5/2かっけーだけだが、5/3かっけーでも同様なので、考えてみてほしい。

角度は確かに、2倍や3倍されている。
が、三角形が5/2や5/3枚分ということはなく、5枚、あくまでも整数だ。


そして、5枚重ねるとダブってしまうのだ。


ちょうど、正五角形1枚分に相当する。

この正五角形の面積は、元来の正五角形よろしく、半径だけが異なる円に内接しているので、同じ考え方で求めることができる。
そこで、この小さいほうの円の半径を計算する必要性が出てくるわけだ
いかなるn/mかっけーの内側にある半径も出せる汎用的なものを考えなければキリがない。


さて、5/3かっけーの場合、どのように考えただろうか。
同じ形のはずなのだから、面積も同じはずだ。
しかし、人によっては絶対値は同じでも、マイナスの値になったりしていないだろうか
実は、sinc関数に素直にぶち込んだ際も、5/3かっけーのようにnかっけーのnが1を下回ると、マイナスになってしまうのだ。
おそらくこれに関しては、単純に絶対値をつけて面積としてやればよいだろう
こちらの場合ももちろん、絶対値も素直なsinc関数通りにはならない。
5/3枚重ね合わせてるわけでもないし、さらに正五角形の面積を引き算してやらないといけないからだ
そもそも変数が5/2(あるいはその逆数)と5/3(あるいはその逆数)とでは、sinc関数の絶対値が異なる。同じ形なのに面積が違うというのはおかしいではないか。




７芒星ともなると、星型は2種類作れる。
素直に求められる面積も異なり、内側にダブる正七角形の半径も異なってくる。
どこかのブログで見かけた言葉だが、太った７芒星や痩せた７芒星というのはなかなか巧妙な表現だと思う。
n芒星(というかn/mかっけー)の種類の数は、n/2までの間に既約な整数がいくつあるかに依存している。たぶん
９芒星の場合、n/mかっけーにn=9、m=3、つまり9/3かっけーは含まれない。
星型としてはあるにはあるのだが、これを入れてしまうとなかなか煩雑になってしまうのだ
前から言ってるけどこんなん。↓↓

にわかには一筆書きできなさそうなアレ(一筆書きできないとは言ってない)


そういや
偶数かっけーの星型もあるんだよなー
ちょっと眼中になかったから、これから考えるー

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65537芒星の種類の数ｗｗｗｗｗ
65536次方程式の判別式とかどうすんだよおい・・・65536行65536列のエルミート行列の固有値にしたって、パソコンが死んでしまうんじゃないのか

星型多角形の面積に関する備忘録

あ、そういえば。
案の定疲れて今日はかけずじまいなので、忘れないうちにせめて定性的な概略だけでも書いておきます。

昨日また眠れなくて、布団の中でケータイのスケジューラに数式ぶち込んで考えてたんです
やっぱり枕元にタブレット端末があると便利ですね。
google電卓にはいつもお世話になります
 
 
たとえば五芒星、これは5/2角形(2分の5かっけー)や5/3角形(3分の5かっけー)などとも呼ばれますが
これをそのままsinc関数にぶち込んで面積としてもダメです


何がダメかというと、sin(πx)/x=n*sin(π/n)
としたときに、nをそのまんまn=5/3やn=5/2としてぶち込むのがダメなんです。


五芒星の中に入っている正五角形の面積がカブる問題もそうなんですが、それ以前に
sin関数の中身としては5/3や5/2は用いられても、
sin関数の外側に掛け算する際は、あくまで「5倍」しなきゃならないんであって
5/3倍や5/2倍ではないということです。
(5/3)*sin(3π/5)ではなく5*sin(3π/5)とか
(5/2)*sin(2π/5)ではなく5*sin(2π/5)とかそんなかんじ


たぶんそうなんだと思います。
ただし、これでもまだ正五角形の面積がダブってます

あと、sin(π/n)ではなく|sin(π/n)|のような気がしてきました


sinの外側は、なんかこう、床関数めいたアレなんじゃないかな・・・
すごくもやもやするけど！
n芒星の面積をn/mかっけーで表現すると
S=n*|sin(mπ/n)|-(r^2)*n*sin(π/n)
こんな感じじゃないすかね
追って報告したいっす


７芒星に関しては種類がいくつかあるので
7/2かっけーや7/5かっけーはこのままでもいいと思うんですが
7/3かっけーとか7/4かっけーのことはまだ考えてません
素数/mかっけーの場合、分子が増えると分母mのバリエーションも分子の半分くらいまで増えますからねえ


sinc関数の整数から有理数への拡張、破れたり！(修正を強いられているだけなんだ！)

正n/mかっけーの面積(マイナス)

正5/2角形の星形の面積をまず考えてみました。

妙に大きいのはおそらく、五芒星の内側にある正五角形の面積がダブっているからのようです

次に、5/3角形の面積を考えてみました。
5/2角形と形は同じなんですが、sinc関数にぶっこむとこれが5/3かっけーのときと値が違ううえにマイナスの値をはじき出しやがるのです


詳しい計算は病院の待合の時間内にはできませんでしたが
どうやらマイナスになるらしいという定性的な理由は得ました。

もし、面積が正の数であるという制約を設けるのであれば、sinc関数の絶対値を取るべきかもわからんですね。

S=|sincx|=|sinx|/x

底辺×高さ÷2の底辺がそのままに、高さの向きが上だったら面積がプラス、下だったらマイナスという感じのようです


最終的には、5/2かっけーと5/3かっけーの面積が同じであると結論付けられる日を夢見て。

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六芒星は星型多角形ではあるが星型正多角形ではない

おおーまじか！そいつぁすげーな！
なに言ってんだお前？

いやでもそのはっそうはなかった！お前やっぱすげーよ！英断っす！
まじパネｪ・・・！

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n芒星ジェネレータ

正・既約な有理数かっけー


なんか、delボタン連打じゃなくて長押しで再計算できちゃったので
楽させてもらったついでに、コマの取り方も雑にしてみました。

したがって、n芒星の形と右上に書いてある文字が、1つくらいずれていることがあります。

n,mを整数として、正n/mかっけーが、n芒星となりますが
nに約数が多いと、約分されてほかの星型になってしまったり、星型にすらならなくなったりするので、必然的に種類数は少なくなります。nとmが互いに素、つまりGCD(n,m)=1となるときだけを抽出してます。
素数芒星の種類の多さは異常


ただ、この方法だけだと

こういうのとか

こういう、「にわかには一筆書きできるように見えない(実際には一筆書きできる)」やつが表現できないんだよねぇ


やり方を説明している余裕は今日はありませんでした。
たぶん明日はもっと余裕ないと思います

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眠いよ！体がフワフワしてるよ！

半径1の円に内接する正2n角形の面積はsinc関数のようになっております。

2nのnを半整数にすることで、正整数角形にたぶん対応します。
S=n*sin(π/n)
n→∞の極限でπに漸近します。
sinc関数のごく一部の領域しか使ってないのがすげーもどかしいんですが！


まあ、あっちでは押したり押したりして止めたり動かしたりしてもらって
こっちではよかったらテイクアウトいかがすかー？な感じ

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546を素因数分解すると、546=2×3×7×13です

546を例に、2と3と7と13の倍数の見分け方を見ていきましょう


2の倍数の見分け方：下1桁が偶数
6が偶数なので、546は2の倍数です


3の倍数の見分け方：すべての桁を足して3の倍数
5+4+6=15が3の倍数なので、546も3の倍数
追加：1+5=6が3の倍数としてもいいです
ちなみに、割り切れるかどうかだけではなく3で割ったあまりや
9で割ったあまりにも同じ方法で通用します
1+5=6なので、546を9で割ったあまりも6で


7の倍数の見分け方：下1桁を2倍して残りの桁から引いて7の倍数
6を2倍して12、この12を54から引いた42が7の倍数なので、546も7の倍数


13の倍数の見分け方：下1桁を4倍して残りの桁に足して13の倍数
6を4倍して24、これを54に足して78
これだと13の倍数なのかまだわかりづらいので再度
8を4倍して32、これを7に足して39
これが13の倍数なので546も13の倍数
この見分け方の場合、39に収束することが多いです

7や13で割ったあまりに関しては、この方法は通用しませんのでご注意ください。
あくまでも割り切れるかどうかの判定だけです。
下1桁を2倍とか4倍とかしちゃってますからね。


11や3や9の倍数の見分け方と、
7や13の倍数の見分け方は、根本的に異なります。
まず、見分けるための手順の収束方法が大きく異なり
7や13の場合、桁が大きくなると膨大に時間がかかるのに対し、3や9や11ではさほど時間がかかりません

10進法タイプ：2や5のべき乗の倍数の見分け方もまた異なります。
これも大きな数を見分ける場合、膨大な手間がかかります。
10進法ではあまり使われる用途がないでしょう
特に2の倍数かどうかについては、ほとんどの実用的n進数のnが偶数でできているため、まず用いる意味がないです




公約数が同じ、6006や18018でもぜひやってみてください

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14と52

14と52の公約数は2しかないんよ。意外と。


意外でもなんでもないけどな





へーちょ

どういうわけか、確率の知識が抜けている

やったのかやってなかったのかわからない。

単に寝てただけなのかもしれないけど
生物の選択肢すらなかったから、授業が存在しなかったって説も捨てきれなくて困る


どうも確率は苦手だ。

仕事関連とかで、「確率が与えられている場合」の対処方法はある程度なんとかなってきた。
が、「こうこうこういう状況で、確率を与えよ」系のことがどうにも弱い

量子力学に憧れてる割りには変な弱点だと自分でも思う。


ただ最近、その確率の「与える系」の問題を、なかば嫌々ながらも、仕事して飯食わせてもらいながら勉強できそうな環境になってきた。
非常にありがたいこってす

参考書の代金がマイナスなんです。嬉しいですねえ


あわよくば、自分が仕事で計算しているその「答え」、過程は仕方ないにしても「答え」だけでも、拝借できれば、嬉しいなぁ（ﾁﾗｯﾁﾗｯ

答えが線形従属ならもうゴールしてもいいよね

いやだめだろう


ホール素子で発生する電界を、向きはあってるんだけど逆に答えたことがある



行列式の掃き出し法、ちゃんと習おう。
今まではとにかく固有値問題がほとんどだったから、符号とか係数とかどうでもよかったけど
やっぱ不十分だ。実際困ってるじゃないか

だからローレンツブーストだかローレンツ変換だかで(特殊？)ユニタリじゃないとかわけわかんないこと言い出すんだ

なんでExcelに入れたときのdetと手計算のdetが一致しないのか意味が分からない
習おう

図の四角に入る数をゼロ個から無数に増殖させる方法

上下の？が上＝９、 下＝１４、左右の？が左＝１２、右＝２だったら確かに解はないんだけども

青い四角の左上＝ａ、右上＝ｂ、左下＝ｃ、右下＝ｄとおいて行列にしたところで
逆行列が存在しない、つまり(分母となる)行列式＝ゼロとなるだけでは解なしには不十分だ。

たとえば、
上下左右の？を
上＝下＝０、左＝右とするなら、解の数はゼロどころか無数に存在することになる。(どうでも永年方程式)


つまり、逆行列が？／０(発散)ではなく、０／０(不定)になるように分母だけではなく分子の行列式もゼロに設定すればいいというわけだ。
ａ＋ｃ＝ｅ

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Excelで手計算がはかどる

字が汚いうえに、どうも手計算のときと数式エディタのときとで、方針が違うみたい。


ジョルダン標準形の例題をやろうとしてたんだけど、
5問中5問、固有ベクトルを求める前の、固有値を求める方程式の時点でケアレスミスしてんじゃお話にならないっつうことで

Excelの数式エディタで解析計算してみた。

今更になって気づいたんだけど、
行列式は固有値の積なんだから、それをパズルのピースとしてヒントにしない手はない

ある意味、数独や因数分解のように、かけてdet足してtrになるものなーんだ！？状態じゃないか。
なーんだ。


こういうとき、数式エディタの下地がワードとかじゃなくExcelだと便利だよね。
すぐ下を計算用紙にできる。
mdeterm(てさぐれ！ラムダもの)


この行列式はね、固有値を試行錯誤すること自体が活動目的なの。
なんなん！？０ｗ０

ナン大臣です」「あ、偉くなった

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縁「ゆずちゃん、今日は何曜日？」ゆずこ「ツェラーの公式を使えばわかります」

ツェラーの公式

唯「縁・・・今日て・・・」

ゆずこ「じゃあためしにやってみるね？シャキーン」

唯「ゆずこのアホ圧が・・・消えた・・・！？」

縁「わーいメガネゆずちゃんだ～」

(めがねかけながらならわかるのか・・・どっかの完全反磁性とは違って古典的だな)

ゆずこ「まず、今日の日付を年、月、日にわけて入力するね？」
 

ゆずこ「今日は2月です！」

唯「いきなりどうした！？」

ゆずこ「1月と2月は前年の13月、14月とするのです。そこで、月その２の枠を設けて、
月が１か２だったら12を足し、それ以外ではそのまま表示するとします。
if文とor関数を使うね？」
 
縁「うんうん」

ゆずこ「ここで見落としがちですが、前年の13月、14月というのも重要です。
そこで、年その２の枠も設けて、月が１か２だったら、年その２には俊-1を表示し、
それ以外では何もしないで表示します。」

 

唯「そうか、今日は2016年ではなく2015年の14月って設定になるんだな。」

ゆずこ「はい。（ﾄﾞﾔｧ」

唯（うっとい）「うっとい」

ゆずこ「次に、年を上2桁と下2桁に分けます。床関数とモジュロ演算を使います。
床関数っていうのは、たとえば13.5は13にするとかっていう関数なんだけどね、
マイナスの場合は注意が必要なやつなんだー」

縁「めんどうくさいさんだねー」

ゆずこ「そう。たとえば-13.4だったら、-13じゃなくて-14にしなきゃならない、
めんどくさーいお方なのです。
ただ、モジュロ演算がマイナスの数に対応してないコンピュータも多いみたいなんで、
いっそのこと常にプラスの数を扱う前提にしちゃえば、rounddown関数で済むんだよ。
rounddown(13.6,0)みたいに、0桁目で切り捨てを行えば、整数になるじゃん？」

唯「意外といいやつなのかもな。」

ゆずこ「では実際に、年その２の上2桁を計算してみるね。」
 

ゆずこ「次はみなさんお待ちかねのモジュロ演算が出てくるよ！」

縁・唯「んぱんぱんぱんぱ」

ゆずこ「年その２の下2桁”15”を表示するには、
2015を100で割ったあまりを表示すればいいわけです。午後3時のことを15時ともいうでしょ？
これは12で割ったときのあまりについてのモジュロ演算に相当するわけです。」
 

ゆずこ「今度は、暦の調整をします。ユリウス暦かグレゴリオ暦かで変わってくるんだけど、
今はグレゴリオ暦だから、とりあえずグレゴリオ暦で話を進めます。」

ゆずこ「こーゆー式になるよ！」
 

縁「みんなの愛した？」

ゆずこ「ゆず式！」

唯「どうしてそうなるんだ？自信満々の一本か？」

ゆずこ「やめて、はずいからやめて/ω＼」

唯（そこ恥ずいのか）


ゆずこ「さて、いよいよメインの曜日を求める式に入ります！＼ﾃｯﾃﾚｰ！／」
 

縁「おおー！ちゃんと一週間7日の7で割ったあまりを使ってる～」

唯「最後に1足したのはなんでだ？」

ゆずこ「ゼロが出ないように」

唯「ゼロがでちゃダメなのか？」

ゆずこ「だめってこともないんだけど、
もし万が一曜日で割る割り算とかすることがあったらめんどくさいでしょ？
だから、0から6じゃなくて1から7にしたんだと思う。たぶん・・・
それとね、この式、wikiとちょっと違うんだー・・・」

唯「あ、ほんとだ。5じゃなくて6足してる。なんで？」

ゆずこ「あとで話します・・・」

唯「おい・・・」


ゆずこ「ツェラーの公式を使わなくてもわかります！」

唯「まあ、そりゃな、今日のことだもんな」

ゆずこ「ちがくて、そうじゃなくて～。
Excelやいろんなコンピュータのツールには”シリアル値”みたいのがあってね、
日付と曜日が関連付けられてることが多いらしいんだ。」

ゆずこ「唯ちゃんも、22/7をエクセルで計算しようとして、
なぜか勝手に7月22日になっちゃうことってなかった？」

唯「あーあったあった。あれおせっかい機能だよなぁ」

ゆずこ「って思うじゃん？あれ、使いこなせるとすごく便利なんです」

ゆずこ「22/7をイコールなしで入力すると、
Excelが勝手に”7月22日と入力したいんだな”って勘違いして、
7月22日を表示しちゃって、それ以降普通の数値を入力しようとしても、
表示の仕方が日付のままになっちゃって困ると思うんだけど、
実は、整数が日付に直でリンクしてるのが原因なんだ。」

ゆずこ「たとえば、1って入力してから、表示を日付に変えるとするよ？そうしたら、
1900年1月1日が出るようになってるの。」

ゆずこ「1日を1として、1900年1月1日から9999年12月31日に相当する1～2958465までの数字が、
すべて対応するようにできてるんだ。
その上、この日付、シリアル値っていうんだけど、これは曜日にも対応できていて、
たとえば、9999年12月31日の曜日を知りたければ、weekday関数を使って調べることもできるし、
ユーザー定義の書式に”aaa”って入力して直接”金曜日”って知ることもできるよ」


唯「整数じゃなかったらどうなるんだ？」

ゆずこ「その日の何時何分何秒ってところまで出るよ。
1日24時間を1って整数に置き換えてるわけだからね。
たとえば1.5だったら1900/1/1の12:00:00だし、2.5だったら1900/1/2の12:00:00だし、
2.56789だったら1900/1/2の13:37:46になるね。
ホントはもっと細かくも計算してるんだけど、あんまり出したがらないみたい」



縁「アインシュタイン！」

唯「はい？」

縁「アインシュタインの生まれたときにいきたい！」

唯「これそういう機械じゃないぞ？」

ゆずこ「でも・・・やってみる？０ｗ０」

唯「だな」

ゆずこ「でも、アインシュタインは1900年より前に生まれてるから、
戻れるのは1900年の1月1日までだけどね？」

縁「やった～！」

唯「ついでにツェラーの公式の試運転もしたらいいんじゃないか？」

ゆずこ「おおー！やろうやろう！」


とべよおおおおおおお


縁「あれー？1日ずれるよ？なんでー」

ゆずこ「な、なんですとー！？ちょっとバグ探してくるー！
ついてこなくていいですー！」

 

ゆずこ「見つけた！1900年の2月29日と3月1日の間に時空断層があるよ！」

唯「まじでか！2/29と3/1の間か・・・なあ縁、1900年は平年だっけ？」

縁「んー、4年に一度うるう年があるでしょ？その例外が100年に一度あって、
さらにその”例外の例外”が400年に一度あるから、
2000年はうるう年だけど、1900年はうるう年じゃないはずだよ～？」

ゆずこ「え・・・なにそれ怖い話！？」





ポリアネス
＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ゆゆ式1期の本放送時にこれを書きたかったのですが、なんかだれてしまって、
再放送のこの時期まで延びてしまいました。でもチャンスがまた巡ってきてよかったです。

当時はまだ社会とつながりがあったので、
一般的にどういうものがウンチクなのかということが
今よりはまだ把握できていたんだと思います。

あれから3～5年くらい経って、ずっと一人で計算の趣味をしていたので
だんだん僕の中で当たり前の部分が増殖していき、「何をブログに書きたかったんだろう？」
と思っていた矢先に、久々に暦について人と話す機会があって
ああ、この話題、ブログ1個分あるんだ
って思い出せました。

人間はどうあがいても社会性昆虫なので、no botch good lifeです！
気づかないうちに病魔は進行していくので注意が必要です

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ジョルダン標準形の例題

を得たはいいが、固有ベクトル云々以前に、固有値方程式の係数をケアレスミスしてしまう

これは問題だなぁ
まずもって重解を得る方程式にならない！なぜだ！ってくらいひどい！


この手の問題は、字が汚いのでテーブルを持たない僕には
パソコンでやれ、といってるようなものかもしれない


以前、固有値と固有ベクトルを、自動で計算してくれる(しかも複素（ただしエルミート）行列対応)
そんなアドインがあって、算出関数名にヤコビがなんとか書いてあったんだけど、
ヤコビってどこまで万能なんだろう？
ジョルダン標準形にも対応できるのだろうか

うーん、ぐぐってもなんかピンとこないなぁ
両方をサイト内で「ジョルダン標準形」と「ヤコビ法」が近い領域に掲載しているサイトが少ないみたいだ

ああ、これか。「ジョルダン標準形　アルゴリズム」でwikiが出た。

残念ながら、このアルゴリズムを理解する知識が僕にはまだない。
ヤコビ法のやり方もまだ知らないため、関係があるのかどうか、拡張なのかどうかもわからない