色々総動員

数検1級1次試験の過去問に、こんなのがありましてね



の固有値を求めよっていうｗｗｗｗ化け物みたいなｗｗｗｗ


でもよく見ると、結構ヒントがあるんです。
非負行列だし、実対称行列ですからね、固有値が実数に限られるのはもちろん
ペロンフロベニウスの定理を知っていれば、ガウス平面で右寄り横長になるのは予想できるわけです。限りなく扁平な横長。


そのうえ、これ自体の行列式、何か気になりませんか
行列式を求めよって問題を作ったことがある方ならピンとくるかもしれません

ゼロになりそうですよね？

実際ゼロになるんです。

ということは、4つの固有値のうち、少なくとも1つはゼロなんですよ。


それとトレース。トレースが1+4+4+1=10なので、固有値の和も10でなければいけません。

もし、ここで勘が働いて、「そのまんま10じゃね？」って思って


これの行列式を計算してみたとしましょう。
実際ゼロなんです。


ってことは、残りは±なんとかに限るじゃないですか。それも
なんとか＜10ですよ。ペロンフロベニウスの定理から。


答え見たら±√10なんだそうです。


でも、この±√10を求める際の手順ってどうするんでしょうね？

やっぱり固有値方程式をガチで解くんでしょうか？

いや、解くのは大したことないんです。

4次方程式なんですが、ゼロと10が分かってるんで、固有値をλとすると、多項式を
λとλ-10で割ればいいんですから。というかλが単体で因数分解できる時点で実質3次方程式からのスタートになりますね


問題は、サラスの方法がまだ使えない4次の行列式から掃き出し法を使って、
どうやって多項式を速く正確に導き出せるか、それとも何かほかの方法があるのか、ですよ。


なんせ、制限時間がねえ・・・


ほかの問題は手も足も出ないと思ったのでやってませんｗｗｗ



あ、そうだ。あらかじめ

これを展開した式を仮定して、これを目指すって手もありかもしれませんね。






 手計算ではｗｗｗｗｗ無理ｗｗｗｗｗ



いや、しかし、もしかしたら、行列式の性質を利用して、練り方を工夫すれば
 展開しないまま因数分解して、こんな感じに持っていくことが可能かもしれない
だったら制限時間内に解けるかもなぁ