単振動の波動関数をミュージックプレイヤーで表現する方法(実部も虚部もステレオで)

※20160302訂正アリ！※(主に音の長さに関して)

先日、1月8日と1月6日にやった、調和振動子のシミュレーションを、ミュージックプレイヤーで表現できないかとやってみたんです。

でも、実部あるいは虚部どちらかしか表現できなかったのが不満で、
なら左右ステレオにすりゃあいいじゃん！

ってことで、今回は改めて、無料音声(波形)(創作)編集用ソフトaudacityを使った作り方も含めて紹介したいと思います。

まず、図のオレンジ色の波動関数3本を、audacityで重ね合わせやすいように正弦波に分解します。ただのフーリエ級数です。

1月6日の、以下の式のcnφn(x)を実フーリエ級数展開するわけです。


フーリエ級数はここでは以下のように定義しています。色々流派があるのです。
f(x)=a0+Σ(an*cosnkx+bn*sinnkx)　n：1～の整数
a0=∫f(x)dx/λ
an=2*∫f(x)*cosnkxdx/λ
bn=2*∫f(x)*sinnkxdx/λ
ただし、積分範囲：0～λ、λは波長、kは波数でk=2π/λです。

c0φ0は偶関数なので、bn=0です。
a0=0.220
a1=0.255
a2=0.487
a3=0.0332

c1φ1は奇関数なので、a0=an=0です。
b1=0.378
b2=0.143
b3=0.0166

c2φ2は偶関数なので、c0φ0と同様です。
a0=0.0750
a1=-0.103
a2=-0.138
a3=-0.020

高調波成分は3次ぐらいまで、有効数字は3桁あれば十分でしょう


とりあえずここまでの部分をaudacityで作ってみましょう。
僕のPC画面のリフレッシュレートがどうも、30fpsだか60fpsだかの倍数のようなので
とりあえず可聴域内の300Hzを基本波としてみます。

c0φ0の時間に依存しない部分は、
0.220+0.255*cos300t+0.487cos600t+0.0332*cos900t

c1φ1は
0.378*sin300t+0.143*sin600t+0.0166*sin900t

c2φ2は
0.0750-0.103*cos300t-0.138*cos600t-0.020*cos900t

として正弦波ジェネレータ機能で生成して、合成すると、ミュージックプレイヤーで見た時にまったく動かないで表示されます。

 


トーンジェネレータで、周波数300Hz、振幅0.255、継続時間2秒1.500秒で生成

同様に
・周波数600Hz、振幅0.0487、継続時間2秒1.5秒
・周波数900Hz、振幅0.0332、継続時間2秒1.5秒

で生成し、合成
 

ただし、直流バイアスa0=0.220があるので、これも作らなければいけません。
パルス波(矩形波)を作って切り張りします。
1Hzが下限なので、1Hzで一旦5秒4秒ほど作って、符号が反転した部分をトリミングしましょう
 


数値で指定すると、寸分の狂いもなくトリミングできます。

また、sinではなくcosを合成したいので、それぞれの位相をずらします。1秒ではなく1.5秒で生成したのはその余裕を持たせるためでした。

縦横軸を思いっきり拡大してやるがいいです。
 

合成波を一旦書き出してやって、そのファイルをもう一度読み込み、1秒のところでトリミングしなおしてやれば完成です。




出来上がった音声ファイルはコチラ。
 
リフレッシュレートが僕のPCと同じ場合、音声を再生すると、スコープの視覚エフェクトではこのように、止まって映るはずです。

また、なぜか僕のPCの場合、上下反転されて表示してしまうようです。
バイアスがかかっているため、重ね合わせた関数は常に正の値で、常に真ん中より下に表示されています。
赤で囲った部分を周期にしてフーリエ級数展開したので、同じ関数が周期的に表れています。


このようにして再現した「時間に依存しない」波動関数に、時間に依存する項
exp{-i(n+1/2)t}
をかけて、実部を右、虚部を左から音声として流そうと思うわけです。
 
次回はコサインイン・コサインアウトというフェードイン・フェードアウトの方法を用いて、時間に依存した波動関数をミュージックプレイヤーに表示する方法を紹介していきます。


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