星型多角形の面積に関する備忘録

あ、そういえば。
案の定疲れて今日はかけずじまいなので、忘れないうちにせめて定性的な概略だけでも書いておきます。

昨日また眠れなくて、布団の中でケータイのスケジューラに数式ぶち込んで考えてたんです
やっぱり枕元にタブレット端末があると便利ですね。
google電卓にはいつもお世話になります
 
 
たとえば五芒星、これは5/2角形(2分の5かっけー)や5/3角形(3分の5かっけー)などとも呼ばれますが
これをそのままsinc関数にぶち込んで面積としてもダメです


何がダメかというと、sin(πx)/x=n*sin(π/n)
としたときに、nをそのまんまn=5/3やn=5/2としてぶち込むのがダメなんです。


五芒星の中に入っている正五角形の面積がカブる問題もそうなんですが、それ以前に
sin関数の中身としては5/3や5/2は用いられても、
sin関数の外側に掛け算する際は、あくまで「5倍」しなきゃならないんであって
5/3倍や5/2倍ではないということです。
(5/3)*sin(3π/5)ではなく5*sin(3π/5)とか
(5/2)*sin(2π/5)ではなく5*sin(2π/5)とかそんなかんじ


たぶんそうなんだと思います。
ただし、これでもまだ正五角形の面積がダブってます

あと、sin(π/n)ではなく|sin(π/n)|のような気がしてきました


sinの外側は、なんかこう、床関数めいたアレなんじゃないかな・・・
すごくもやもやするけど！
n芒星の面積をn/mかっけーで表現すると
S=n*|sin(mπ/n)|-(r^2)*n*sin(π/n)
こんな感じじゃないすかね
追って報告したいっす


７芒星に関しては種類がいくつかあるので
7/2かっけーや7/5かっけーはこのままでもいいと思うんですが
7/3かっけーとか7/4かっけーのことはまだ考えてません
素数/mかっけーの場合、分子が増えると分母mのバリエーションも分子の半分くらいまで増えますからねえ


sinc関数の整数から有理数への拡張、破れたり！(修正を強いられているだけなんだ！)