井戸の深さ：有限→無限の極限で波動関数の妥当性を確かめる

先日の日記の続きで、井戸型ポテンシャル内の波動関数についてです。

有限深さの井戸型ポテンシャルにおける波動関数を
無限深に極限を取ることで、無限深さ井戸型ポテンシャルの波動関数および有限深さ井戸型ポテンシャルの波動関数がちゃんとつながってて、妥当性があるのかを検証してみる試みです。



あ、もちろん今回は、全て解析解です。
距離xが-aからaまでの間にポテンシャルUがU=0で
井戸の外だとU=U0というところから始めました。
波動関数Ψは井戸の内側では、Ψ=Acos(kx)かΨ=Asin(kx)で
井戸の外側では、Ψ=Bexp(-k1|x|)でしたね。

ここで、Bは、下の図のようになります。
±がついていますが、Ψ=Acos(kx)だったら+で
Ψ=Asin(kx)だったら-になります。

また、kにディラック定数を掛け算して2乗したものは2mEで
k1にディラック定数を掛け算して2乗したものは2m(U0-E)になります。
(U0>Eが条件です)

mは粒子の質量、Eは粒子のエネルギー、kは波数なので波長λを用いると
k=2π/λとなります。
k1は波数に似たパラメータです。


このBの式にあるmU0をkやk1で表して物理量の次元などを整理した後
分母分子をk1で割るなどすると、上の図の最後の式になります。

さて、井戸の中身の波動関数の係数Aはどういった定義だったでしょうか

上図のように、Bを使って表すことができます。またしても整理して、分母分子をk1で割ると
図の一番下のような式になります。

ここで、U0を無限大に極限を取ってみましょう。
k1も同様に無限大になるはずなので、
分母のルートの中にある第1項目はゼロになることがわかるかと思います。

さて残りのa±sin(2ka)/(2k)ですが

このうちのsin(2ka)は固有条件からゼロになります。

固有条件は
対称のcosの場合はk1=ktan(ka)でした。
変形するとcot(ka)=k/k1となりますが、k1→∞なので
cot(ka)=0になります。
つまりtan(ka)=∞なので、nを奇数として、ka=nπが成り立ちます。

一方、反対称の場合の条件は、k1=kcot(ka)でしたので、変形すると
tan(ka)=k/k1→0となります。
つまりnを偶数としてka=nπが成り立ちます。


しかしながら、Aの係数の中のsinは中身が2kaなので、
nが偶数だろうが奇数だろうが、sin(2πn)なので、sin(2πn)=0です。


ということは、対称でも反対称でも、無限大の極限を取ったU0では、以下の式が成り立つというわけです。(もちろんすべての量子数で)





ためしに、最初から無限深さの井戸型ポテンシャルを解くと
0から2aまでのポテンシャルUがU=0で、それ以外の領域ではU=∞とすると
同様にΨ=Asin(nπx/(2a))となって、規格化すると
A=1/√aとなります。

また、幅が2aではなくその半分のaしかない井戸型ポテンシャルの場合は
Ψ=Asin(nπx/a)
となり、規格化定数Aは
A=√(2/a)
となります。

つまり、「井戸の幅の半分」という量が規格化のカギになってくるわけです。
これで、有限深さ井戸型ポテンシャル内の波動関数の妥当性が、ある程度確かめられたかと思います。


今回は、規格化定数AとBがあるうちの、井戸の内側であるAについてのみ確かめさせてもらいました。