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20080511~ 13と7と11の倍数の論理積は13と7と11の積の倍数である。 和ァ・・・
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ディラック方程式で求めてるのってぶっちゃけ波動力学のほうじゃないですか。

これの行列力学バージョンってありえるのかありえないのか。

や、行列同士で競合しないってんなら別にいいんですけどね


結局、今の僕が理解できているところは
以前、放送大学で放送されていた「量子物理」の後半の部分だけなんですよね。

微分方程式を用いずに、代数的にやってみよう
ってやった部分
あれの状態数を2状態に限定すると、パウリ行列が現れる
そんな感じじゃなかったかな


もうだいぶ忘れてきてますが。


入門書をですね、3冊ほど借りてきたんですが、返す日時を書いたレシートをどこかに無くしてしまいまして。
図書館カードでログインしたらたどれないだろうか。

少なくとも2冊は誤植があるとわかっているから困るというかなんというか

そのうちの1冊はものすごくあからさまな誤植。
エルミート行列を書きたいはずなのにかけてない!大丈夫かー!
展開前に書き間違えてるんですよ・・・


こういうのって、略すならまだ、読者を試してるのかもって思えますが
誤植の場合、どうなんでしょうね。むしろ読者が著者を試しているようにしか見えませんよ・・・


そもそもその、試してるっていうのが独学で数年ぼっちでやってきた僕にとっては最大の難関で
無知の知が僕には本質的に欠けてるんです


これがディラックさんだったら、いくら無口でも
教える相手の学生さんとかいたんですよね?たぶん
そしたら、自分の編み出した数式に対しても
「なんでこんなに不格好なんだろう」って思うことも可能だと思うんですよ

これが、ヒッキーのディラックさんだったら
「この式すっげぇいとおしい!なんてきれいな数式なんだ!」
ってなって、客観的なことが言えない恐れもあるじゃないですか

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新しい図式埋め込みブログの方法を考えてみよう!\PON/


 ディラック方程式∂ψ/∂t+ax∂ψ/∂x+ay∂ψ/∂y+az∂ψ/∂z+imc^2Ψ/ħ=0


∂ψ/∂t+ax∂ψ/∂x+ay∂ψ/∂y+az∂ψ/∂z+imc^2Ψ/ħ=0
ただしaは添え字のi,jを0から3までの整数として
{ai,aj}=2δij (δijはクロネッカーのデルタ
反交換関係を満たすため、スカラーではなく行列で
a0=[[σ0,0],[0,-σ0]]、ai=[[0,σi],[σi,0]] (ここのiは1から3まで)

以上のようにパウリ行列を内包するために4行4列の行列(ディラック行列)であり、
波動関数ψもスカラーではなく以下のような
4行の縦ベクトルである必要がでてくる。

Ψ=t(Ψ1,Ψ2,Ψ3,Ψ4) (ただしtは転置

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暑くてほんと、何もする気が起きません
かろうじてタブレットやvitaをいじれるくらいですが
世代が世代なんで、タブレットで何か作るっていう発想はないし、作り方を学ぶ余裕もありません

だからといって机の上の森林に手を伸ばして(ノバシテンナー)オランウータンに先祖返りし
PCで作業するのもなかなか
新人類は腰が痛いのよ!
廃熱にも弱いしな・・・


んでもって家にエアコンがない


どうしろっちゅうねん


PC持ってエアコンのある店に出かけようにも僻地にはそんな都合のよい店は近くにありません!

まあちょっと遠くにいけばある、まださほどでもない僻地なんすが
いったんPCをカバンに入れてしまうと、今の時代、薄くて軽いかるーいノートPCですら
定位置に戻すのがめんどくさい


どないやねん


仕方がないので、ノートとペンだけ持ってエアコン店まで行きました。ノートっていうのはですね
ノートPCみたいに科学で死神になれるアレじゃなく、紙でできた、オカルトで死神になれるほうのアレです


どの店も寒いですからね
半袖半ズボンは論外です。


エアコンをさぼってる図書館ぐらいがちょうどいいのです。
でも、半袖in長ズボンでもまだ寒いよ!


この経験で得たことは、何か羽織るものも持ったほうがいいということです


ようやく僕の本体がクールダウンし、演算能力が少し回復し
行列の固有値を計算し始めたりできます


でもすぐに飽きたので、久々に量子力学の本でも読んでみましょう


やっぱり固有値じゃねーか!


まあ、それはおいといて

クライン・ゴルドン方程式を初めて見たのは約10年前、大学4年のことです。
当時から何も進歩していないのは
クラインゴルドン方程式に不備があるっていう理由が解せないことです。
いや何言ってんだお前意味がわからん。
そんなことで不採用にするなよ!といいたい。
せっかく、相対論の式にエネルギーと運動量の演算子をぶち込んで、わーいめでたしめでたし
と思ったのにだめなのかよそれ!


もうちょっと理解しような。うん


時間の1F微分と2F微分を同時に決定しなければいけないのがどうどうどうしていかんのじゃ


なんかそんな感じでディラック方程式が提唱されたみたいですが
ディラック方程式を初めて見たのは、その10年前から5年ほどあとになってからのような気がします。


まあ、当時はパウリ行列すら解せない僕だったので
ディラック方程式なんぞ見ても何が何やらだったと思いますし
行列の非可換性だって解せなかった年頃ですから。

まだいまいち意味がわかってません。
とりあえずディラック行列の中にパウリ行列がすっぽり収まってるのはわかりましたが。



というか、早く量子力学再開しろ。3Dにばっかりパウリ行列利用してんじゃねえ

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おはようございます量子きのこです。細菌、腸内と仲良くしようと思いまして、今日ちょっとボーリングに行ってきます。腸カメラで善玉も悪玉も日和も流されてしまいます。


ガウシアン反復横飛び
調和振動子

ところで、この動画を録音しても、なんだかうまく再現されないようですね。
いちおう、雰囲気は醸し出されているようですが。

audacityを持っていたら、audacityでぜひ録音してみてね!
ちゃんとステレオで録音されるはずだから!
うまくやって右サイドで位相反転反射するか、左サイドで位相反転反射するか
よかったら試してみてね!


WS140とかいうフリーツールの音声帯域用オシロ・スペアナならLRをすぐに切り替えられるみたいですが、なぜかリフレッシュレートが合わないので波動関数が挙動不審くんになってしまいます><




windowsムービーメーカーはなんだか、動画編集ソフトというよりは静止画群をデジタルフォトフレームっぽく見せるツールのような感じがしますねえ

ニコニコムービーメーカーに行こうとしたら、なんか知らんうちにサポート切れて有料になってるし・・・orz
なんですかこの流れ・・・
もしかしてあれっすか、今の時代フリーツールほど怖いものはない的な時代背景もあって、有料のほうが安心安全だったりするんですか・・・がっかりっすよ・・・


ところで、windowsムービーメーカーで、入れたはずの音声がなぜか聞こえない問題が発生したんですが
どうして録音デバイスをライン入力からマイクに変更すると改善されるんですかね・・・意味が分からない


たった6秒に17枚程度のカクカクした画像をはめ込むスモールデータでさえ苦労したんすよ・・・!
はぁ・・・プログラミングをこれから習いなおしたら、その辺なんとかできるんだろうか



量子力学 調和振動子ポテンシャル 周期的境界条件 複素数テレオ 複素スーテレオ 複素ステレオ 波動関数 時間依存 シュレディンガー方程式の解 ノイマン境界条件 ディリクレ境界条件 オイラーの公式 ガウシアン関数 フーリエ級数展開 ミュージックプレイヤー 視覚エフェクト バーとウェーブ スコープ リフレッシュレート audacity Excel gifアニメ
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※前回と前々回の数値に間違いがあったので、訂正しておきました。(主に音の長さに関してです)※
6秒で揃うように組み立ててください。




ガウシアン反復横飛び
 前回までは、単振動(調和振動子ポテンシャル)での波動関数の動きを、ミュージックプレーヤーの視覚エフェクトのスコープで表現しようとしていて、

3本の固有振動を重ねるうちの、1本までを完成させたのでした。
audacityの正弦波ジェネレータで生成しやすいように、フーリエ級数展開しました。

========

今回は、残り2本を生成して、3本をまとめてみることにします。

上のgifアニメの、一番下にあるオレンジの線をフーリエ級数展開しますと

時間依存しない波動関数はそれぞれ(以下ループ再生推奨)

0.220+0.255*cos2π×300t+0.487cos2π×600t+0.0332*cos2π×900t
音声wavファイル

これが時間依存しない(ようにリフレッシュレートを調整した)波動関数でした。

同様に、真ん中のオレンジの線は

0.378*sin2π×300t+0.143*sin2π×600t+0.0166*sin2π×900t
音声wavファイル

一番上のオレンジの線は

0.0750-0.103*cos2π×300t-0.138*cos2π×600t-0.020*cos2π×900t
音声wavファイル

このようになりました。


時間依存を表現するために

それぞれ

一番下
実部(右イヤホン)にはcos(2πt/6)をかけてAM変調し
虚部(左イヤホン)にはsin(2πt/6)

真ん中
実部(右イヤホン)にはcos(2πt/2)
虚部(左イヤホン)にはsin(2πt/2)

一番上
実部(右イヤホン)にはcos(2πt/1.2)
虚部(左イヤホン)にはsin(2πt/1.2)

を掛け算したので


一番下
実部:cos(2πt/6)×(0.220+0.255*cos2π×300t+0.487cos2π×600t+0.0332*cos2π×900t)
音声wavファイル
虚部:sin(2πt/6)×(0.220+0.255*cos2π×300t+0.487cos2π×600t+0.0332*cos2π×900t)
音声wavファイル

真ん中
実部:cos(2πt/2)×(0.378*sin2π×300t+0.143*sin2π×600t+0.0166*sin2π×900t)
音声wavファイル
虚部:sin(2πt/2)×(0.378*sin2π×300t+0.143*sin2π×600t+0.0166*sin2π×900t)
音声wavファイル

一番上
実部:cos(2πt/1.2)×(0.0750-0.103*cos2π×300t-0.138*cos2π×600t-0.020*cos2π×900t)
音声wavファイル
虚部:sin(2πt/1.2)×(0.0750-0.103*cos2π×300t-0.138*cos2π×600t-0.020*cos2π×900t)
音声wavファイル


を6秒間の周期でそろえることになります。(2πをつけ忘れたのも訂正します)

それらを最後に合体させると
 
実部の音声wavファイル(R設定)


虚部の音声wavファイル(L設定)
 
 

複素ステレオ音声ファイル
 
 

実部は左、虚部は右でそれぞれ位相が反転するように反射してるのがおわかりいただけるでしょうか。

そして、複素ステレオの場合、反転反射してるのは右ですよね
つまり、意外なことに、デフォルトで視覚エフェクトに表示しているのは右ではなく左の音声のようなのです。
(個人のPCごとに違ってるかもしれません)

とにかく、右か左、どちらかしか反映していないのがわかったかと思います。
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※20160302訂正アリ!※(主に音の長さに関して)

昨日の続きです。
ガウシアン反復横飛び

昨日は、調和振動子の波動関数をミュージックプレーヤーの視覚エフェクト:スコープで表現させる準備として、「止まって見える」ガウシアン関数を表示させました。使用ソフトはaudacityです。


今度は、この時間に依存しない波動関数を、時間に依存する定在波の波動関数にする作業を行いたいと思います。


そのために、フェードイン・フェードアウトの種類の1種である、コサインイン・コサインアウトを用います。

原理はAM変調と同様です。

まず、作った波動関数のwavファイルをaudacityで読み込み、最初の1.5秒225ミリ秒以外を捨てます。

 
前回、数値でキッチリとトリミングした方法が今回も役に立ちます。

切り取った直後に複製をしておきます。
 

それから、複製前のほうにコサインアウトを適用します。
  


 

今度は、前後を反転(逆再生)してから
 

コサインインを適用します。
 

前後を反転する意味は、つなぎ目を連続に保つためです。

そして、移動してつなぎます。
 

一旦書き出してから、書き出したものだけを読み込みます。

複製して、そのコピーの、今度は位相を反転(上下反転)して、つなぎます。


そうして完成したのがこれ(wavファイル)です。


僕と同じリフレッシュレートの画面で再生すると、こんな風に、節が固定された定在波になるはずです。




ちなみに、これはsinの形になっているので、cosの形のも作りますと
オリジナルをコサインアウトし、
複製を上下前後反転してコサインインして、つなぐ形になります。



完成品はこちら(wavファイル)
 
僕のPC画面と同じリフレッシュレートなら、再生時にこのように映るかと思います。



同じ要領で、以下の図の残り2本のオレンジの線も作っていきます。
ガウシアン反復横飛び

ただし、調和振動子なので、動く速さは下から1:3:5の比です。
なので、c1φ1は2秒300msのものが3セット、c2φ2は1.2秒180msのものが5セットで、6秒900msに揃うように組み立ててください。

また、フーリエ級数の係数がマイナスになることもあるので、適宜位相を反転して作ってください。
 
次回は、作成したc0φ0、c1φ1、c2φ2の左右(虚実)それぞれを、合成することにします。

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※20160302訂正アリ!※(主に音の長さに関して)

先日、1月8日1月6日にやった、調和振動子のシミュレーションを、ミュージックプレイヤーで表現できないかとやってみたんです。

でも、実部あるいは虚部どちらかしか表現できなかったのが不満で、
なら左右ステレオにすりゃあいいじゃん!

ってことで、今回は改めて、無料音声(波形)(創作)編集用ソフトaudacityを使った作り方も含めて紹介したいと思います。

まず、図のオレンジ色の波動関数3本を、audacityで重ね合わせやすいように正弦波に分解します。ただのフーリエ級数です。

1月6日の、以下の式のcnφn(x)を実フーリエ級数展開するわけです。


フーリエ級数はここでは以下のように定義しています。色々流派があるのです。
f(x)=a0+Σ(an*cosnkx+bn*sinnkx) n:1~の整数
a0=∫f(x)dx/λ
an=2*∫f(x)*cosnkxdx/λ
bn=2*∫f(x)*sinnkxdx/λ
ただし、積分範囲:0~λ、λは波長、kは波数でk=2π/λです。

c0φ0は偶関数なので、bn=0です。
a0=0.220
a1=0.255
a2=0.487
a3=0.0332

c1φ1は奇関数なので、a0=an=0です。
b1=0.378
b2=0.143
b3=0.0166

c2φ2は偶関数なので、c0φ0と同様です。
a0=0.0750
a1=-0.103
a2=-0.138
a3=-0.020

高調波成分は3次ぐらいまで、有効数字は3桁あれば十分でしょう


とりあえずここまでの部分をaudacityで作ってみましょう。
僕のPC画面のリフレッシュレートがどうも、30fpsだか60fpsだかの倍数のようなので
とりあえず可聴域内の300Hzを基本波としてみます。

c0φ0の時間に依存しない部分は、
0.220+0.255*cos300t+0.487cos600t+0.0332*cos900t

c1φ1は
0.378*sin300t+0.143*sin600t+0.0166*sin900t

c2φ2は
0.0750-0.103*cos300t-0.138*cos600t-0.020*cos900t

として正弦波ジェネレータ機能で生成して、合成すると、ミュージックプレイヤーで見た時にまったく動かないで表示されます。

 


トーンジェネレータで、周波数300Hz、振幅0.255、継続時間2秒1.500秒で生成

同様に
・周波数600Hz、振幅0.0487、継続時間2秒1.5秒
・周波数900Hz、振幅0.0332、継続時間2秒1.5秒

で生成し、合成
 

ただし、直流バイアスa0=0.220があるので、これも作らなければいけません。
パルス波(矩形波)を作って切り張りします。
1Hzが下限なので、1Hzで一旦5秒4秒ほど作って、符号が反転した部分をトリミングしましょう
 


数値で指定すると、寸分の狂いもなくトリミングできます。

また、sinではなくcosを合成したいので、それぞれの位相をずらします。1秒ではなく1.5秒で生成したのはその余裕を持たせるためでした。

縦横軸を思いっきり拡大してやるがいいです。
 

合成波を一旦書き出してやって、そのファイルをもう一度読み込み、1秒のところでトリミングしなおしてやれば完成です。




出来上がった音声ファイルはコチラ
 
リフレッシュレートが僕のPCと同じ場合、音声を再生すると、スコープの視覚エフェクトではこのように、止まって映るはずです。

また、なぜか僕のPCの場合、上下反転されて表示してしまうようです。
バイアスがかかっているため、重ね合わせた関数は常に正の値で、常に真ん中よりに表示されています。
赤で囲った部分を周期にしてフーリエ級数展開したので、同じ関数が周期的に表れています。


このようにして再現した「時間に依存しない」波動関数に、時間に依存する項
exp{-i(n+1/2)t}
をかけて、実部を右、虚部を左から音声として流そうと思うわけです。
 
次回はコサインイン・コサインアウトというフェードイン・フェードアウトの方法を用いて、時間に依存した波動関数をミュージックプレイヤーに表示する方法を紹介していきます。

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エルミート多項式の入ったガウシアン関数をフーリエ級数展開し、audacityで3次ぐらいまで重ね合わせました。
時間発展の表示に、コサインイン・コサインアウトのフェードイン・アウトが役に立ちます。


60fps?の画面のために作成した音声です。

今の状態ではまだケータイのカメラでビデオ撮影したままなので、アクセシビリティには問題はありませんが
もし今後、音声と映像をキャプチャーなり直接アップなりできた場合は、
ご使用のPCのフレームレート?(リフレッシュレート?)に合わせて音声の速度を変える必要があるかと思います。

また、非可逆圧縮でどうなるかはまだ試していません

直流バイアスも多少かかっているので、もしかしたら根本的に変換は不可能かもしれません

ガウシアン反復横飛び

コレがやりたかったのです。ミュージックプレーヤーで!
周期的境界条件の調和振動子ポテンシャルの中でうごめいている波動関数(の実部)の方々と思っていただければ!
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※19:56追記
とても小さいので、wavファイルのままアップしてみます。ループ再生推奨
DLはこちらから。

画面のリフレッシュレートが異なる場合

たとえば標準的な60fpsではなく80fpsとか少し速いPCだった場合は、
audacityの場合、ピッチでもテンポでもなく”スピード”を、60分の80倍と、少し速めてみてください。そうしたらちゃんと定在波(節の位置が変わらない波)を維持できるかと思うのです

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ガウシアン反復横飛び

やっとこさ出来上がりました。
左が波動関数が動くところ
右が存在確率が動くところです。

波動関数は複素数なので、左側はいつものとおり立体的なビューアにしてみました。
 それぞれの波動関数の絶対値の2乗を取ると動かない定在波になりますが
適度な割合で重ね合わせると、重ね合わせた波動関数も、存在確率も動くようになります。
バネの動きっぽくなります。


実数と純虚数の波動関数で分けて見たい場合はこちら

重ね前

重ね後


Excelソースファイルを整えておきました。コチラです

DLしたら保護とかを解除して、適当な空白セルでdelを押しまくる(再計算を行う)と動くと思います
ビューアの角度を動かして見る角度も変えてやってくれるとうれしいです

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昨日のはですね、こんな割合で混ぜてます。



重ね合わせる前の1つ1つの波は定在波なんですね。



もうちょっと可視化をがんばりたいところなので、いまひとつお待ちを
朝起きると寒くて、テンションがなかなか上がらんのですよ

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今まで「量子力学」カテゴリを設けてなかったのはほんと申し訳なかった。
なにこの今更感。

あとでほかの記事をこのカテゴリに移したら、リンクたどれなくなるのかなぁ



今日は調和振動子シリーズでいきます。
波束を最適な割合で合成して動かす、みたいなサイトが意外と見つかりにくいんですよね。
あったとしても僕のスペックを超えてることが多いので、結局よくわからないんですわ

サイトのことだから誤植があっても他己責任ですし。
実際、このwikiには少なくとも、エルミート多項式の3番目H2と、規格化定数Cnの計算式に疑問が生じると思います(2016/1/6現在)
H2(x)=4x^2+2ではなく、H2(x)=4x^2-2だと思います
Cnは、Cn=x0^n/n!/2^n/exp(x0^2/4)/√πじゃなくてCn=x0^n/n!/2^n/exp(x0^2/4)/なんじゃないかな


Cnに関しては些細な問題です。波動関数の形が変わるわけでもありませんし、見当をつけて直してみたものの、波動関数の2乗和が1にはならず、結局1になるように無理くり振幅を直すことにしました。

きっとどこかが微妙におかしい。僕の計算かもしれませんし、wikiを鵜呑みにしてるからかもしれませんし



とりあえずもっともらしい形になったんでアップはしましたが。




こういうwikiを井戸型ポテンシャルでやってくれるとありがたいんだけどなぁ
本質的に無理ってんなら仕方ないんですけど。

波束がどんなルール・割合で重ねあわされるのかよくわからんのですよ

波動関数のφとψの違いもよくわんないんですよねぇ

なんとなーくフーリエ変換を彷彿とさせるなーとは思ってるんですけども。


4項以上重ね合わせたところで大きく変わるか?といわれるとよくわからないんですよ
だから高々3項だけ足してるんですが。
wikiにある「反復横飛びするガウシアン関数」のアニメーションがね、どこソースなのかよくわかんないんです。ほんとにξ0=0.45なんですか?って感じで



計算式はこんな感じ
位置だけが変数の波動関数シリーズがいくつかあるφn(x)

φにはエルミート多項式Hn(x)と、規格化定数Aが用いられ、以下で定義される。


そして、時間にも依存する波動関数ψ(x,t)があって、以下のように重ね合わせて表現する。

ただし、ψの初期値ψ(x,0)と係数(定数?)Cnは以下の通り。



まあそんな感じです。


角振動数ωと質量mとディラック定数ħは全部1としましたので、ξ=xとなります。


xは位置、tは時間、nは量子数、iは虚数単位、x0は初期の位置です。


n:0~2の3項だけでとりあえず重ね合わせてみたのがこちら。
x0=2としてます。

ガウシアン反復横飛びです。

赤が波動関数の絶対値の2乗

青の上が実部、下が虚部です。


振幅が大きいと、そのままの反復横飛びではなく、中央で赤のピークが縮んでるのがわかるかと思います。
これは振り子が端っこでいったん止まって戻るため、滞在時間が長いことに相当するようです。



実部の右側と虚部の左側が自由端反射
実部の左側と虚部の右側が固定端反射っぽいのが興味深いですね。

どっちがディリクレ境界条件でどっちがノイマン境界条件でしたっけ
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プロフィール
HN:
量子きのこ
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42
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男性
誕生日:
1981/04/04
職業:
WinDOS.N臣T
趣味:
妄想・計算・測定・アニメ
自己紹介:
日記タイトルの頭についてるアルファベットは日記の番号です
26進数を右から読みます
例:H→7番目、XP→15(P)×26+23(X)=413番目。
A=0とする仕様につき一番右の桁はAにできませんのでご了承くださいズコー
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