4次以上の逆行列と行列式(余因子のはなし)

固有値・固有ベクトルの観点からパウリ行列・ゲルマン行列の行列指数関数・SU(3)やSU(2)、SO(3)、クォータニオン、ロドリゲスの回転公式と回転行列などとの関連についてこれまでブログを書いてきた僕ですが

行列に関してまだいくつもの弱点を抱えています。


なんと、
3次以上の逆行列と、4次以上の行列式の求め方を忘れてしまいましたｗｗｗｗ


そこで、余因子について覚えなおしてみました。



4次以上の行列式に、サラスの方法は適用できません。
したがって、多かれ少なかれ余因子展開を必要とします。

どこかにいいカモとなる物理現象は転がってないかなぁと探してみると、
相対性理論に漂着しました＾＾
 
ここに、ローレンツブーストという行列があります。
この行列をAとし、逆行列を求めてみましょう。

そのためには、Aの行列式を求める必要があります。


4行4列なので、サラスの方法は使えませんので、余因子展開を用います。
2行目2列目の「1」に着目してください。
その1以外の行と列にゼロ以外ありませんね？
だからボンバーできます。
このときの符号はプラスです。1行目1列目から、1マスずれるごとに符号が反転するので、奇数マスだけマンハッタン移動したらマイナス、偶数マスだけマンハッタン移動したらプラスになります。
あとえばこの「1」が2行目2列目ではなく2行目3列目だったらマイナス、
3行目3列目にあったらプラス、といった具合です。

もし、着目した列か行の中がゼロでなければ、その分の余因子展開を足しますが
今回はすでに掃き出し法を終えた状態とみなすことができるでしょう。

 
ここで、訂正とお詫びがあります。
以前、何を血迷ったかローレンツブーストはユニタリ行列ではないといいましたがあれは嘘でした。ごめんなさい

ユニタリです。それも特殊回転群でした。orz行列の中身は実数(ユニタリ→回転)で、しかも行列式の絶対値ではなく行列式そのものが1になります(特殊がつく)。



行列式|A|(あるいはdet(A))が求まったところで、
いよいよ逆行列を求めましょう。


ここにも余因子が出てきます。
行列Aの余因子展開をadj(A)と書くと
逆行列はこのようにあらわされ

クーロンの法則をベクトル解析で表現するのに似ていますね。一旦スカラー|r|^3で割っておきながらベクトルrを分子に掛け算

行列Aの中身がたとえば

このような4行4列の場合、adj(A)は
 
で与えられます。tは転置行列の意味なので、行と列を入れ替えます。

この各要素につけられた符号が、まさに余因子的な名残を醸してると思いませんか。
マイナス1の、マンハッタン移動コマ乗した符号をつけるのです。
4行4列の行列式を求めたい場合は、この16個の要素を分けずに全部足すのです。
一切掃き出し法を行わずに展開したい場合はそうなります。

で、計算してみますと、こうなります。

まさに逆回転行列の双曲線関数バージョンですよねｗｗｗｗ













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