五芒星の面積の考え方

数日前からハマっている、星型多角形の面積
たとえば五芒星は5/3かっけーや5/2かっけー。

整数かっけーの面積は、sinc関数に素直にぶち込めばよかったが
有理数かっけーの面積はそうもいかないようだ。


正五角形の面積は、以下の図のような考え方で、sinc関数に行きつく。
この赤い三角形が5枚あるわけだ。θもπラジアンを2倍して5等分しているので、ちょうどsinc関数になる。


次に、五芒星と呼ばれる形の面積
今度は、頂点を1つか2つ飛ばして線を結ぶので、角度が360°を5等分してから2倍や3倍することから、5/2かっけーや5/3かっけーと呼ばれる。


この面積は、素直に5/2や5/3をsincにぶち込んでも出ない。
以下のように考える。例は5/2かっけーだけだが、5/3かっけーでも同様なので、考えてみてほしい。

角度は確かに、2倍や3倍されている。
が、三角形が5/2や5/3枚分ということはなく、5枚、あくまでも整数だ。


そして、5枚重ねるとダブってしまうのだ。


ちょうど、正五角形1枚分に相当する。

この正五角形の面積は、元来の正五角形よろしく、半径だけが異なる円に内接しているので、同じ考え方で求めることができる。
そこで、この小さいほうの円の半径を計算する必要性が出てくるわけだ
いかなるn/mかっけーの内側にある半径も出せる汎用的なものを考えなければキリがない。


さて、5/3かっけーの場合、どのように考えただろうか。
同じ形のはずなのだから、面積も同じはずだ。
しかし、人によっては絶対値は同じでも、マイナスの値になったりしていないだろうか
実は、sinc関数に素直にぶち込んだ際も、5/3かっけーのようにnかっけーのnが1を下回ると、マイナスになってしまうのだ。
おそらくこれに関しては、単純に絶対値をつけて面積としてやればよいだろう
こちらの場合ももちろん、絶対値も素直なsinc関数通りにはならない。
5/3枚重ね合わせてるわけでもないし、さらに正五角形の面積を引き算してやらないといけないからだ
そもそも変数が5/2(あるいはその逆数)と5/3(あるいはその逆数)とでは、sinc関数の絶対値が異なる。同じ形なのに面積が違うというのはおかしいではないか。




７芒星ともなると、星型は2種類作れる。
素直に求められる面積も異なり、内側にダブる正七角形の半径も異なってくる。
どこかのブログで見かけた言葉だが、太った７芒星や痩せた７芒星というのはなかなか巧妙な表現だと思う。
n芒星(というかn/mかっけー)の種類の数は、n/2までの間に既約な整数がいくつあるかに依存している。たぶん
９芒星の場合、n/mかっけーにn=9、m=3、つまり9/3かっけーは含まれない。
星型としてはあるにはあるのだが、これを入れてしまうとなかなか煩雑になってしまうのだ
前から言ってるけどこんなん。↓↓

にわかには一筆書きできなさそうなアレ(一筆書きできないとは言ってない)


そういや
偶数かっけーの星型もあるんだよなー
ちょっと眼中になかったから、これから考えるー

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65537芒星の種類の数ｗｗｗｗｗ
65536次方程式の判別式とかどうすんだよおい・・・65536行65536列のエルミート行列の固有値にしたって、パソコンが死んでしまうんじゃないのか